[ Baccalauréat S 2010 \ L’intégrale de septembre 2009 à juin 2010

(1)

L’intégrale de septembre 2009 à juin 2010

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bleus

Antilles–Guyane septembre 2009 . . . 3

France et Réunion septembre 2009 . . . 8

Polynésie obligatoire septembre 2009 . . . 13

Amérique du Sud novembre 2009 . . . 18

Nouvelle-Calédonie novembre 2009 . . . 22

Pondichéry avril 2010 . . . .27

Amérique du Nord 3 juin 2010 . . . .31

Liban 3 juin 2010 . . . 35

Antilles-Guyane 18 juin 2010 . . . 38

Asie 21 juin 2010 . . . 43

Centres étrangers 14 juin 2010 . . . .48

La Réunion 22 juin 2010 . . . 54

Métropole 23 juin 2010 . . . 58

Polynésie 10 juin 2010 . . . 64

(2)

Baccalauréat S : l’intégrale 2010 A. P. M. E. P.

2

(3)

EXERCICE1 4 points Commun à tous les candidats

VRAI OU FAUX

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

PARTIE A

Soit (un) la suite définie pour toutn∈N^∗parun=(−1)ⁿ. 1. La suite (un) est bornée.

2. La suite (un) converge.

3. La suite de terme généralun

n converge.

4. Toute suite (vn) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0.

PARTIE B

1. SiAetBsont deux évènements indépendants avecP(B)6=0 etP(B)6=1, alors P(A∩B)=PB(A).

2. SiXest une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors P(X∈[0,1 ; 0,6])=0,6.

3. SiXest une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et1 3, alorsP(X>₁₎₌₁₋

µ2 3

¶₁₀₀ .

EXERCICE2 5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité L’espace est muni d’un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

,→−k´ . On considère les points A(1 ;−1 ; 4), B(7 ;−1 ;−2) et C(1 ; 5 ;−2).

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs−−→AB ,−−→AC et−−→BC . b. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

c. Montrer que le vecteur−→n(1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

d. En déduire quex+y+z−4=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

2. SoitDla droite de représentation paramétrique







x = −2t y = −2t−2 z = −2t−3

où t∈R.

a. Montrer que la droiteDest perpendiculaire au plan (ABC).

b. Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droiteDet du plan (ABC) sont (3 ; 1 ; 0).

(4)

c. Montrer que G est l’isobarycentre des points A, B et C.

3. SoitS la sphère de centre G passant par A.

a. Donner une équation cartésienne de la sphèreS.

b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection E et F, de la droite Det de la sphèreS.

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité L’annexe est à rendre avec la copie L’espace est muni d’un repère orthonormé³

O,→−ı ,−→

 ,→−k´ .

On considère la surfaceS1d’équation z=x²+y², et la surfaceS2d’équationz= x y+2x.

PARTIE A

On noteP le plan d’équationx=2,E1l’intersection de la surfaceS1et du planP etE2l’intersection de la surfaceS2et du planP.

Enannexe, le planP est représenté muni du repère³ A ;−→

 ,→−k´

où A est le point de coordonnées (2 ; 0 ; 0).

1. a. Déterminer la nature de l’ensembleE1. b. Déterminer la nature de l’ensembleE2.

2. a. Représenter les ensemblesE1etE2sur la feuilleannexe.

b. Dans le repère³

O,−→ı ,−→

 ,→−k´

donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensemblesE1etE2.

PARTIE B

On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :

«soient a,b et c des entiers avec a premier. Si a divise bc alors a divise b ou a divise c.»

L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersectionM(x; y;z) des surfacesS1etS2oùyetzsont des entiers relatifs etxun nombre premier.

On considère un tel pointM(x;y;z).

1. a. Montrer quey(y−x)=x(2−x).

b. En déduire que le nombre premierxdivisey. 2. On posey=kxaveck∈Z.

a. Montrer quexdivise 2, puis quex=2.

b. En déduire les valeurs possibles dek.

3. Déterminer les coordonnées possibles deM et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b.

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³

O,→−u,−→v ´ d’unité graphique 1 cm.

Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.

Antilles-Guyane 4 septembre 2009

(5)

1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives

zA= −11+4i,zB= −3−4i et zC=5+4i.

2. Calculer le module et un argument du quotientzA−zB

zC−zBet en déduire la nature du triangle ABC.

3. Soit E l’image du point C par la rotationRde centre B et d’angleπ 4. Montrer que l’affixe de E vérifiezE= −3+¡

8p 2−4¢

i.

Placer le point E.

4. Soit D l’image du point E par l’homothétieH de centre B et de rapport p2

2 . Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Placer le point D .

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

SoitDla droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la droiteDet de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].

Montrer que B, I et J sont alignés.

Soitf la fonction définie pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ; 1] par : f(x)=1+xlnx.

On notef^′la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; 1].

Cest la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

 ´ . Test la droite d’équationy=x.

La courbeC et la droiteTsont représentées sur le schéma ci-dessous.

1. a. Justifier que lim

x→0f(x)=1.

b. En utilisant le signe dexlnxsur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre réelx∈]0 ; 1] , on af(x)6_1.

2. a. Calculerf^′(x) pour tout nombre réelx∈]0 ; 1].

b. Vérifier que la droiteT est tangente à la courbeC au point d’abscisse 1.

3. On notegla fonction définie pour tout nombre réelx∈]0 ; 1] par g(x)=1+xlnx−x.

a. Étudier les variations deg sur l’intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation deg.

On ne cherchera pas la limite degen 0.

b. En déduire les positions relatives de la courbeC et de la droiteT. 4. Soitαun nombre réel tel que 0<α<1.

On poseI(α)= Z₁

α

£1−f(x)¤ dx.

a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que I(α)=α²

2 lnα+1 4−α²

4 .

(6)

b. Déterminer lim

α→0I(α).

c. Interpréter graphiquement le résultat précédent.

d. À l’aide des résultats précédents, déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris entre la courbeC, la droiteT et l’axe des ordonnées.

(7)

ANNEXE Exercice 2

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité À rendre avec la copie

5 10

−5

−5 5 y

z

A −→



−

→k

(8)

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Métropole & La Réunion \ septembre 2009

EXERCICE 1 (6 points)

Commun à tous les candidats Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par

f(x)=ln¡ x²+4¢

. PARTIE A

1. Étudier le sens de variation de la fonctionf sur l’intervalle [0 ;+∞[.

2. Soitgla fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ parg(x)=f(x)−x.

a. Étudier le sens de variation de la fonctiongsur l’intervalle [0 ;+∞[ . b. Montrer que sur l’intervalle [2 ; 3] l’équationg(x)=0 admet une unique

solution que l’on noteraα.

Donner la valeur arrondie deαà 10⁻¹.

c. Justifier que le nombre réelαest l’unique solution de l’équationf(x)=x.

PARTIE B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère la suite (un) définie paru0=1 et pour tout entier naturelnpar :u_n+l= f(un).

La courbeC représentative de la fonction f et la droite∆d’équation y =x sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

1. À partir deu0, en utilisant la courbeC et la droite∆, on a placéu1sur l’axe des abscisses. De la même manière, placer les termesu2etu3sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.

2. Placer le pointIde la courbeC qui a pour abscisseα.

3. a. Montrer que, pour tout nombre entier natureln, on a 16un6α.

b. Démontrer que la suite (un) converge.

c. Déterminer sa limite.

EXERCICE 2 : (5 points)

Commun à tous les candidats L’espace est muni d’un repère orthonormal³

O ;→− i ;−→

j ;−→ k´

.

Métropole & La Réunion 8 septembre 2009

(9)

1. On désigne parPle plan d’équationx+y−1=0 et parP^′le plan d’équation y+z−2=0.

Justifier que les plansP _etP^′sont sécants et vérifier que leur intersection est la droiteD, dont une représentation paramétrique est :







x=1−t y=t z=2−t

, oùt désigne un nombre réel.

2. a. Déterminer une équation du planRpassant par le point O et orthogonal à la droiteD_.

b. Démontrer que le point I, intersection du planRet de la droiteD_{, a pour} coordonnées (0 ; 1 ; 1).

3. Soient A et B les points de coordonnées respectives µ

−1 2 ; 0 ; 1

2

¶

et (1 ; 1 ; 0).

a. Vérifier que les points A et B appartiennent au planR_.

b. On appelle A^′et B^′les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.

Justifier que le quadrilatère ABA’ B’ est un losange.

c. Vérifier que le point S de coordonnées (2 ;−1 ; 3) appartient à la droite D_.

d. Calculer le volume de la pyramide SABA^′B^′.

On rappelle que le volume V d’une pyramide de base d’aire b et de hauteur h est : V=1

3b×h.

EXERCICE 3 : (4 points)

Commun à tous les candidats PARTIE A

Soitf la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels parf(x)=e^x.

On appelleC_f la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal

³O;−→i ;−→j´ .

1. Soitaun nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbeC_f _{au point}_M d’abscisseacoupe l’axe des abscisses au pointPd’ abscissea−1.

2. SoitN le projeté orthogonal du pointM sur l’axe des abscisses. Démontrer que−−→N P= −→−i

PARTIE B

Soitg une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle queg^′(x)6=0 pour tout nombre réelx.

On appelleC_gla courbe représentative de la fonctiongdans un repère orthonormal

³O;−→i ;−→j´ .

Soitaun nombre réel. On considère le pointMde la courbeC_g _d’abscisse_a_{et le} pointNprojeté orthogonal du pointMsur l’axe des abscisses.

SoitPle point d’intersection de la tangenteTaà la courbeC_g _{au point}_M_{avec l’axe} des abscisses.

Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.

(10)

1 2

−1 O →−i

−

→j C_g

bM

bN bP

x y

1. Démontrer que le point P a pour coordonnées µ

a− g(a) g^′(a); 0

¶ .

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Existe-t-il une fonctiongvérifiantg(0)=2 et−−→N P=→− i ?

EXERCICE 4 : (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un réparateur de vélos a acheté 30 % de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40 % à un deuxième et le reste à un troisième.

Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le troisième 85 %.

1. Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.

a. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875.

b. Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu’il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10⁻³.

2. Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.

Quelle est alors la probabilité qu’au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10⁻³.

3. On noteXla variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l’hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètreλ.

On rappelle que, pour tout nombre réelkpositif :P(X6k)=R_k

0λe⁻^λxdx a. Montrer queP(5006X61000)=e^−500λ−e^−1000λ.

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

(11)

La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et 1 000 kilomètres sans crevaison étant égale à1

4, déterminer la valeur arrondie à 10⁻⁴du para- mètreλ.

EXERCICE 4 : (5 points)

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 1. a. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009 par 11.

b. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2¹⁰par 11.

c. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2²⁰⁰⁹+2009 par 11.

2. On désigne parpun nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombreA_n=2ⁿ+p.

On notednle PGCD deAnetAn+1. a. Montrer quedndivise 2ⁿ.

b. Déterminer la parité deA_nen fonction de celle dep. Justifier.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la parité dednen fonction de celle dep.

En déduire le PGCD de 2²⁰⁰⁹+2009 et 2²⁰¹⁰+2009.

(12)

ANNEXE DE L’EXERCICE 1 (à rendre avec la copie)

O →−i

−

→j

u0

C

∆

u1

(13)

On considère le cube OABCDEFG d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous.

Il n’est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie.

Soient les points P et Q tels que−−→OP=2−−→OA et−−→OQ=4−−→OC . On appelle R le barycentre des points pondérés (B,−1) et (F , 2).

L’espace est muni du repère orthonormal³

O ;−−→OA ,−−→OC ,−−→OD´ . 1. a. Démontrer que le point R a pour coordonnées (1 ; 1 ; 2).

b. Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés.

c. Quelle est la nature du triangle PQR ?

2. a. Démontrer qu’une équation du plan (PQR) est 4x+2y+z−8=0.

b. Vérifier que le point D n’appartient pas au plan (PQR).

3. On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR).

a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (DH).

b. Déterminer les coordonnées du point H.

c. Démontrer que le point H appartient à la droite (PR).

A

B

C D

E F

G

O

Pour chaque question, deux propositions sont énoncées.

Il s’agit de dire, sans le justifier, si chacune d’elles est vraie ou fausse.Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE.

Pour chaque question, il est compté1point si les deux réponses sont exactes,0,5point pour une réponse exacte et une absence de réponse et0point sinon.

(14)

Question A Proposition 1 Proposition 2

Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.

On tire deux boules au hasard simultané- ment. On considère les évènements : A : « les deux boules tirées sont de la même couleur » ;

B : « une seule des deux boules tirées est rouge ».

La probabilité de A est égale à

3 7.

La probabilité de B est égale à

1 7.

Question B Proposition 3 Proposition 4

Soient A, B et C trois évènements d’un même universΩmuni d’une probabilité P.

On sait que :

• A et B sont indépendants ;

• P(A)=2

5;P(A∪B)=3 4;

• P(C)=1

2;P(A∩C)= 1 10·

P(B)= 7

12 P³

A∪C´

=2 5. A∪C désigne l’évènement contraire de

A∪C.

Question C Proposition 5 Proposition 6

Une variable aléatoireXsuit une loi binomiale de paramètresnetpoùnest égal à 4 etpappartient à ]0 ; 1[.

SiP(X=1)= 8P(X=0) alors

p=2 3.

Sip=1 5alors P(X=1)=

P(X=0).

Question D Proposition 7 Proposition 8

La durée de vie, exprimée en années, d’un appareil est modélisée par une variable aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλ=0,07 sur [0 ;+∞[.

On rappelle que pour toutt>0, la proba- bilité de l’évènement (X6t) est donnée par :

P(X6t)= Zt

0 λe^−λxdx(avecλ=0,07).

La probabilité que l’appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale

à 0,5 à 10⁻² près.

Sachant que l’appareil a fonctionné 10 ans, la probabilité qu’il

fonctionne encore 10 ans est égale à 0,5 à

10⁻²près.

Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct³

O,−→u,−→v´

, unité graphique : 2 cm.

On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1.

On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On appelleFl’application du planP privé du point O dansP qui, à tout pointM différent de O, d’affixez, associe le pointM^′=F(M) d’affixez^′définie par :

z^′=z+i−1 z.

1. On considère les points A et B d’affixes respectivesa=i etb=eⁱ^π⁶ et leurs images A^′et B^′parFd’affixes respectivesa^′etb^′.

a. Calculera^′etb^′.

b. Placer les points A, A^′B et B^′.

Polynésie 14 septembre 2009

(15)

c. Démontrer que −b b^′−b=

p3 3 i.

d. En déduire la nature du triangle OBB^′.

2. On recherche l’ensemble (E) des points du planP privé du point O qui ont pour image parF, le point O.

a. Démontrer que, pour tout nombre complexez, z²+iz−1=

Ã z+

p3 2 +1

2i

! Ã z−

p3 2 +1

2i

! . b. En déduire les affixes des points de l’ensemble (E).

c. Démontrer que les points de (E) appartiennent à (Γ).

3. Soitθun réel.

a. Démontrer que siz=e^iθalorsz^′=(2sinθ+1)i.

b. En déduire que siMappartient au cercle (Γ) alorsM^′appartient au segment [A^′C] où C a pour affixe−i.

Pour tout entier natureln, on considère la fonctionfndéfinie sur ]0 ;+∞[ par : fn(x)= −nx−xlnx.

On note (C_n) la courbe représentative de la fonctionfn, dans un repère orthonormal

³O,−→ı ,→−

´ .

Les courbes (C₀), (C₁) et (C₂) représentatives des fonctionsf0,f1etf2sont données en annexe.

On rappelle que lim

x→0xlnx=0.

Partie A : Étude de la fonction f0définie sur ]0 ;+∞[ parf0(x)= −xlnx.

1. Déterminer la limite def₀en+∞.

2. Étudier les variations de la fonctionf0sur ]0 ;+∞[.

Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonctionfn,n entier naturel.

Soitnun entier naturel.

1. Démontrer que pourx∈]0 ;+∞[ ,f_n^′(x)= −n−1−lnxoùf_n^′désigne la fonction dérivée defn.

2. a. Démontrer que la courbe (C_n) admet en un unique pointAnd’abscisse e⁻ⁿ⁻¹une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

b. Prouver que le pointAnappartient à la droite∆d’équationy=x.

c. Placer sur la figure en annexe les pointsA0, A1,A2.

3. a. Démontrer que la courbe (C_n) coupe l’axe des abscisses en un unique point, notéBn, dont l’abscisse est e⁻ⁿ.

b. Démontrer que la tangente à (C_n) au pointBna un coefficient directeur indépendant de l’entiern.

c. Placer sur la figure en annexe les pointsB0, B1,B2. Partie C : Calculs d’aires

Pour tout entier natureln, on considère le domaine du planDn délimité par l’axe des abscisses, la courbe (C_n) et les droites d’équationx=e⁻ⁿ⁻¹etx=e⁻ⁿ.

On noteInl’aire en unités d’aires du domaineDn.

(16)

1. Hachurer, sur la figure donnée en annexe, les domainesD0,D1, D2. 2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

Z₁

1 e

xlnxdx.

b. En déduire queI0=1 4− 3

4e².

c. On admet que le domaineDn+1est l’image du domaineDnpar l’homo- thétie de centre O et de rapport1

e. ExprimerI1etI2en fonction deI0.

(17)

ANNEXE

Cette page sera complétée et remise à la fin de l’épreuve

Exercice 4

0,5

−0,5

0,5 1,0 1,5

O

(C₀) (C₁)

(C₂)

(18)

[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ Novembre 2009

EXERCICE 1 6 points

Commun à tous les candidats L’espace est muni d’un repère orthonormal³

O,−→ı ,→−

´

. On prend 1 cm comme unité.

Partie A — Restitution organisée de connaissances

Soit D le point de coordonnées (xD,yD,zD) etPle plan d’équation ax+by+cz+d=0, oùa,betcsont des réels qui ne sont pas tous nuls.

Démontrer que la distance du point D au planPest donnée par : d(D,P)=

¯

¯axD+byD+czD+d¯

¯ pa²+b²+c²

Partie B

On considère les points A de coordonnées (3 ;−2 ; 2), B de coordonnées (6 ;−2 ;−1), C de coordonnées (6 ; 1 ; 5) et D de coordonnées (4 ; 0 ;−1).

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l’aire du triangle ABC.

2. Vérifier que le vecteur−→n de coordonnées (1 ;−2 ; 1) est normal au plan (ABC).

Déterminer une équation du plan (ABC).

3. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

Partie C

SoitQle plan d’équationx−2y+z−5=0.

1. Déterminer la position relative des deux plansQet (ABC).

2. Qcoupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.

Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment [DA].

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer le volume du tétraèdre EFGD.

Amérique du Sud 18 Novembre 2009

(19)

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans le plan muni d’un repère orthonormé³

O,−→u,−→v´

, on considère les points A et B d’affixes respectives 2 et (−2) et on définit l’applicationf qui à tout pointMd’affixe zet différent de A associe le pointM^′d’affixe

z^′=z(z−2) z−2 .

1. a. Déterminer l’affixe du point P^′image parf du point P d’affixe (1+i).

b. Montrer que les droites (AP) et (BP^′) sont parallèles.

c. Établir que les droites (AP) et (PP^′) sont perpendiculaires.

2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est-à-dire l’ensemble des points tels que M’=M).

On cherche à généraliser les propriétés1.bet1.cpour obtenir une construction de l’imageM^′d’un pointMquelconque du plan.

3. a. Montrer que pour tout nombre complexez, le nombre (z−2)¡ z−2¢

est réel.

b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2,z^′+2

z−2 est réel.

c. Montrer que les droites (AM) et (BM^′) sont parallèles.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation.

SoitMun point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résul- tats de la question1.c.

5. SoitMun point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du pointM^′image deMparf. Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3−2i.

EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On considère un carré direct ABCD (c’est à dire un carré ABCD tel que

³−−→AB ;−−→AD´

=π

2 [2π]) de centre I.

Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA].

Γ1désigne le cercle de diamètre [AI] etΓ2désigne le cercle de diamètre [BK].

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directestelle ques(A)=I et s(B)=K.

2. Montrer que les cerclesΓ1etΓ2se coupent en deux points distincts : le point J et le centreΩde la similitude directes.

3. a. Déterminer les images parsdes droites (AC) et (BC). En déduire l’image du point C pars.

b. Soit E l’image parsdu point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].

(20)

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les points A,Ωet E sont alignés.

(On pourra considérer la transformationt=s◦s).

Partie B

Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct

µ A ; 1

10

−−→AB ; 1 10

−−→AD

¶ . 1. Donner les affixes des points A, B, C et D.

2. Démontrer que la similitude directesa pour écriture complexe z^′= i

2z+5+5i.

3. Calculer l’affixeωdu centreΩdes.

4. Calculer l’affixezEdu point E et retrouver l’alignement des points A,Ωet E.

5. Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au pointΩ.

EXERCICE 3 5 points

Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à 10⁻²près de l’inté- grale :

I= Z₁

0

µ e⁻^x 2−x

¶ dx

1. a. Étudier les variations de la fonctionf :x7−→f(x)= e^−x

2−x sur l’intervalle [0 ; 1].

b. Montrer que, pour tout réelxde l’intervalle [0 ; 1], on a1

e6_f_(x)6¹ 2. 2. SoitJetKles intégrales définies parJ=R1

0(2+x)e^−xdxetK=R1

0x²f(x) dx.

a. Au moyen d’une intégration par parties, prouver queJ=3−4 e.

b. Utiliser un encadrement def(x) obtenu précédemment pour démontrer que 1

3e6K6¹ 6.

c. Démontrer queJ+K=4I.

d. Déduire de tout ce qui précède un encadrement deI, puis donner une valeur approchée à 10⁻²près deI.

EXERCICE 4 4 points

On considère un questionnaire comportant cinq questions.

Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A,BetC), une seule d’entre elles étant exacte.

Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

(21)

Par exemple, le mot «BB A AC» signifie que le candidat a réponduBaux première et deuxième questions,Aaux troisième et quatrième questions etCà la cinquième question.

1. a. Combien y-a-t’il de mots-réponses possible à ce questionnaire ? b. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq ques-

tions de ce questionnaire.

Calculer la probabilité des évènements suivants : E: « le candidat a exactement une réponse exacte ».

F: « le candidat n’a aucune réponse exacte ».

G: « le mot-réponse du candidat est un palindrome » (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, «B AC AB» est un palindrome).

2. Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.

On désigne parX le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.

a. Justifier que la variable aléatoireX suit la loi binomiale de paramètres n=28 etp= 32

243.

b. Calculer la probabilité, arrondie à 10⁻², qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.

(22)

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2009 \

Le plan est muni d’un repère orthonormal³

O,−→ı ,→−

´ . On considère la fonctionf définie surRpar :

f(x)=x²e^−x. On notef^′la fonction dérivée def.

1. a. Déterminer les limites de la fonctionf en−∞et+∞. b. Calculerf^′(x) et déterminer le tableau de variations def.

c. En déduire le signe def surR.

2. Pour tout nombre réela, on considère l’intégrale :I(a)= Z_a

0 f(x) dx.

a. Donner selon les valeurs deale signe deI(a).

b. À l’aide d’une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réela:

I(a)=2−2e^−a µ

1+a+a² 2

¶ . c. En déduire pour tout nombre réela:

1

2e^aI(a)=e^a− µ

1+a+a² 2

¶ .

3. Soientgethles fonctions définies surRparg(x)=e^xeth(x)=1+x+x² 2 . On noteC la courbe représentative degetP celle deh.

a. Montrer que les courbesC etP ont la même tangente au point d’abscisse 0.

b. Déduire des questions précédentes la position relative des courbesC et P.

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0,3.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0,8.

Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis.

Pour tout entier naturelnnon nul, on considère l’évènement :

– Tn: « le manchot utilise le toboggan lors de sonn-ième passage. » – Pn: « le manchot utilise le plongeoir lors de sonn-ième passage. »

(23)

On considère alors la suite (un) définie pour tout entier natureln>1 par : un=p(Tn)

oùp(Tn) est la probabilité de l’évènementTn.

1. a. Donner les valeurs des probabilitésp(T1),p(P1) et des probabilités condi- tionnellespT1(T2),pP1(T2).

b. Montrer quep(T2)=1 4.

c. Recopier et compléter l’arbre suivant :

b

Tn

un

Tn+1

...

Pn+1

...

P_n

... ... Tn+1

P_n+1 ...

d. Démontrer que pour tout entiern>1,un+1=0,1un+0,2.

e. À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (un).

2. On considère la suite (vn) définie pour tout entier natureln>1 par : vn=un−2

9.

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1

10. Préciser son premier terme.

b. Exprimervnen fonction den. En déduire l’expression deunen fonction den.

c. Calculer la limite de la suite (un). Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Soitnun entier naturel non nul.

1. On considère l’équation notée (E) :

3x+7y=10²ⁿoùxetysont des entiers relatifs.

a. Déterminer un couple (u;v) d’entiers relatifs tels que 3u+7v=1.

En déduire une solution particulière¡ x0;y0¢

de l’équation (E).

b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x;y) solutions de (E).

2. On considère l’équation notée (G)

3x²+7y²=10²ⁿoùxetysont des entiers relatifs.

a. Montrer que 100≡2 (modulo 7).

Démontrer que si (x;y) est solution de (G) alors 3x²≡2ⁿ(modulo 7).

Nouvelle-Calédonie 23 novembre 2009

(24)

b. Reproduire et compléter le tableau suivant : Reste de la division eucli-

dienne dexpar 7

0 1 2 3 4 5 6

Reste de la division euclidienne de 3x²par 7.

c. Démontrer que 2ⁿest congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.

En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.

L’espace est rapporté au repère orthonormal³

A ;−−→AB ,−−→AD ,−→AE´ .

On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie.

On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. Démontrer que le vecteur−→n(2 ; 1 ; 1) est orthogonal à−→IK et à−→IJ . En déduire qu’une équation du plan (IJK) est : 4x+2y+2z−5=0.

3. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (CD).

b. En déduire que le point d’intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées

µ3 4; 1 ; 0

¶ . c. Placer le point R sur la figure.

4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes.

5. a. Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est p6

4 . b. SoitS la sphère de centre G passant par F.

Justifier que la sphèreS et le plan (IJK) sont sécants.

Déterminer le rayon de leur intersection.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O,→−u,−→v ´

d’unité graphique 2 cm. On considère les points A et B d’ affixes respectiveszA=1+ip

3,zB=2i.

1. a. ÉcrirezAetzBsous forme exponentielle.

b. Placer les points A et B sur une figure que l’on complètera au cours de l’exercice.

c. Déterminer la nature du triangle OAB.

2. On noterla rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout pointMd’

affixez, on noteM^′l’image deMparretz^′l’affixe du pointM^′. a. Calculer un argument du quotient zB

zA. Interpréter géométriquement ce résultat.

b. En déduire l’écriture complexe de la rotationr.

3. SoientΓle cercle de centre A passant par O etΓ^′le cercle de centre B passant par O.

Soit C le deuxième point d’intersection deΓetΓ^′(autre que O). On notezC

son affixe.

(25)

a. Justifier que le cercleΓ^′est l’image du cercleΓpar la rotationr.

b. Calculer l’affixezIdu milieu I de [AB].

c. Déterminer la nature du quadrilatère OACB.

d. En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l’affixe de C est : z_C=1+

³2+p 3´

i.

4. Soit D le point d’affixezD=2ip 3.

a. Justifier que le point D appartient au cercleΓ. Placer D sur la figure.

b. Placer D^′image de D par la rotationrdéfinie à la question 2.

On notez_D′ l’affixe de D^′. Montrer quez_D′= −p

3+3i.

5. Montrer que les vecteurs−−→DC et−−−→

DD^′ sont colinéaires. Que peut-on en dé- duire ?

(26)

ANNEXE

Exercice 3

Commun à tous les candidats À rendre avec la copie

A

B

C

D E

F

G

H

z

y z

(27)

Partie A - Restitution organisée de connaissances :

Soitaetbdeux réels tels quea<betf etgdeux fonctions continues sur l’intervalle [a;b]. On suppose connus les résultats suivants :

• Z_b

a

£f(t)+g(t)¤ dt=

Z_b

a f(t) dt+ Z_b

a g(t) dt.

• Si pour toutt∈[a;b], f(t)>0 alors Zb

a f(t) dt>0.

Montrer que : si pour toutt∈[a;b], f(t)6g(t) alors Zb

a f(t) dt6 Zb

a g(t) dt.

Partie B

Soitnun entier naturel non nul. On appellefnla fonction définie sur [0 ;+∞[ par fn(x)=ln¡

1+xⁿ¢ et on poseIn=

Z₁

0 ln¡ 1+xⁿ¢

dx.

On noteC_nla courbe représentative defndans un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→



´. 1. a. Déterminer la limite def1en+∞.

b. Étudier les variations def1sur [0 ;+∞[.

c. À l’aide d’une intégration par parties, calculerI1et interpréter graphiquement le résultat.

(Pour le calcul deI1on pourra utiliser le résultat suivant : pour toutx∈[0 ; 1], x

x+1=1− 1 x+1)

2. a. Montrer que pour tout entier naturel non nuln, on a 06In6ln 2.

b. Étudier les variations de la suite (In) c. En déduire que la suite (In) est convergente.

3. Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par g(x)=ln(1+x)−x.

a. Étudier le sens de variation degsur [0 ;+∞[.

b. En déduire le signe degsur [0 ;+∞[. Montrer alors que pour tout entier naturelnnon nul, et pour toutxréel positif, on a

ln¡ 1+xⁿ¢

6xⁿ. c. En déduire la limite de la suite (I_n).

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité L’espace est muni d’un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

,→−k´ .

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une dé monstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.

(28)

1. La droite de représentation paramétrique







x = t+2 y = −2t z = 3t−1

, t∈Rest paral- lèle au plan dont une équation cartésienne est :x+2y+z−3=0.

2. Les plansP,P^′,P^′′d’équations respectivesx−2y+3z=3, 2x+3y−2z=6 et 4x−y+4z=12 n’ont pas de point commun.

3. Les droites de représentations paramétriques respectives







x = 2−3t y = 1+t z = −3+2t

,t∈Ret







x = 7+2u y = 2+2u z = −6−u

,u∈Rsont sécantes.

4. On considère les points :

A, de coordonnées (−1 ; 0 ; 2), B, de coordonnées (1 ; 4 ; 0), et C, de coordon- nées (3 ;−4 ;−2).

Le plan (ABC) a pour équationx+z=1.

5. On considère les points :

A, de coordonnées (−1 ; 1 ; 3), B, de coordonnées (2 ; 1 ; 0), et C, de coordon- nées (4 ;−1 ; 5).

On peut écrire C comme barycentre des points A et B.

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépen- dante.

Partie A

Dans cette partie, on se propose d’étudier des couples (a,b) d’entiers strictement positifs, tels que :

a²=b³

Soit (a,b) un tel couple etd=PGCD(a, b). On noteuetvles entiers tels quea=du etb=d v.

1. Montrer queu²=d v³.

2. En déduire quevdiviseu, puis quev=1.

3. Soit (a,b) un couple d’entiers strictement positifs.

Démontrer que l’on aa²=b³si et seulement siaetbsont respectivement le cube et le carré d’un même entier.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse. sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que sinest le carré d’un nombre entier naturel et le cube d’un autre entier, alorsn≡0 [7] oun≡1 [7].

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

 ,−→ k ´

, on considère la surface Sd’équationx²×y²=z³.

Pour tout réelλ, on noteC_λla section deSpar le plan d’équationz=λ.

1. Les graphiques suivants donnent l’allure deC_λtracée dans le plan d’équation z=λ, selon le signe deλ.

Attribuer à chaque graphique l’un des trois cas suivants :λ<0,λ=0,λ>0, et justifier l’allure de chaque courbe.

Pondichéry 28 21 avril 2010

(29)

graphique 1

(pas de courbe visible)

graphique 2 graphique 3

C_λ

2. a. Déterminer le nombre de points deC₂₅dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.

b. Pour cette question, on pourra éventuellement s’aider de la question3de la partie A.

Déterminer le nombre de points deC₂₀₁₀dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs

Une urne contient 10 boules blanches etnboules rouges,nétant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros.

On désigne parXla variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

Les trois questions de l’exercice sont indépendantes.

1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l’urne.

a. Démontrer que :P(X= −1)= 20n (n+10)(n+9).

b. Calculer, en fonction denla probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variableX.

c. Vérifier que l’espérance mathématique de la variable aléatoireXvaut : E(X)=−6n²−14n+360

(n+10)(n+9) .

d. Déterminer les valeurs denpour lesquelles l’espérance mathématique est strictement positive.

2. Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l’urne. Les tirages sont indépendants. Déterminer la valeur minimale de l’entiernafin que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure à 0,999.

3. On suppose quen=1000. L’urne contient donc 10 boules blanches et 1 000 boules rouges.

Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d’

effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu’à obtenir une boule blanche.

Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l’on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoireZsuivant la loi :

pour toutk∈N,p(Z6k)= Z_k

0 0,01e^−0,01xdx.

On répondra donc aux questions suivantes à l’aide de ce modèle.

(30)

a. Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soitP(Z650).

b. Calculer la probabilité conditionnelle de l’évènement : « le joueur a tiré au maximum 60 boules pour tirer une boule blanche » sachant l’évène- ment « le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche ».

On considère la suite (un)_n∈Ndéfinie par : u0=1 et pour toutn∈N,un+1=1

3un+n−2.

1. Calculeru1,u2etu3.

2. a. Démontrer que pour tout entier natureln>4, un>0.

b. En déduire que pour tout entier natureln>5,un>n−3.

c. En déduire la limite de la suite (u_n)n∈N.

3. On définit la suite (v_n)n∈Npar : pour toutn∈N,v_n= −2u_n+3n−21 2 . a. Démontrer que la suite (vn)_n∈Nest une suite géométrique dont on don-

nera la raison et le premier terme.

b. En déduire que : pour toutn∈N,un=25 4

µ1 3

¶_n +3

2n−21 4 . c. Soit la sommeSndéfinie pour tout entier naturelnpar :Sn=

Xn k=0

uk. Déterminer l’expression deS_nen fonction den.

(31)

EXERCICE1 4 points L’espace est rapporté à un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

 ,−→k ´ . Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

A(1 ;−2 ; 4) B(−2 ;−6 ; 5) C(−4 ; 0 ;−3).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur−→n(1 ;−1 ;−1) est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC).

b. Déterminer les coordonnées du point O^′projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droite (BC).

Soittle réel tel que−−→BH =t−−→BC . a. Démontrer quet=

−−→BO·−−→BC

°

−−→BC°

°

2 .

b. En déduire le réeltet les coordonnées du point H.

Une urne contient des boules indiscernables au toucher.

20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges.

Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ? 2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.

Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro 2 est égale à2 7. 3. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2.

On effectuentirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l’urne).

a. Exprimer en fonction denla probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours desntirages.

b. Déterminer l’entiernà partir duquel la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours desn tirages est supé- rieure ou égale à 0,99.

Enseignement obligatoire

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct³

O,→−u,−→v´

d’unité graphique 2 cm.

(32)

On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On considère les points A d’affixe i, B d’affixe−2i et D d’affixe 1.

On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soitf l’application qui à tout pointMd’affixez(z6=i) associe le pointM^′d’affixez^′ définie par :

z^′=2z−i iz+1. 1. Démontrer que le point E a pour affixe

Ã1 2+

p3 2

! (1+i).

2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point D^′ associé au point D par l’applicationf.

3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexezdifférent de i,¡ z^′+2i¢

(z− i)=1.

b. En déduire que pour tout pointMd’affixez(z6=i) : BM^′×AM=1

et³−→u,−−−→

BM^′´

= −

³−→u,−−→AM´

+k×2πoùkest un entier relatif.

4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayonp

2.

b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E^′associé au point E par l’application f. On laissera apparents les traits de construction.

5. Quelle est la nature du triangle BD^′E^′?

Enseignement de spécialité Partie A

On cherche l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x,y) solutions de l’équation (E) : 16x−3y=4.

1. Vérifier que le couple (1, 4) est une solution parliculière de (E).

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³

O,−→u,→−v´ .

On considère la transformationf du plan, qui à tout pointMd’ affixez, associe le pointM^′d’affixez^′définie par

z^′=p 2e^3iπ⁸ z.

On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante :

le point M0a pour afflxez0=i et pour tout entier natureln,Mn+1=f(Mn).

On noteznl’affixe du pointMn

Les points M0, M1, M2et M3sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationf. 2. On notegla transformation f◦f ◦f◦f.

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma- tiong.

Amérique du Nord 32 3 juin 2010

(33)

b. En déduire que pour tout entier natureln, OM_n+4=4OM_net que³−−−−→OM_n,−−−−−→OM_n+4´

=

−π

2+k×2πoùkest un entier relatif.

c. Compléter la figure en construisant les points M4, M5et M6. 3. Démontrer que pour tout entier natureln,zn=¡p

2¢n

eⁱ^¡^π²⁺^3nπ⁸ ^¢. 4. Soient deux entiers naturelsnetptels quep6_n.

a. Exprimer en fonction denetpune mesure de³−−−−→OMp,−−−−→OMn

´.

b. Démontrer que les points O,Mp etMn sont alignés si et seulement si n−pest un multiple de 8.

5. Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que le pointM_nappartienne à la demi-droite [Ox). On pourra utiliser la partie A.

À tout entier naturelnnon nul, on associe la fonctionfndéfinie surRpar fn(x)= 4e^nx

e^nx+7.

On désigne parC_nla courbe représentative de la fonctionfndans un repère orthonormal³

O,→−ı ,−→

 ´ .

Les courbesC₁,C₂etC₃sont données en annexe.

Partie A :Étude de la fonctionf₁définie surRparf₁(x)= 4e^x e^x+7 1. Vérifier que pour tout réelx, f1(x)= 4

1+7e^−x.

2. a. Démontrer que la courbeC₁admet deux asymptotes dont on précisera des équations.

b. Démontrer que la fonctionf1est strictement croissante surR. c. Démontrer que pour tout réelx, 0<f1(x)<4.

3. a. Démontrer que le point I1de coordonnées (ln7 ; 2) est un centre de sy- métrie de la courbeC₁.

b. Déterminer une équation de la tangente (T1) à la courbeC₁au point I1. c. Tracer la droite (T1).

4. a. Déterminer une primitive de la fonctionf₁surR.

b. Calculer la valeur moyenne def1sur l’intervalle [O; ln7].

Partie B :Étude de certaines propriétés de la fonctionfn.

1. Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul le point A µ

0 ; 1 2

¶

appartient à la courbeC_n·

2. a. Démontrer que pour tout entier natureln non nul la courbeC_n et la droite d’équationy=2 ont un unique point d’intersection dont on pré- cisera l’ abscisse.

On noteInce point d’intersection.

b. Déterminer une équation de la tangente (Tn) à la courbeC_nau pointIn. c. Tracer les droites (T2) et (T3).

3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturelnnon nul par

un= n ln7

Z^ln7_n

0 fn(x) dx.

Montrer que la suite (u_n) est constante.

Amérique du Nord 33 3 juin 2010