TS : devoir n
o1
Si l’esprit d’un homme s’égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu’il s’écarte, il sera obligé de recommencer. (Francis Bacon, philosophe)
I
Résoudre l"équation : 2x4−11x2+15=0
II
Résoudre soigneusement dansRl’inéquation
1É 4
(x+3)2
III
Pour toutn∈NavecnÊ2, on appelle factorielle n, notéen! le produit de tous les entiers compris entre 1 etn. Ainsi :
• 1!=1 ; 2!=1×2=2 (lire factorielle 2);
3! = 1×2×3 ; 10! = 1×2×3× · · · ×9×10 = 3 628 800
• Par convention : 0!=1
Définition
Démontrer par récurrence surnque : Pour toutnÊ4,n!Ên2.
IV
Soit (un) une suite arithmétique de raisonr. On sait queu102=47 etu157=25.
Déterminer la raisonr, le premier termeu0et cal- culeru3000.
V
Soit (vn) une suite géométrique de raison réelleq. On sait quev3=12 etv6=324.
1. Déterminerq.
2. En déduirev4,v7etv0.
VI
On considère la suite (un) définie par u0=10 et pour tout entier natureln,un+1=1
2un+1.
1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un).
3. Étudier les variations de la fonction f définie surRparf(X)=1
2x+1.
4. Démontrer la conjecture par récurrence.
VII
On considère la fonction f 7−→x+ 1
x−2. On ap- pelle C sa courbe représentative dans un repère
³ O; −→
i ; −→ j
´.
1. Quel est l’ensemble de définition de f ?
2. À l’aide de la calculatrice, conjecturer
x→−∞lim f(x), lim
x→+∞f(x), lim
x→2 x<2
f(x) et lim
x→2 x>2
f(x).
3. Calculer f′(x); mettre l’expression sous forme fractionnaire, la factoriser et étudier son signe.
4. En déduire les variations de f ; dresser le ta- bleau de variation de f.
5. Question facultative:
On appelleg la fonction définie parg(x)=xet Dla courbe représentative deg.
(a) Que vaut lim
x→−∞
£f(x)−g(x)¤ et
x→+∞lim
£f(x)−g(x)¤
? Que peut-on en dé- duire?
(b) En étudiant le signe de f(x)−g(x), quelle est la position relative deC et deD? (c) Tracer dans un repère orthonormé
³ O;→−
i ;−→ j ´
la droite d’équationx =2, D puisC.
