I
TS devoir sur feuille n
o3
On ne peut plus expliquer le monde, faire ressentir sa beauté à ceux qui n’ont aucune connaissance profonde des mathématiques. (Richard Feynman)
I
Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de fa- çon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme sui- vante:
B B B B B B B B B J J J V V R
R V V J J J B B B B B B B B B
La fléchette atteint toujours une case et une seule.
Les trente cases, blanches(B),jaunes(J),vertes(V)ou rouges (R),ont toutes la même probabilité d’être atteintes.
Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.
Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.
Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perda euros, la lettreadésigne un nombre réel positif.
1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).
(a) Donner la loi de probabilité deX.
(b) Calculera pour que le jeu soit équitable, c’est- à-dire pour que l’espérance E(X) soit nulle.
2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.
(a) Quelle est la probabilitépqu’un joueur gagne?
(b) Un joueur joue 5 parties consécutives indépen- dantes.
Quelle est la probabilité
— qu’il gagne exactement 2 fois?
— exactement 5 fois?
(c) Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en2. b.?
II
On considère une suite arithmético-géométrique (un) définie par son premier terme u0 et la relation de récur- renceun+1=aun+b oùa etbsont des réels non nuls et a6=1.
1. Soit f la fonctionx7→ax+b. Déterminer son point fixe, c’est-à-dire la solutionαde l’équation f(x)=x.
2. Puisqueαest le point fixe def, on a :α=aα+b.
On définit alors une suite auxiliaire (vn) par vn=un−αpour toutn∈N.
Montrer que (vn) est géométrique de raison a. On précisera son premier terme en fonction deu0. 3. En déduire l’expression devnen fonction den, puis
celle deunen fonction den.
4. Application : soit la suite (un) définie par
u0=4 un+1=1
3un−7 .
Donner l’expression deunen fonction den.
5. Cette suite est-elle convergente? Si oui, quelle est sa limite?
III
On considère la suite (un) définie pour tout entier na- turelnparu0=2 etun+1=2
3un+1 3n+1.
1. (a) Calculeru1,u2,u3 etu4. On poura en donner des valeurs approchées au centième près.
(b) Formuler une conjecture sur le sens de varia- tion de la suite (un).
2. (a) Démontrer par récurrence que, pour toutn∈N, unÉn+3.
(b) Démontrer que, pour toutn∈N, un+1−un=1
3(n+3−un).
En déduire une validation de la conjecture.
3. On désigne par (vn) la suite définie pour toutn∈N par :vn=un−n.
(a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison2
3.
(b) En déduire une expression devnen fonction de npuis montrer queun=2
µ2 3
¶n
+n.
(c) En déduire la limite deun quand n tend vers +∞.
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IV
IV
Soitf la fonction définie surRpar : f(x)=x4+4x+1.
Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions surRet déterminer une encadrement d’am- plitude 10−2de ces solutions.
V
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ;−1 ; 5),
B(2 ;−1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4).
Un pointMse déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un pointN se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
À l’instantt=0 le pointMest en A et le pointN est en C.
On noteMt et Nt les positions des pointsM etN au bout detsecondes,tdésignant un nombre réel positif.
On admet que Mt et Nt, ont pour coordonnées : Mt(t;−1 ; 5) etNt(11 ; 0,8t; 1+0,6t).
Les questions1et2sont indépendantes.
1. (a) La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel?
(b) La droite (CD) se trouve dans un planP paral- lèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK).
Lequel? On donnera une équation de ce plan P.
(c) Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E(11 ;−1 ; 5).
(d) Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes?
2. (a) Montrer queMtNt2=2t2−25,2t+138.
(b) À quel instanttla longueurMtNtest-elle mini- male?
VI
1. On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=x3−3x−3.
(a) Étudier les variations de g et dresser son ta- bleau de variation.
(b) Calculerg(3).
(c) Démontrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαdansR.
(d) À l’aide de la calculatrice, donner une encadre- ment deαd’amplitude 10−3.
(e) En déduire le tableau de signes deg(x).
2. Soitf la fonction définie surR\ {−1 ; 1} par : f(x)=2x3+3
x2−1 . Démontrer que, pour toutx∈R\−1 ; 1 :
f′(x)= 2xg(x)
¡x2−1¢2.
3. Étudier soigneusement les limites def aux bornes de son ensemble de définition.
4. Dresser le tableau de variation deg(on pensera à vé- rifier la cohérence des limites avec le tableau de va- riation).
5. On a tracé ci-après la courbeC représentative de la fonctionf.
Démontrer que la pointAd’abscisseαa pour ordon- néef(α)=3(2α+3)
α2−1 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3
−1
−2
−3
−4
×
AO
C
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