I Fonction d’Ackermann
TS : devoir sur feuille n
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I Fonction d’Ackermann
Cette fonctionAest une fonction de deux entiers natu- rels, définie ainsi :
• A(0 ;n)=n+1 pour toutn∈N
• A(m+1 ; 0)=A(m; 1) pour toutm∈N
• A(m+1 ;n+1)=A(m; A(m+1 ;n)) pour tousm∈Net n∈N.
(a) CalculerA(0 ; 0),A(0 ; 1) etA(1 ; 0).
(b) CalculerA(m;n) pourmÉ3 etnÉ5.
On présentera les résultats dans un tableau.
(c) Émettre des conjectures sur les expression de A(1 ; n) et de A(2 ; n) en fonction den et les dé- montrer.
(d) Démontrer queA(3 ;n)=2n+3−3 pour toutnÊ0.
II Spirales
ABC Dest un carré de centreOdont les diagonales ont pour longueur 2.
On construit les deux spirales suivantes dont les som- mets appartiennent aux diagonales du carré.
Spirale géométrique: les distances deOaux sommets successifsA0=A,A1,A2,A3, etc. valent 1,1
2,1 4,1
8, etc.
bO
bA bB
bC
bD
bA1
bA2
b
A3
b
A4
Spirale harmonique: Les distances deOaux sommets B0=A,B1,B2,B3,B4, etc sont 1,1
2,1 3,1
4,1 5, etc.
bO
bA bB
bC
bD
bB1
bB3
bB4
bB2
On noteLnla longueur de la spiraleA0A1A2· · ·An etL′nla longueur de la spiraleB0B1B2· · ·Bnpour toutnÊ1.
1. Spirale géométrique :
ExprimerO AnpuisAnAn+1en fonction den. En dé- duireLnen fonction denpuis la limite de (Ln).
2. Spirale harmonique:
ExprimerOBnen fonction denpuisBnBn+1en fonc- tion de n. Conjecturer le comportement asympto- tique de L′n (le comportement quand n tend vers +∞).
3. (a) Montrer queBnBn+1Ê 1 n+1.“
En déduire que, pour tout n Ê1, L′n Êhn où hn=1+1
2+1 3+1
4+ · · · + 1 n.
(b) Exprimerh2n−hn. Quel est le plus petit terme de cette somme?
En déduire queh2n−hnÊ1 2. (c) En déduire queh2n−hnÊ1
2(n−1).
(d) Montrer que la suite (hn) n’est pas majorée. En déduire sa limite et celle de¡
L′n¢ . III
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
Justifier chaque réponse.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé³ O;−→
i ;−→ j ;−→
k´ .
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(1 ;−1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(−3 ; 5 ; 4) et D(1; 2; 3).
On noteDla droite ayant pour représentation paramétrique
x = t+1 y = 2t−1 z = 3t+2
,t∈R
etD′la droite ayant pour représentation paramétrique
x = k+1 y = k+3 z = −k+4
,k∈R. On noteP le plan d’équationx+y−z+2=0.
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IV
Question 1 :
Propositiona. Les droitesDetD′sont parallèles.
Propositionb. Les droitesDetD′sont coplanaires.
Propositionc. Le point C appartient à la droiteD. Propositiond. Les droitesDetD′sont orthogonales.
Question 2 :
Propositiona. Le planP contient la droiteDet est parallèle à la droiteD′. Propositionb. Le planP contient la droiteD′et est parallèle à la droiteD. Propositionc. Le planP contient la droiteDet est orthogonal à la droiteD′. Propositiond. Le planP contient les droitesDetD′.
Question 3 :
Propositiona. Les points A, D et C sont alignés.
Propositionb. Le triangle ABC est rectangle en A.
Propositionc. Le triangle ABC est équilatéral.
Propositiond. Le point D est le milieu du segment [AB].
Question 4 :
On noteP′le plan contenant la droiteD′et le point A. Un vecteur normal à ce plan est : Propositiona. −→
n(−1 ; 5 ; 4) Propositionb. →−
n(3 ;−1 ; 2) Propositionc. −→
n(1 ; 2 ; 3) Propositiond. →−
n(1 ; 1 ;−1) IV
L’espace est muni d’un repère orthonormé³ O;−→
i ;−→ j ;−→
k´ . On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2; 2; 2).
1. (a) Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
(b) Montrer que le vecteur−→ n
1 1
−3
est un vecteur normal au plan (ABC).
(c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
2. SoitPle plan d’équation :x−y+z−4=0.
(a) Montrer que les plans (ABC) etPsont sécants.
(b) SoitD la droite intersection des plansPet (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite D.
3. On considère la sphèreSde centreΩ(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ;−1 ; 1). On admet que la droiteDa pour représentation paramétrique :
x = 1+t y = −3+2t
z = t,
t∈R. (a) Montrer que le point I appartient à la droiteD.
(b) Montrer que le point I appartient à la sphèreS.
(c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Montrer que la droiteDcoupe la sphèreSen un deuxième point.
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