S´eries de Fourier D-IRIS2-05.tex
TS 2 IRIS : Devoir n˚ 5
Les deux exercices sont ind´ependants.
1)
Soit la fonction num´erique f ainsi d´efinie :
fimpaire de p´eriode 2π et f(t) = t pour t∈ 0 ;π a) Repr´esenter graphiquement f sur un intervalle d’au moins 3 p´eriodes.
b) Justifier l’existence du d´eveloppement en s´erie de Fourier associ´e `a la fonction f. On appellera S(t) ce d´eveloppement en s´erie de Fourier de f(t).
c) Donner, en les justifiant, les valeurs de a0 et des an pour tout n entier.
d) Calculer le coefficient bn pourn >0.
e) Ecrire les quatre premiers termes de´ S(t).
2)
Soit la fonction num´erique f ainsi d´efinie :
fde p´eriode 2π ;
f(t) = π si t∈h 0 ; π
2 h
f(t) = 0 si t∈h π 2; 2πh
a) Repr´esenter graphiquement f sur un intervalle d’au moins 3 p´eriodes.
b) Calculer fe2 le carr´e de la valeur efficace def.
c) D´eterminer les coefficients de Fourier a0, an et bn pour n >0.
d) Ecrire les cinq premi`´ eres harmoniques de S(t).
Soit maintenant la fonction g d´efinie sur R par : g : t 7→ g(t) = π
4 + cos(t) + sin(t) + sin(2t)− 1
3cos(3t) + 1
3sin(3t) e) Calculer `a l’aide de la formule de Parseval g2e le carr´e de la valeur efficace de g.
f ) Calculer une valeur approch´ee, `a 10−3 pr`es, du rapport : ge2 fe2
♣♦♥
♠ LATEX 2ε
S´eries de Fourier D-IRIS2-05.tex
TS 2 IRIS : Devoir n˚ 5 (Solution)
Les deux exercices sont ind´ependants.
1)
Soit la fonction num´erique f ainsi d´efinie :
fimpaire de p´eriode 2π et f(t) = t pour t∈ 0 ;π
a) Repr´esenter graphiquement f sur un intervalle d’au moins 3 p´eriodes.
t f(t)
−3π −2π −π 0 π 2π 3π 4π 5π π
π
b) Justifier l’existence du d´eveloppement en s´erie de Fourier associ´e `a la fonction f. On appellera S(t) ce d´eveloppement en s´erie de Fourier de f(t).
Sur l’intervalle
0 ; 2π
la fonction f est continue et d´erivable saufpourt=π, mais les limites suivantes sont finies :
f(π−) = 1 f0(π−) = 1
f(π+) = −1 f(π+) = 1
Donc f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un d´eveloppement en s´erie de Fourier.
c) Donner, en les justifiant, les valeurs de a0 et des an pour tout n entier.
La fonctionf est impaire, donc : a0 = 0 et an= 0 pour tout n
d) Calculer le coefficient bn pourn >0.
bn= 2 2π
Z π
−π
f(t) sin(n t)dt est paire = 2 π
Z π 0
tsin(n t)dt car f(t) sin(n t) est paire.
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♠ 2 / 4 LATEX 2ε
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On va faire une int´egration par partie :
u=t
dv= sin(n t)dt
du=dt
v =− cos(n t) n bn= 2
π Z π
0
tsin(n t)dt= 2 π
h− tcos(n t) n
iπ 0
+ 2 nπ
Z π 0
cos(n t)dt
= 2 π
−π(−1)n n
− 2 π
0
+ 2 nπ
h sin(n t) n
iπ 0
= −2(−1)n n bn = −2(−1)n
n e) Ecrire les quatre premiers termes de´ S(t).
S(t) = 2 sin(t)−sin(2t) + 2
3sin(3t)− 1
2sin(4t) +. . .
2)
Soit la fonction num´erique f ainsi d´efinie :
fde p´eriode 2π ;
f(t) = π si t∈h 0 ; π
2 h
f(t) = 0 si t∈h π 2; 2πh
a) Repr´esenter graphiquement f sur un intervalle d’au moins 3 p´eriodes.
t f(t)
−3π −2π −π 0 π 2
π 2π 3π 4π 5π
π
b) Calculer fe2 le carr´e de la valeur efficace def. fe2 = 2π1
Z 2π 0
f(t)2dt = 1 2π
Z π2
0
π2dt = π2 4
c) D´eterminer les coefficients de Fourier a0, an et bn pour n >0.
a0 = 2π1 Z 2π
0
f(t)dt = 1 2π
Z π2
0
π dt= π 4
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♠ 3 / 4 LATEX 2ε
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an = 2 2π
Z 2π 0
f(t) cos(n t)dt= 1 π
Z π2
0
πcos(n t)dt
=hsin(n t) n
iπ2
0
=sin(nπ2) n
− 0
an = sin(nπ2) n
bn = 2 2π
Z 2π 0
f(t) sin(n t)dt= 1 π
Z π2
0
πsin(n t)dt
=h
− cos(n t) n
iπ2
0
=−cos(nπ2) n
−
− 1 n
bn = 1−cos(nπ2) n d) Ecrire les cinq premi`´ eres harmoniques de S(t).
S(t) = π 4 +
+∞
X
n=1
sin(nπ2)
n cos(n t) + 1−cos(nπ2)
n sin(n t)
S(t) = π
4 + cos(t) + sin(t) + sin(2t)− 1
3cos(3t) + 1
3sin(3t) + 1
5cos(5t) + 1
5sin(5t). . . Soit maintenant la fonction g d´efinie sur R par :
g : t 7→ g(t) = π
4 + cos(t) + sin(t) + sin(2t)− 1
3cos(3t) + 1
3sin(3t) e) Calculer `a l’aide de la formule de Parseval g2e le carr´e de la valeur efficace de g.
ge2 = π2
16 +12+ 10
2 + 0 + 12
2 +
1 32 + 312
2 donc : ge2 = π2 16 +29
18
f ) Calculer une valeur approch´ee, `a 10−3 pr`es, du rapport : ge2 fe2 ge2
fe2 =
π2 16 +2918
π2 4
= 9π2+ 232 36π2 ge2
fe2 '0,903
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♠ 4 / 4 LATEX 2ε
