[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2009 \
4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon p
2.
b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E′associé au point E par l’application f. On laissera apparents les traits de construc-tion.
5. Quelle est la nature du triangle BD′E′?
EXERCICE3 5 points
Enseignement de spécialité Partie A
On cherche l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x,y) solutions de l’équation (E) : 16x−3y=4.
1. Vérifier que le couple (1, 4) est une solution parliculière de (E).
2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³
O,−→u,→−v´ .
On considère la transformationf du plan, qui à tout pointMd’ affixez, associe le pointM′d’affixez′définie par
z′=p 2e3iπ8 z.
On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante :
le point M0a pour afflxez0=i et pour tout entier natureln,Mn+1=f(Mn).
On noteznl’affixe du pointMn
Les points M0, M1, M2et M3sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationf. 2. On notegla transformation f◦f ◦f◦f.
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma-tiong.
Amérique du Nord 32 3 juin 2010
b. En déduire que pour tout entier natureln, OMn+4=4OMnet que³−−−−→OMn,−−−−−→OMn+4´ 4. Soient deux entiers naturelsnetptels quep6n.
a. Exprimer en fonction denetpune mesure de³−−−−→OMp,−−−−→OMn
´.
b. Démontrer que les points O,Mp etMn sont alignés si et seulement si n−pest un multiple de 8.
5. Déterminer l’ensemble des entiers naturelsntels que le pointMnappartienne à la demi-droite [Ox). On pourra utiliser la partie A.
EXERCICE4 8 points
À tout entier naturelnnon nul, on associe la fonctionfndéfinie surRpar fn(x)= 4enx
enx+7.
On désigne parCnla courbe représentative de la fonctionfndans un repère ortho-normal³
2. a. Démontrer que la courbeC1admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
b. Démontrer que la fonctionf1est strictement croissante surR. c. Démontrer que pour tout réelx, 0<f1(x)<4.
3. a. Démontrer que le point I1de coordonnées (ln7 ; 2) est un centre de sy-métrie de la courbeC1.
b. Déterminer une équation de la tangente (T1) à la courbeC1au point I1. c. Tracer la droite (T1).
4. a. Déterminer une primitive de la fonctionf1surR.
b. Calculer la valeur moyenne def1sur l’intervalle [O; ln7].
Partie B :Étude de certaines propriétés de la fonctionfn.
1. Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul le point A µ
2. a. Démontrer que pour tout entier natureln non nul la courbeCn et la droite d’équationy=2 ont un unique point d’intersection dont on pré-cisera l’ abscisse.
On noteInce point d’intersection.
b. Déterminer une équation de la tangente (Tn) à la courbeCnau pointIn. c. Tracer les droites (T2) et (T3).
3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturelnnon nul par
un= n ln7
Zln7n
0 fn(x) dx.
Montrer que la suite (un) est constante.
Amérique du Nord 33 3 juin 2010
Baccalauréat S : l’intégrale 2010 A. P. M. E. P.
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve Exercice 3 (enseignement de spécialité)
2 4 6
−2
−4
−6
2 4 6 8
−2
−4
−6
−8
+ + +
+
+ M1
M2
M3
−
→u
−
→v
x y
O M0
Exercice 4
2 4
−2
2 4
−2
−4 x
y
O
C1 C2 C3
Amérique du Nord 34 3 juin 2010
EXERCICE1 5 points Partie A
Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants :
• e0=1.
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar : un=
2. Montrer que pour tout entier natureln,un>0.
3. a. Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,un+1+un=1−e−n
EXERCICE2 4 points
L’espace est muni d’un repère orthonormal³
O,→−ı ,−→
,→−k´ .
On note (D) la droite passant par les points A(1 ;−2 ;−1) et B(3 ;−5 ;−2).
1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :
2. On note (D′) la droite ayant pour représentation paramétrique :
Montrer que les droites (D) et (D′) ne sont pas coplanaires.
3. On considère le plan (P) d’équation 4x+y+5z+3=0.
a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D).
b. Montrer que le plan (P) et la droite (D′) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
4. On considère la droite (∆) passant par le point C et de vecteur directeur−→w(1 ; 1 ;−1).
a. Montrer que les droites (∆) et (D′) sont perpendiculaires.
Baccalauréat S : l’intégrale 2010 A. P. M. E. P.
b. Montrer que la droite (∆) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
EXERCICE3 5 points
Enseignement obligatoire
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 ti-rages successifs d’une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l’urne et on recommence).
Proposition 1 :« La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est 3×
2. Une variable aléatoireXsuit la loi exponentielle de paramètreλ(λ>0).
On rappelle que pour tout réela>0 :p(X6a)=
Proposition 3 :« Si l’entier naturelnest un multiple de 3 alorsznest un réel. » 4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
³O,−→u,−→v´
, le point A d’affixea=2−i et le point B d’affixeb=1+i 2 a.
Proposition 4 :« Le triangle OAB est rectangle isocèle. »
5. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct³
O,−→u,−→v´ , à tout pointMdu plan d’affixeznon nulle on associe le pointM′d’affixez′telle quez′=−10
z oùzdésigne le nombre conjugué dez.
Proposition 5 :« Il existe un pointMtel que O,MetM′ne sont pas alignés. »
EXERCICE3 5 points
Enseignement de spécialité
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
³O,−→
On note I le milieu du segment [AB].
Proposition 1 :« La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexez′=(1+i)z−1−2i. »
Liban 36 3 juin 2010
2. On appelle S l’ensemble des couples (x;y) d’entiers relatifs solutions de l’équa-tion 3x−5y=2.
Proposition 2 :« L’ensemble S est l’ensemble des couples (5k−1 ; 3k−1) oùk est un entier relatif. »
3. On considère l’équation (E) :x2+y2=0 modulo 3, où (x;y) est un couple d’entiers relatifs.
Proposition 3 :« Il existe des couples (x; y) d’entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de 3. »
4. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 3.
Proposition 4 :« Pour tout entier naturelk(26k6n), le nombren!+kn’est pas un nombre premier. »
5. On considère l’équation (E′) :x2−52x+480=0, oùxest un entier naturel.
Proposition 5 :« Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l’équation (E′). »
EXERCICE4 6 points
Partie A
Soitula fonction définie sur ]0 ;+∞[ par
u(x)=x2−2+lnx.
1. Étudier les variations deusur ]0 ;+∞[ et préciser ses limites en 0 et en+∞. 2. a. Montrer que l’équationu(x)=0 admet une solution unique sur ]0 ;+∞[.
On noteαcette solution.
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 deα.
3. Déterminer le signe deu(x) suivant les valeurs dex.
4. Montrer l’égalité : lnα=2−α2. Partie B
On considère la fonctionf définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ par f(x)=x2+(2−lnx)2.
On notef′la fonction dérivée def sur ]0 ;+∞[.
1. Exprimer, pour toutxde ]0 ;+∞[, f′(x) en fonction deu(x).
2. En déduire les variations def sur ]0 ;+∞[.
Partie C
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé³ O,−→
ı ,→−
´, on note :
• Γla courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;
• A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
• Mle point deΓd’abscissexappartenant à ]0 ;+∞[.
1. Montrer que la distance AMest donnée par AM=p f(x).
2. Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=p f(x.
a. Montrer que les fonctionsf etgont les mêmes variations sur ]0 ;+∞[.
b. Montrer que la distance AMest minimale en un point deΓ, noté P, dont on précisera les coordonnées.
c. Montrer que AP=αp 1+α2.
3. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente àΓen P ?
Liban 37 3 juin 2010
Durée : 4 heures