Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2010
1. Restitution organisée de connaissances
PourM6=Ω, on rappelle que le pointM′est l’image du pointMpar la rotation rde centreΩet d’angle de mesureθsi et seulement si :
Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments.
b. En déduire l’expression dez′en fonction dez,θetω 2. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation :
z2−4p
3z+16=0.
On donnera les solutions sous forme algébrique.
3. SoientAetBles points d’affixes respectivesa=2p
3−2ı etb=2p 3+2ı.
a. Écrireaetbsous forme exponentielle.
b. Faire une figure et placer les pointsAetB.
c. Montrer que OABest un triangle équilatéral.
4. SoitCle point d’affixec= −8ı etD son image par la rotation de centre O et
5. Montrer queDest l’image du pointBpar une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.
6. Montrer que OADest un triangle rectangle.
EXERCICE2 5 points
Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan est muni d’un repère orthonormal direct³
O,→−u,−→v ´
d’unité 1 cm.
1. Restitution organisée de connaissances
On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes :
Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un pointMd’affixez en un pointM′ d’affixez′admet une expression complexe de la forme z′=az+boùa∈C∗etb∈C.
Propriété 2 : Soit C une point d’affixec. Pour tout point D, distinct de C, d’af-fixedet pour tout point E, distinct de C, d’affixee, on a :
³−−→CD ;−−→CE´
=arg³e−c d−c
´ (2π).
Question :Montrer qu’une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.
2. Soient les pointsCetD d’affixes respectivesc=3 etd=1−3ı, etS1la simi-litude qui à tout pointMdu plan associe le pointM1symétrique deMpar rapport à l’axe³
O ;→−u´
des réels.
a. Placer les pointsCetDpuis leurs images respectivesC1etD1parS1. On complètera le figure au fur et à mesure de l’exercice.
Antilles-Guyane 39 18 juin 2010
Baccalauréat S : l’intégrale 2010 A. P. M. E. P.
b. Donner l’expression complexe deS1. 3. SoitS2la similitude directe définie par :
– le pointC1et son imageC′d’affixec′=1+4i ; – le pointD1et son imageD′d’affixed′= −2+2i.
a. Montrer que l’expression complexe deS2est :z′=iz+1+i.
b. En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
4. SoitS la similitude définie parS =S2◦S1. Déterminer l’expression complexe deS.
5. On pourra admettre désormais queS est la similitude indirecte d’expression complexe :
z′=iz+1+i.
a. Quelle est l’image deCparS ? Quelle est l’image deDparS ? b. SoitHle point d’affixehtel que :h−c=eiπ3(d−c).
Montrer que le triangleCDHest équilatéral direct.
c. SoitH′ l’image deH parS. Préciser la nature du triangleC′D′H′ et construire le pointH′(on ne demande pas de calculer l’affixeh′du point H′).
EXERCICE3 4 points
Commun à tous les candidats
On donne la représentation graphique d’une fonction f définie et continue sur l’intervalleI=[−3 ; 8].
1 2 3 4
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4 x
y
On définit la fonctionFsurI, parF(x)= Zx
0 f(t)dt.
1. a. Que vautF(0) ?
b. Donner le signe deF(x) : – pourx∈[0 ; 4] ; – pourx∈[−3 ; 0].
Justifier les réponses.
c. Faire figurer sur le graphique donné enANNEXEles éléments permettant de justifier les inégalités 66F(4)612.
Antilles-Guyane 40 18 juin 2010
2. a. Que représentef pourF?
b. Déterminer le sens de variation de la fonctionFsurI. Justifier la réponse à partir d’une lecture graphique des propriétés def.
3. On dispose de deux représentations graphiques surI.
Courbe A Courbe B
2 4 6 8 10
−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2
−3
−4 x
y
2 4 6 8 10
−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2
−3
−4 x
y
L’une de ces courbes peut-elle représenter la fonctionF? Justifier la réponse.
EXERCICE4 6 points
Commun à tous les candidats Partie A
Soitgla fonction définie pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=x−xlnx.
1. Déterminer les limites de la fonctiongen 0 et+∞.
2. Montrer quegest dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et queg′(x)= −lnx.
3. Dresser le tableau de variations de la fonctiong. Partie B
Soit (un) la suite définie pour toutn∈N∗parun=en nn. 1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
a. le sens de variation de la suite (un) ; b. la limite éventuelle de la suite (un).
2. Soit (vn) la suite définie pour toutn∈N∗parvn=ln(un).
a. Montrer quevn=n−nlnn.
b. En utilisant laPartie A, déterminer le sens de variation de la suite (vn).
c. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Montrer que la suite (un) est bornée.
4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
Antilles-Guyane 41 18 juin 2010
Baccalauréat S : l’intégrale 2010 A. P. M. E. P.
FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie) Exercice 3
Commun à tous les candidats
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4 x
y
Antilles-Guyane 42 18 juin 2010
EXERCICE1 4 points Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notéea,boucest exacte. On demande au candidat d’indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne ré-ponse. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte0,5point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n’enlèvent pas de point.
Dans l’espace rapporté à un re-père orthonormal ³
Réponsea: isocèle. Réponseb: équilatéral. Réponsec: rectangle.
2. Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés {(O, 2), (A, -1), (C, 1)}
Réponseb : forment un rectangle.
Réponsec : forment un carré.
5. Question 5 : Une représentation paramétrique de paramètretde la droite (KE) est :
Baccalauréat S : l’intégrale 2010 A. P. M. E. P.
6. Question 6 : Une équation cartésienne du plan (GBK) est : Réponsea:2x+2y−z−2=
EXERCICE2 5 points
Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³
O,−→u,→−v´ . L’unité graphique est 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argu-mentπ
2.
On considère les points A, B, C et P d’affixes respectives : a= −2, b=2−2ip
3, c=3+3ip
3 et p=10.
PARTIE A Étude de la configuration 1. Construction de la figure.
a. Placer les points A et P dans le repère³
O,−→u,→−v´ . b. Déterminer les modules des nombres complexesbetc.
c. Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.
2. Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.
3. On noterAla rotation de centre A et d’angleπ 3.
a. Vérifier que l’image Q du point C parrAa pour affixe :q= −4+4ip 3.
b. Vérifier l’égalité :q= −2b. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ?
4. Soit R le symétrique de C par rapport à O.
a. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O.
b. Établir que : AP = BQ = CR.
PARTIE B
On notef l’application qui, à tout pointMdu plan, associe le réelf(M) défini par :
f(M)=MA+MB+MC.
1. Calculerf(O).
Asie 44 21 juin 2010
2. SoientMun point quelconque etNson image par la rotationrA. Démontrer que :MA=M Npuis queMC=NQ.
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia-tives, même infructueuses, sera prise en compte dans l’évaluation.
En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que pour tout pointMdu plan, f(M)>12.
EXERCICE2 5 points
Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³
A ;−→u,→−v´ . L’unité graphique est 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. On considère les points B, C et H d’affixes respectives :
b=5i, c=10 et h=2+4i.
Construire une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.
1. Étude de la position du point H
a. Démontrer que le point H appartient à la droite (BC).
b. Calculer h
h−c, et en déduire que³−−→HC ,−−→HA´
= −π 2 [2π].
2. Étude d’une première similitude a. Calculer les rapports :BH
AH, BA ACetAH
CH.
b. Démontrer qu’il existe une similitude directeS1 qui transforme le tri-angle CHA en le tritri-angle AHB.
c. Déterminer l’écriture complexe de cette similitudeS1ainsi que ses élé-ments caractéristiques.
3. Étude d’une seconde similitude
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia-tives, même infructueuses, sera prise en compte dans l’évaluation
On noteS2la similitude qui à tout pointMd’affixezassocie le pointM′ d’af-fixez′telle que :
z′=(−1−2i)z+10.
Démontrer queS2est composée d’une symétrie orthogonale d’axe (∆), et d’une similitude directe dont le centreΩappartient à (∆). Préciser (∆).
4. Étude d’une composée
a. Calculer le rapport de la similitude composéeS2◦S1.
b. En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.
EXERCICE3 4 points
Commun à tous les candidats
Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’ar-chéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Asie 45 21 juin 2010
Baccalauréat S : l’intégrale 2010 A. P. M. E. P.
Lorsque len-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’évènement : « len-ième sondage est positif » est notéVn, on notepnla pro-babilité de l’évènementVn.
L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :
• si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi positif ;
• si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire :p1=1.
1. Calculer les probabilités des évènements suivants : a. A : « les 2eet 3esondages sont positifs » ; b. B : « les 2eet 3esondages sont négatifs ».
2. Calculer la probabilitép3pour que le 3esondage soit positif.
3. ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé :
bpn
b Vn+1
b Vn+1
b1−pn
b Vn+1
b Vn+1
4. Pour tout entier naturelnnon nul, établir que :pn+1=0,5pn+0,1.
5. On noteula suite définie, pour tout entier naturelnnon nul par :un=pn−0,2.
a. Démontrer queuest une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
b. Exprimerpnen fonction den.
c. Calculer la limite, quandntend vers+∞, de la probabilitépn.
EXERCICE4 4 points
Commun à tous les candidats
L’objectif de l’exercice est l’étude d’une fonction et d’une suite liée à cette fonction PARTIE A
On notef la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)= 1
x2e1x.
On noteC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
³O,−→ı ,→−
´
. L’unité graphique est 1 cm.
1. Étude des limites
a. Déterminer la limite de la fonctionf quandxtend vers 0.
Asie 46 21 juin 2010
b. Déterminer la limite de la fonctionf quandxtend vers+∞.
c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe C?
2. Étude des variations de la fonctionf
a. Démontrer que, la fonction dérivée de la fonctionf s’exprime, pour tout réelxstrictement positif, par :
f′(x)= − 1
x4e1x(2x+1).
b. Déterminer le signe def′et en déduire le tableau de variation def sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
c. Démontrer que l’équationf(x)=2 a une unique solution notéeα appar-tenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ et donner la valeur approchée deαarrondie au centième.
3. Tracer la courbeC dans le repère orthonormal³
O,−→ı ,→−
´ .
PARTIE B Étude d’une suite d’intégrales
Pour tout entier natureln>2 on considère l’intégraleIndéfinie par : In=
Z2 1
1 xne1xdx.
1. CalculerI2.
2. Une relation de récurrence
a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier natureln>2 :
In+1=e− pe
2n−1+(1−n)In. b. CalculerI3.
3. Étude de la limite de la suite de terme généralIn
a. Établir que pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle [1 ; 2], on a :
06 1
xne1x 6 e xn.
b. En déduire un encadrement deIn puis étudier la limite éventuelle de la suite (In).
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Durée : 4 heures