Chapitre III : La r � � � � flexion de la lumi � � � � re – Miroirs plan et sph � � � � rique
I – La r����flexion plane :
Un miroir plan est une surface plane capable de r�fl�chir la lumi�re presque en totalit�. Le miroir plan est parfaitement stigmatique.
1- Objet r����el :
AH = HA’
A’ est une image virtuelle. Pour le miroir plan l’objet et l’image sont toujours de nature oppos�e
Quand les rayons arrivant sur un syst�me optique divergent � partir d'un point, existant r�ellement ou non, ce point joue le r�le d'objet r�el pour le syst�me optique. Tout rayon incident issu du point A donne un rayon r�fl�chi dont le prolongement "derri�re" le miroir est sym�trique du rayon incident par rapport au plan du miroir. Tous les rayons r�fl�chis forment donc un faisceau divergent et semblent provenir du sym�trique A' de A par rapport au miroir.
2- Objet virtuel :
Quand les rayons arrivant sur un syst�me optique convergent vers un point, ce point joue le r�le d'objet virtuel pour le syst�me. Tous les rayons r�fl�chis convergent vers le point A' sym�trique de A par rapport au miroir : A' est l'image r�elle de A. Un syst�me optique est
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dit stigmatique pour un couple de points A et A' (points conjugu�s) si tout rayon passant par le point A �merge du syst�me en passant par le point A'.
" Un miroir plan est stigmatique pour tout couple objet-image "
3. Champ d'un miroir plan :
Pour un observateur dont l'œil est plac� en O, le champ du miroir est l'ensemble des points visibles par r�flexion sur le miroir. Ce champ est donc la portion d'espace limit�e par le miroir et les demi-droites passant par O' (image virtuelle de O donn�e par le miroir) et un point du bord du miroir.
4. Propri����t����s : i/ Translation
A’B’ est une image virtuelle de AB � travers M. Si le miroir M se d�place de x alors A’B’ de AB se d�placera alors de 2x.
ii/ Rotation
Si un miroir M plan effectue une rotation d’un angle α alors l’image A’ d’un objet A tournera
d’un angle 2α, comme on peut le voir sur la figure ci-dessous :
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iii/ Association de miroirs
Consid�rons 2 miroirs plans M1 et M2 formants un angle α entre eux. Pla�ons un point objet A r�el entre les deux faces r�fl�chissantes des miroirs (voir figure ci-dessous).
Si on suppose que l’angle α entre les deux miroirs s’�crit comme α =
π
/p , on peut montrer que le nombre d’images obtenues est alors (2p-1).II – Le miroir sph����rique :
1. D����finitions :
Un miroir sph�rique est une portion de sph�re dont l'une des faces est r�fl�chissante. En g�n�ral c'est une calotte sph�rique de sommet S dont le rayon du cercle de base est le rayon d'ouverture du miroir. L’axe principale du miroir est perpendiculaire au plan tangent au sommet de base et rencontre le miroir M au point S.
Un miroir sph�rique concave, caract�ris� par une face r�fl�chissante se trouvant du m�me cot� du centre C de M.
Un miroir sph�rique convexe, caract�ris� par une face r�fl�chissante se trouvant de l’autre cot� du centre C de M.
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2- Recherche du stigmatisme.
Un miroir sph�rique est �videmment stigmatique pour tout point sur sa surface (figure 1), un faisceau convergent incident donnant simplement un faisceau r�fl�chi sym�trique par rapport � la normale au point d'incidence.
Il est aussi stigmatique pour son centre qui est � lui-m�me son image (figures 2 et 3).
figure 1 figure 2 figure 3
2. Construction g����om����trique :
En dehors de ces deux cas particuliers de stigmatisme cit�s plus haut, soient A un point lumineux sur l'axe principal et AB un rayon incident qui se r�fl�chit sur le miroir selon BA' sym�trique de AB par rapport � la normale (CB), selon une incidence i par rapport � la normale N support de (CB). Le rayon r�fl�chit passe par A’ se trouvant sur l’axe du miroir M.
Si on envoi maintenant un autre rayon lumineux suivant une autre incidence autre que i alors l’image obtenue ne sera plus au m�me endroit, et on ne peut pas parler de stigmatisme
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rigoureux pour le miroir sph�rique. Alors que pour le centre C du miroir le stigmatisme parfait est r�alis� ainsi que pour tous les points de la surface r�fl�chissante du miroir M.
4. Formules de conjugaison :
Dans les conditions de stigmatisme approch� et particuli�rement dans les conditions d’approximation de Gauss ( rayons paraxiaux et angles tr�s petits ), nous pouvons �tablir la formule de conjugaison d’un miroir sph�rique. On consid�re les triangles (ABC) et (BA’C). On �crit alors :
π − θ + u + i = π et π − θ + u’ + i = π 2θ = u +u’
tg u = HB/AH ~ u et tg u’ = BH/A’H ~ u’ et tg θ = HB/CH ~ θ Le miroir �tant de faible ouverture alors H est confondu avec S
2 HB/CH = HB/AH + BH/A’H
C’est la formule de conjugaison d’un miroir sph�rique convexe ou concave, avec origine au sommet S, dans les conditions d’approximation de Gauss.
On peut facilement montrer une autre formule avec origine au centre C donn�e par :
Points et plans focaux :
Un point focal image F’ est d�finit comme l’image d’un point objet situ�� l’infini, c’est � dire pour A (infini) lui correspond F’= A’ ce qui se traduit, dans la formule de conjugaison par :
SF’ = f ’ = SC/2
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Un point focal objet F est d�finit comme l’objet d’une image situ�e � l’infini. C’est � dire F = A pour A’ (infini) ce qui se traduit, dans la formule de conjugaison par : SF = f = SC/2
Un plan focal image est un plan PF’ perpendiculaire� l’axe principal (CS) et passant par le point focal image F’.
Un plan focal objet est un plan PF perpendiculaire� l’axe principal (CS) et passant par le point focal objet F.
On remarque que pour un miroir sph�rique, F et F’ sont confondus. Pour le plan focal objet et le plan focal image, ce sont deux plans perpendiculaires � l’axe (CS) et passants par F et F’ ( ils sont confondus ).
III – Repr����sentations dans les conditions de Gauss :
Elle porte sur des miroirs de faibles ouvertures, des objets de petites dimensions perpendiculaires � l’axe, et caract�rise une correspondance de plan � plan. En construction paraxiale, le miroir sera repr�sent� par le plan tangent � son sommet S.
IV- Construction de l'image d'un objet : Objet ���� l'infini :
L'image est dans le plan focal, r�elle et renvers�e si le miroir est concave, virtuelle et droite s'il est convexe.
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Un miroir sph�rique convexe est un miroir divergent.
Objet r����el AB situ�������� une distance finie (miroir concave) :
L’objet AB est r�el
o l’image A’B’ est r�elle
o A’B’ est renvers�e, plus petite que l’objet
L’objet peut aussi �tre situer entre le C entre et le foyer F’, entre le foyer F’ et le sommet S et entre le sommet S et l’infini. La nature des images obtenues d�pendra alors des diff�rentes positions des objets.
Objet r����el AB situ�������� une distance finie (miroir convexe) :
L’objet AB est r�el
o l’image A’B’ est virtuelle
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2- Agrandissement :
Si on consid�re un objet AB r�el, plac� sur l’axe principal d’un miroir sph�rique M concave ( voir Fig.1 ci-dessous). Le grandissement Γ d’un miroir sph�rique est donn� par :
Γ = A’B’ / AB = CA’ / CA
D�monstration :
On consid�re les triangles semblables (ABC) et (CA’B’) nous avons :
A’B’/CA’ = AB/CA Γ = A’B’/AB = CA’/CA Application
Montrer, en utilisant la construction de la figure 1 que le grandissement Γ peut se mettre sous les formes suivantes :
α. Γ
= - SA’ / SA
β. Γ
= - f /FA = - F’A’ / f
Remarque :
Nous verrons plus loin que la relation " - f /FA = - F’A’ / f ", obtenue � partir de l’expression de Γ et qui peut se mettre sous la forme :
f.f ‘ – FA.F’A’ = 0
est appel�e relation de Newton.
