I.U.T de Marseille
D´epartement Mesures Physiques
Math´ ematiques - Formulaire de trigonom´ etrie
Les formules suivantes sont `a connaˆıtre, aucun formulaire ne sera autoris´e pendant les devoirs surveill´es. A vous de les apprendre. . . .
• Formules ´el´ementaires (`a savoir visualiser sur le cercle trigonom´etrique) cos
x+π 2
=−sinx sin
x+π 2
= cosx cosπ
2 −x
= sinx sinπ
2 −x
= cosx
cos(x+π) =−cosx sin(x+π) =−sinx tan(x+π) = tanx cos(π−x) =−cosx sin(π−x) = sinx
• La plus connue
(1) cos2x+ sin2x= 1
• Formules d’addition
(2) cos(a+b) = cosacosb−sinasinb (3) cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb (4) sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa (5) sin(a−b) = sinacosb−sinbcosa (6) tan(a+b) = tana+ tanb
1−tanatanb (7) tan(a−b) = tana−tanb
1 + tanatanb
A partir de ces formules, vous devez ˆetre capable de retrouver les autres. Par exemple, en utilisant (2) et (1), on obtient les diff´erentes versions de (8). En utilisant la formule (4), on obtient (9).
• Formules de duplication (passage `a l’angle double ou `a l’angle moiti´e) (8) cos(2a) = cos2a−sin2a= 2 cos2a−1 = 1−2 sin2a
(9) sin(2a) = 2 sinacosa (10) tan(2a) = 2 tana
1−tan2a (11) cos2a = 1 + cos 2a
2 (12) sin2a = 1−cos 2a
2
On peut ´egalement en d´eduire les formules suivantes (par exemple en additionnant (2) et (3) on obtient (13). . . ) :
• Formules de lin´earisation (transformation de produit en somme) (13) cosacosb = cos(a+b) + cos(a−b)
2
(14) sinasinb = cos(a−b)−cos(a+b) 2
(15) sinacosb = sin(a+b) + sin(a−b) 2
• Expression de cosa, sinaet tanaen fonction de tana 2 Siaest un nombre r´eel et si tana
2 est d´efinie, alors en posant t= tana
2, on obtient : cosa= 1−t2
1 +t2 sina= 2t
1 +t2 tana= 2t 1−t2
• Formules d’Euler et de Moivre cosθ= ejθ+e−jθ
2 (ejθ)n=ejnθ sinθ=ejθ−e−jθ
2j (cosθ+jsinθ)n = cosnθ+jsinnθ
• Valeurs Remarquables
x 0 π
6 π 4
π 3
π 2
sinx 0 1 2
√2 2
√3
2 1
cosx 1
√ 3 2
√ 2 2
1
2 0
tanx 0
√3
3 1 √
3
