p. Coasmlssariat ft l'enerfle Atomique - Franca p. Conmlssariat ft l'en*rgi* Atomlqua - Franc*

CEA-R-4M0 - FABRE Barnard

INTERACTION ELECTRON-ATOME NEUTRE A BASSE ENERGIE EN PRESENCE D'UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

Sommaire. - Lea interactiona électron-atom* nautre jouent un rfll* dana la pha#* d'ionisation d'un f a s par un rayonnement laaer. Le domaine de cette étude - baaaa énergi* d« l'électron at champ pouvant «tr* éventuellement fort - cat nouveau at ainai nécvaalt* daa eolution* originales. C a d aat dû e s s e n t i e l - lement ft 1* non-validité *5 l'approximation da BORN at da la method* dea per- turbation*. Avec daa méthodes éprouvées (mtttric* S } , tl aat poaalble d« c a l - culer la* probabilité a da tranaitlona quand l'état du eyatexne aat connu. Nous décrivons l'Interaction électron atoma-nautra par un a impie potential complet 1 l'approximation adiabatique. Toutaa lee autre* method*a - couplage proche, orbital*a p o l a r i s é e s - conduisent i daa approximation* d* ca potentieL Dca t e s t s numériques montrant la validité d* ca potential à baaaa énergie : calcul do l'én*rgi* d* l'ion négatif hydrogen* at d*s déphaaagaa dana une colllalon élastlq-j*. La fonction d'onde de l'électron incident peut être décoropoaé* an daux parti** ; l'une, d'extension infini», représenta un peeudo état l i b r e , l'autre, d'axtenalon fini*, peut rapréaantar un peeudo état Hé. ^Noiia rappelons las différantes méthodes d* réaalution d'une équation de SCHRODINGER

CEA-44C0 - FABRE Bernard

ELECTRON-NEUTRAL ATOM INTERACTION AT LOW ENERGY IN AN ELECTROMAGNETIC FIELD

Summary. - Th* electron-neutral intaractiona tak* place in the ionisation phase of a gas by l a s e r radiation. T h e domain of this study - low electron energy and eventually strong electromagnetic field - i s new and tbue requires original solution*. That Is dm essentially to the non validity of the Born approxima- tion and of the perturbation method. With proved methods (S matrix), It la poeeJblt to calculât* transition* probabilities whan th* state of the eysUin i*

known. We describe the electron-neutral Interaction by simple potential which la complet* In th* adlabatlc approximation. All other méthode - c l o s e d cou- pling , polarised orbital* . give only approxlmatlona to thla potential. Numeri- c a l test* ahsw th* validity of thla potential at low snorgy : calculation of th*

negative hydrogen ion energy and of the phase shifts in elastic acattarlng. The wave function of the incident electron can be separated Into two parts : one, of Infinite extension r e p r e s e n t s s tr— peaudo-state, toe other which la of finite extent represents a •eimd sweiHto~iUt*. We r*vi*w different mathods of

J

comprenant ft la foli? un potential scalair* at un potantlal vactaur. L«a trans- formatlona unitalraa mamblant intérasaantaa, car allas peuvent rsndra compta d'un* parti* du couplas* d* l'électron *v*c 1* rayonnement, la partia restant*

pouvant, «ans certaines conditions, ttr* traité* par la méthode das perturba- tions. Actu«ll*ni*nt at seulement pc-jr d*a champs faiblaa ou das fortaa énar- ( l e s , i l ast poislbl* d¹ obtenir l'état du système électron-atoma dans un champ électromagnétique.

1973 85 p.

C o n m l s s a r i a t ft l'En*rgi* Atomlqua - Franc*

solving; tha SCHRODINGER aquation includinf both a vactor and a s c a l a r po- t*ntlal. Unitary transformations ***si interesting b*causa they account for some part of the radiation electron couplinf, for the remainder we can us*, within given conditions, tba ptrturbati-» method. Presently, only for weak fields or high energies, it is possible to determine the stat* of an electron- neutral atom system in a field,

1873 15 p.

Coasmlssariat ft l'Enerfle Atomique - Franca

f COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE

CEA-R-4460

A.12

INTERACTION ELECTRON-ATOME NEUTRE A BASSE ENERGIE EN PRESENCE D'UN CHAMP

ELECTROMAGNETIQUE

par

Bernard FABRE

Centre d'Etudes de Limeil

Rapport CEA-R-4460

1973 SERVICE DE DOCUMENTATION

Ha

il

N° d'tnngistrMTMnt au C.N.R.S.

A087I4

T H E S E

PRESENTEE

A L'UNIVERSITE PARIS VI

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR ES-SCIENCES

pu-

Bernard FABRE

1 ë

SMIMCHM la 9 mars 1973 , davant la Commlwon d'Eximtn

MM. E. ARNOUS G. MAYER

H. VAN REGEMORTER R. SCHUTTLER P. GUILLANEUX A. DECOSTER

lifta; y

I

- Rapport CEA-R-4460

Centre d'Etudes de LimeU

INTERACTION ELECTRON-ATOME NEUTRE A BASSE ENERGIE EN PRESENCE D'UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

pu-

Bernird FABRE

Septembre 1973 -

TABLE DES MATIERES

. CHAPITRE I -

INTRODUCTION ! INTERET PRESENTE PAR UNE ETUDE THEORIQUE DES TRANSITIONS LIBRE-LIBRE D'UN ELECTRON EN INTER-

ACTION AVEC UN ATOME ET SOUMIS A UN RAYONNEMENT 1

1-1. - L'INTERACTION D'UN RAYONNEMENT LASER ET D'UN GAZ 2 I - * . - DEFINITION. DOMAINE ET INTERET D'UNE ETUDE DES COLLISIONS

ELECTHON-ATOME NEUTRE EN PRESENCE D'UN RAYONNEMENT 3 I - S . - DIVERSES APPROCHES DE L'INTERACTION ELECTRON-/..:OME EN

PRESENCE D'UN RAYONNEMENT 8 1-3-1 - Champ de rayonnement faible 8 1-3-2 - Champ de rayonnement fort 9 1-4. - PRESENTATION DE NOTRE ETUDE 10

- CHAPITRE H -

DIFFUSION ELECTRON-ATOME D'HYDROGENE A BASSE' ENERGIE 13

n - 1 . - INTRODUCTION 13 La méthode varlatlonnelle 13

Remarque aur l'approximation adiabatique 16

U - I . - LE MODELE OPTIQUE 16 11-2-1 - Le modèle 16

a) - Approximation adiabatique 18 b) - Lien entre le modèle optique et l e a théories a projection

sur l e e étata propres 20 H - 3 - 3 - Construction du potentiel optique 21

a) - Potentiel adiabatique 21 b) - Séparation de BORN-OPPENHEIMER 22

c) - Précédent* 22 d) - Remarque : potentiel élastique 23

n-2-1 - Les potentiels d'Interaction 23 a) - Les différents potectiels 23 b) - comparaison des différents potentiels 24

. comportement à grande distance 24 . comportement à courte distance 25

U-3-4 - Conclusion 25 II-J. - DIFFUSION ELECTRON ATOME D'HYDROGENE A BASSE ENERGIE 26

n-3<-7 - Spectre d'énergie du système électron atome d'hydrogène 26

H-S-2 - Les potentiels 28

a - î e potentiel adiabatique '& . 28

b - l e potentiel polarisé V< 2 ! 28

II-3-3 - Te«t de validité 28 a - énergie de l'ion négatif 28

- correction d'échange 29 - concluaion 31 b - calcul des déphasage* 31

- principe varlationnel total avec une fonction d'onde dans

l'approximation étatique 32 . calcul numérique 32 - remarque 34 H-3-4 - Remarque sur la fonction d'onde A deux centres 34

11-3-5 - Fonction d'onde d'un électron en interaction avec un atome

d'hydrogène 37 a - Généralité» 37 b - Effet du potentiel diffuseur 37

c - Approximation de BORN 38 d - Interaction électron-atome neutre 38

- étude de la forme asymptotique de ep : étude de (p. 39

- étude a courte distance : étude de ? 40 - interprétation physique du s y s t è m e et son intérêt 41

n - 4 . - CONCLUSION 41 . CHAPITRE Bl -

LES METHODES DE RESOLUTION D'UNE EQUATION DE SCHRÔDOiGER CONTENANT UN POTENTIEL SCALAIRE ET UN POTENTIEL VECVEUR : APPLICATION A LA DETERMINATION DE LA FONCTION D'ONDE D"IN ELECTRON EN INTERACTION AVEC UN ATOME D'HYDROGENE ET

SOUMIS A UN RAYONNEMENT 43 IU-1. - HAMILTONIEN D'UN ELECTRON SOUMIS A UN POTENTIEL

SCALAIRE ET A UN POTENTIEL VECTEUR 44

Approximation dipolaire 44 II1-2. - LES METHODES DE RESOLUTION DE L'EQUATION DE SCHRODTNGER 45

i n - 2 - 1 . Méthode d e i perturbations 45 a - L'interaction électron-champ d* rayonnement en tant que

perturbation 45 b - L'interaction électron-atome en tant que perturbation 45

I1I-3-2 - Hamlltonlen périodique 46 a - Etats quaslstationnaires 46 b - Remarque sur la théorie de FLOQUET-SHIRLEY 47

III-S-3 - Transformations unitaires 47 a - Potentiel atomique oscillant : HENNEBERGER 48

a. 1 correspondance classique 49

a. t champ faible 49

a. 3 relation avec la méthode des perturbations 50

a, 4 conclusion 51 b - Translation de l'impulsion : REIS5 SI

b . l antécédent 52 b. 2 relation avec la méthode des perturbations 52

b. 3 conclusion S3 c - Remarque sur c e s deux transformations 53

d - comparaison d e s opérateurs de REISS et de HENNEBERGEH

dans un cas particulier 54 IH-3. . APPLICATION AU CAS D'UN SYSTEME ELECTRON-LENT, ATOME

D'HYDROGENE ET CHAMP DE RAYONNEMENT FOHT 56

III-3-1 - Intérêt et usage d'une t e l l e étude 56 I i l - 3 - 2 - Fonction d'onde du s y s t è m e électron-atome d'hydrogène en

présence d'un champ 57 H l - 3 - 3 - Fonction d'onde d'un électron lent en interaction avec un

atome d'hydrogène dans un champ fort 58

n i - 3 - 4 - Conclusion 69 IH-4. . CONCLUSION 60

- CHAPITRE IV -

CONCLUSION 63

APPENDICE A 67 APPENDICE B 69 BIBLIOGRAPHIE 73

INTERACTION ELECTRON-ATOME NEUTRE A BASSE ENERGIE EN PRESENCE D'UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

C H A P I T R E I INTRODUCTION

INTERET PRESENTE PAR UNE ETUDE THEORIQUE DES TRANSITIONS U B H E - U B R E D'UN ELECTRON EN INTERACTION AVEC UN

ATOME E T SOUMIS A UN RAYONNEMENT

Députa lonctempe la polarisation de la matière par un champ électromagnétique et l e transfert d'énergie aeeocié sont deux grande aujeta d'intérêt pour lea physicien*»

Sauf ca» exceptionnel, il a fallu attendre l'apparition dea laaera pour m e t t i e en évidence l e a effete non linéaire a.

Noua avoua apporté une contribution à la connaissance d'un proceeeug de t r a n s - fart *. l'abaorption d'un rayonnement dana une tranattion l i b r e - l i b r e d'un électron ncn relati- viate en présence d'un atome d'hydrogène.

Hiatoriquement, un certain nombre de proce^au? «e transferts ont été découverte en astrophysique e t , plus t a r d , ont trouvé une confirmation dana dea expérience! de labora- toire ; c e sont par exemple l'effet de photo-io ni aat Ion dea at orne a, l'absorption dana lea tran- aitiona libre-libre d'un électron en préaence d'un atome neutre ou ioniaé et d'une manière plua générale dana l e a colliaiona électron-particule.

Noua nous intéreaaone plua spécialement aux transitions l i b r e - l i b r e . De telle a transitions correspondent, pour un électron, à un changement de niveau d'énergie non quanti- fié. Une interprétation, dans l'imagerla de BOHR, consiste à imaginer un électron libre «'ap- prochant d'us i o n , et s « déplaçant aur una orbite hyperbolique ; i l peut émettre un photon et d é c r i r e , alora, une nouvelle orbite hyperbolique correspondant à une énergie plus faible : c'est une émission spontanée. En présence d'un champ électromagnétique, l'électron peut émettre un photon de m i m e fréquence que l e rayonnement incident ou en abeorcer an ; c'est l ' é m i s s i o n induite ou stimulé* et l'absorption*.

L a s transitions l i b r e - l i b r e nécessitent l a présence de t r o i s particulea. En effet, pour une transition d'un électron non r e l a t i v i s t s , l e s l o i s de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement nécessitent, dans l e c a s d'une absorption ou d'une é m i s s i o n , que l e surplus de la quantité de mouvement soit accepté par une troisième particule. Ainai, dana l e a étoilea du type "Soleil", la, troieiéme particule eat un atome d'hydrogène ou un ion néga- tif hydrogène, dans la nébuleuse du "Crabe", c e aont dea atomes de carbone qui interviennent

• La littérature emploie volontiers l e s mots "bremsstralhung" pour désigner l ' é m i s s i o n spon- tanée (rayonnement de freinage) et "bremsstralhung inverae" pour désigner l e processus i n v e r s e , c ' e s t - à - d i r e l'abaorption.

- 2 -

ou même de* éiéments plus lourds. Dans l e s é t o i l e s où la température est t r è s é l e v é e , l e s absorptions sont importante» dans l e s régions spectrales ordinaires, cependant, il faut noter que l e s transitions libre-libre sont prépondérantes lorsqu'il s'agit de petits échanges d'énergie, c ' e s t - à - d i r e dans l e domaine infrarouge.

C e s transitions interviennent dans d'autres domaines de la physique. En physique nucléaire, l'émission d'un y peut être obtenue à partir du freinage d'un électron très énergé- tique sur un noyau. Le rayonnement X , en physique atomique, est dû à la décélération d'élec- trons rapides sur des atomes A fort potentiel d'extraction. En physique des s o l i d e s , ce phéno- mène trouve une correspondance dans le freinage diélectrique, e t , en physique d e s milieux i o n i s é s , dans l'impédance des plasmas.

Enfin, l e s transitions l i b r e - l i b r e interviennent dans l'ionisation d'un gaz et le cbauffag» du plasma c r é é au moyen d'un rayonnement l a s e r : il s'agit essentiellement de l'absorption du rayonnement dans l e * interactions électron-atome neutre ou ionisé.

I~l - L'INTERACTION D'UN RAYONNEMENT LASER ET D'UN GAZ.

Expérimentalement, s i on focalise un faisceau l a s e r dans un gaz, on constate l'ionisation de c e l u i - c i ainsi que son échauffement : il y a eu transfert de l'énergie l a s e r aux particules qui composent l e gaz.

WRIGHT (1964), TGZER (1985) et surtout RAIZEH (1966) [ l ] donnent une descrip- tion détaillée de la formation et de l'évolution du plasma d'un point de vue microscopique ; un effet tunnel ou un oîfet multipbotonique sur l e s atomes produit dans l e gaz l e s p r e m i e r s électrons et c e u x - c i s'accélèrent en absorbant des photons dans le champ des atomes. Après avoir obtenu une énergie suffisante, i l s ionisent l e s atomes par collision. Cette énergie peut être inférieure A l'énergie d'ionisation ou d'excitation des atomes ; dans c e dernier c a s , un effet multiphotoniqu* complémentaire permet l'ionisation. Ce processus étant répétitif, le nom- bre d'atomes neutres décroît a l o r s rapidement jusqu'à l'ionisation totale du gaz. Le plasma ainsi formé s'échauffe : l e s électrons absorbent l e s photons dans le champ d e s atomes i o n i s é s et perdent de l'énergie A leur profit au cours de collisions ultérieures. D'autres phénomènes entrent aussi en jeu, l'effet Coropton par exemple.

L'étude de l'interaction d'un rayonnement l a s e r avec un gaz a évidemment séduit bon nombre de physiciens. Une excellente bibliographie s e trouve dans l'article de DE MICHE- LIS [ 2 ] . Parmi l e s publications du laboratoire de Limeil, outre la mise en évidence de reac- tions de fusion [ 3 ] , nous signalons l e s thèses de VEYH1E et de MARTIN EAU [ 3 ] qui présen- tent, l'une d'un point de vue expérimental la formation et l'évolution d'un plasma, l'autre plus théorique, le confinement de ce plasma au moyen d'un champ magnétique.

Depuis peu, d e s expériences t r è s fines ont été m i s e s en oeuvre pour étudier chaque phénomène. Ainsi l'hypothèse de l'effet multipbotonique a été confirmée par l e s réali- sations de VORONOV et DELONE [ 4 ] et GUYOT [ 5 ] et l'effet Compton par DECHOISETTE [ 6 ] , Une seule expérience de transition libre-libre d'un électron dans le champ d'un atome neutre nous e s t connus [ 7 ] encore ne s'agit-il que de l'étude de l'émission spontanée.

Du point de vue théorique, d e s descriptions macroscopiques existent et rendent a s s e z bien compte de l'évolution du plasma [ 8 ] , Quant A l'aspect microscopique, il ne semble

- 3 -

pa* avoir été délai*aé ai l'on en juge par la tomme dea travaux r é a l i s é s sur l'effet tunnel [ 9 ] , l'effet multiphotonique [ 1 0 ] , l'effet Compton [ 1 1 ] et l e s tranaition* libre-libre. Cepen- dant, l'apparition dea U s e r a de puissance (avec dea champ* de l'ordre de celui tntra-atomi- que) a entrante un déplacement du domaine des études de c e s phénomènea. Ce fait est Burtout lié à la non-validité dea développements de la théorie dea perturbations. Les transitions libre-libre d'un électron en interaction avec un atome (neutre ou ionisé), connues pour des champa faibles, constituent donc un domaine de recherche, en champ* forts, tout à fait nou- veau,

1-2 - DEFINITION - DOMAiNE ET INTERET D'UNE ETUDE DES COLLISIONS ELECTRON- ATOME EN PRESENCE D'UN RAYONNEMENT

Dana la description précédente de l'interaction l a s e r - m a t i ë r e , nous avons m i s en évidence le rôle des interaction a électron-atome dana l'ionisation et le chauffage de la matière. Nous déairona étudier c e s interactions en présence d'un champ électromagnétique d'intensité quelconque.

Avant de p r é c i s e r le domaine et l e s conditions de cette étude, il convient de rappeler un certain nombre de résultats sur l e claquage optique d'un gaz. Nous nous inspi- rons de l'article de BUNKIN et PROKHOROV (1969) [ 1 2 ] qui fait la aynthèse des p r o c e s s u s engendrés par lea rayonnements intenses.

Un premier point concerne le flux maximum au-delà duquel l'existence d'un atome neutre e s t m i s e en doute. Dans un atome- d'hydrogène à l'état fondamental, l'intensité du champ intra-atomiqua e s t E *- 5.10 / / c m . Un milieu formé d'atomes d'hydrogène perdra son individualité s i le champ électrique du rayonnement e s t supérieur ou voisin de E , ce qui

14 2 B

correspond à d e s flux de 10 W / c m . De tels flux sont déjà obtenus avec des l a s e r s puis- sants. Cependant, pour obtenir le claquage d'un g a z , l e s flux limites sont inférieurs à 10 ' W / c m . La phase d'Ionisation du gaz par 1* rayonnement résulte dea procès sur déjà c i t é s : 2 effet tunnel ou effet multiphotonique et avalanche. BUNKIN et PROKHOROV dicùnguent dea zones de prépondérance pour cas processus ?n fonction du temps de l'Impulsion l a s e r uJs l a figure (1,1) donne l e flux seuil correspondant au claquage.

Par définition nous dirons "il y a eu claquage d'un gaz" lorsqu'un nombre mini- mum N, d'atomes aura été ionisé une f o i s , c e qui correspond à N, électrons l i b r e s . Avalaacb*

L'avalanche e s t un processus qui consiste en la multiplication en chafhe dea électron* aux dépens de leur accélération qui a1 effectue par un tttt inverae mu freinage s t i - mulé , soit multiphotonique soit monophotonique.

Le nombre d'électrons dana un* avalanche croît à partir du notibre d'électron*

initiaux N salon l'expression : N (t> - N 2K ( t )

o

oft K (t) désigne 1* nombre de générations d'électrons. Le nombre de génération* correspon- dant au claquage du gaz par avalanche «et :

- 4 -

Nl -1

Kj « Log - j j i - (log 2) o et la condition limite pour le flux 1 s'écrit :

r

où A t i t l'énergie de liaison d'un électron dana l'atome, a eat un facteur qui tient compte dea étata excités dea atomea, T eat l e taux moyen d'*ccroissement d'énergie dea électrons dana l'intervalle ( 0 , û).

L'article de BUNKIN et PROKHOROV doit «tre considéré d'un point dr vue qua- litatif, car i l eat b a i e sur dea réeultata obtenus par BUNKIN et FEDEROV [ 2 2 ] qui calculent l e s probabilités multiphotoniquea d'absorption d'un rayonnement l a s e r dana une interaction d'un électron rapide avec un a t o m * ioniaé. Or dana l'avalanche ce sont essentiellement l e s interactiona d'électrons lents avec lea atomea neutres qui interviennent.

Les réaultate de BUNKIN et FEDEROV ont é t é obtenus en développant des fonc- tions d* BESSEL par rapport à un paramètre 7 qui caractérise l e champ. Reliant ce para- mètre au flux, i l s introduisent un flux caractéristique I v

e v E

•7Jr '( C

e est l'énergie moyenne des électrons.

Si 7 - 1 , i l s montrent que l e s absorptions multfphc uniques n'ont plus dee pro- babilités négligeables. Alors l'interprétation physique du flux I est simple : pour des flux inférieurs, seuls l e s effets monophotoniques joutnt un r o l e , pour dea flux supérieurs i l y i d e s effets multiphotoniquea. Sur l e plan théorique I *v* e s t le flux limite pour lequel l a métho- de d e s perturbations par rapport au champ e s t valable.

Dans le c a s d'effets monophotoniques, l e taux moyen d'accroissement d'énergie d e s électrons e s t [ 7 8 ] :

ve f f - 2 ve f f - .aval 2 m « e I

c

e2E2

=- est l'énergie d'oscilla- 2mtu'

tion de l'électron dana l'onde.

En substituant l'expression de 1 dana la relation 0 . 1 ) , on obtient l e flux seuil correspondant au claquage du gax.

• f / .«-S

Le flux e s t inversement proportionnel a la durée de l'impulsion,

La comparaison ru flux seuil et du flux caractéristique conduit A l a détermina-

lion d'un temps .aval _ .aval

C S aval »' \2

a fti tu) ve E f

L«g effets multiphotontques jouent un rôle- lorsque la durée de l'impultHon est inférieure A T

*

aval

Alors la courbe du flux seuil, dite courbe de claquage a plusieurs photons, s e îàtue en-dessous de la courbe de claquage h photon unique. En effet, soit un flux I > lc

g r t c e aux abaorptions multiphonotiques l e s électrons vont obtenir l'énergie nécessaire pour ioniser l e s atomes plus rapidement que dans le cas d'absorptions monophotoniques, par con- séquent la durée de l'impulsion requise pour obtenir le claquage va être inférieure à c e l l e nécessaire lorsque l e s absorptions se font photon par photon.

Le flux seuil n'est plus inversement proportionnel à la durée de l'impulsion : le claquage ne dépend plus de l'énergie totale de l'onde l a s e r .

L e s variations de e présente un caractère non linéaire ï . N -H u i v I n | cM . o( n ) )

N e s t l e nombre d'atomes neutres, v . la v i t e s s e de l'électron, a désigne

a a , e b

la section efficace d'absorption ou d'émission de n photons, elitis ont été c a l c u l é e s par

BUNKIM et FEDOROV. m

BUNKIN et PROKHOROV évaluent la viation de ê . Nous admettons le résultat suivant : 7 , qui est une fonction de r , passe par une valeur maximum ( v e ) pour

aval 1-fiui/

X

Ce maximum exprime une saturation des phénomènes induits par l e champ. Le flux seuil correspondant a ce maximum est :

et la durée de l'impulsion correspondant au claquage s'obtient à partir de (1.1) en se plaçant au flux seuil, c ' e s t - à - d i r e au maximum de ë" .

avoir claquage par avalanche.

C (fig.J.1) e s t le point correspondant A T et I *v a l

Remarques

1. La tangente i la courbe (fig. 1.1) au point C a une pente infinie. En effet c présente un

ce maximum a pour valeur v enfin nous mvons :

/ . .aval

d r

_d r d î

qusge à photon unique

par conséquent, le point C eat aussi l'intersection des courbes de claquage a plusieurs pho- tons et A photon unique.

Photoionization

Pour des durées d'impulsion inférieures A T _^R le seul processus qui puisse conduire au claquage est î* ionization directe des atomes neutres.

Avec les résultats de KELDISH sur l'ionisation multiphoicnique des atomes, BUNKIN et PROKHOROV montrent que le tlux aeuil l £^h est proportionnel A T *¹' " , où n est le nombre de photons requis pour ioniser un atome.

Figure Lt - Flux seuil du claquage d'un gaz en ïonction de la durée dfimpuîsion laser

Diagramme du flux eeuil en fonction de la durée de l'impulsion l a s e r

Les valeurs données sur le diagramme sont des estimations dans le cas d'un 19 -3

l a s e r A v e r r e au néodyme, d'un gaz d'hydrogène (N * 10 cm ) et d'un nombre de géné- ration Kj ~ 40.

Nous expliquons le diagramme (figure 1.1) en considérant un flux et en faisant varier la durée de l'impuleion.

Soit un flux I , < I , au temps T . < T _ _ quelques électrons ont pu être c r é é s par une ionisation multiphotonique des a t o m e s , une avalanche n'a pas le temps de se déclen- cher. Il n'y a pas claquage. Au temps T„ < T * . en plus doe électrons précédents, de nou- veaux électrons apparaissent, dus A quelques avalanches. Il n'y a pas claquage. Au temps T_

l e flux I . correspond au flux s e u i l ; il y a claquage et le phénomène prépondérant a été une avalanche avec effets monophotoniques.

Augmentons le flux, soit I (I < l„ < I£ ) , l e s probabilités d'effets multi- pbotoniques ne sont plus négligeables.

Au temps T. , beaucoup d'électrons ont été c r é é s par une ionisation multiphoto- nique des a t o m e s , mais il n'y a pas claquage.

En T2 > T _R en plus des électroni

sent dus A une avalanche avec effets multiphotonique s. Il y a claquage, car pour une durée d'Impulsion -r. le flux I . correspond au flux seuil.

On peut ainsi situer trois zones de prépondérance des phénomènes : dans la par- t i e I ( I *v < Flux * J* «t T < TCR ) l'effet d'ionisation multiphotonique des atomes, dans la partie II (mime domaine de flux et T _ _ < T < T , ) l'avalanche avec effets multlphoto-

. t n aval

niques, enfin la partie III (Flux < I et T . < T ) l'avalanche avec effets monophotoni- ques.

L'étude que nous désirons effectuer s e veut plus générale, e l l e concerne l'inter- action d'un électron avec un atome (neutre ou ionisé) en présence d'un rayonnement intense.

Une application immédiate s e trouve évidemment dans l'interaction rayonnement-matière : c'est la phase d'ionisation d'un g a s au moyen d'un rayonnement l a s e r .

Le gaz que nous considérons est idéalement compose d'atomes d'hydrogène A la 19 3

pression atmosphérique, par conséquent la densité d'atomes e s t de 10 cm . L e t flux de 9 13 2

rayonnement varient de 10 A 5.10 W/cm (conformément A l'exposé sur le claquage opti- que), ce qui, pour un l a s e r A néodyme (X • 1,06 p), correspond A un nombre de photons

26 3 2 - 2 - 1 fi *ï

variant de 10 A 10 cm" s" . Quelques électrons, 10 cm" , venant d'être c r é é s par effet multiphotonique possèdent une énergie comprise dans une bande de quelques dizièmes d'élec- trons-volts A l'énergie d'un photon du rayonnement.

Nous nous intéressons donc aux zones II et III de la figure 1-1,

Le domaine, flux du rayonnement-énergie des électrons, est tout A fait nouveau et présente un intérêt considérable puisque l e s l a s e r s permettent actuellement d'obtenir des flux t r è s importants. Il e s t intéressant de construire le diagramme suivant (figure 1-2) qui limite notre domaine d'étude et qui introduit l e s considérations bibliographiques du problème.

- A flux nul ï l'approximation de BORN, pour un électron en interaction avec un atome d'hy- drogène, est valable aux grandes énergies de l'électron (100 eV) [ 6 0 ] ,

Pour des électrons r e l a t i v i s t e s , la section efficace d'émïBBion de photons de petites énergies diverge logarithmique ment s i on néglige l'effet de polarisation de l'atome par l'électron inc'.dent [ 1 3 ] , Si, par contre, on introduit une constante diélectrique [ 1 4 ] on obtient une coupure basse pour l'énergie du photon ( — 100 eV),

- A flux faiblee : la méthode des perturbations par rapport au champ permet une interprétation raisonnable des interactions.

- A flux é l e v é s : il est possible, mais seulement pour des énergies électroniques supérieures à 100 eV, d'effectuer une perturbation sur l'interaction électron-atome.

A flux é l e v é s et énergies électroniques faibles, il n'existe pas de méthodes, même approchées.

1-3 - DIVERSES APPROCHES DE L'INTERACTION ELECTRON-ATOME EN PRESENCE D'UN RAYONNEMENT.

1-3-1 - Champ de rayonnement faible

Deux méthodes ont permis d'évaluer l'absorption du rayonnement dans une inter- action électron-atome. L'une, directe, fait appel a la méthode des perturbations, où l'on consi- dère soit Xe rayonnement, soit l'interaction électron-atome, comme une perturbation du s y s - tème total. L'autret indirecte, utilise l e principe du bilan détaillé qui permet, connaissant l ' é m i s s i o n du rayonnement dans une interaction électron-atome, d'obtenir dans l e s mSmes conditions l'absorption lorsqu'un rayonnement est introduit.

10

Electron libre dans «n champ iWcfro magnétique L'interaction elftctron-atbma en tant ewa perferfeation

Electron «n mttraclitn avec un atom*

I

La rayonnement* «n fiant <jue perturbation

I N

JEV

Apffttiimaliofl <U Born

Fleur» 1-2 - Diagramme Flux du rayonnement - Energie de l'électron libre pour une interaction avec un atome neutre d'hydrogène

- g -

De m ê m e , l'expression de l'interaction électron-atome peut a'effectuer suivant deux principes : aoit A partir de la connaissance du potentiel central d'interaction, déterminé par la distribution moyenne de la charge de l'atome - ce potentiel pouvant comprendre l'effet de polarisation de l'atome et l'effet d'échange des électrons - soit A partir des déphasages et .: section efficace de collision élastique.

Une revue de l'état général des études du processus de bremsstralhunj; électron atome e s t donnée par l e s article* de BIBERMAN et NORMAN [ 1 5 ] ainsi que celui de JOHN- STON [ 1 6 ] (1967).

Il faut noter que toutes l e s études présentées dans c e s deux revues ne concer- nent que de petits échanges d'énergies ; la méthode des perturbations montre alors que l'ab- sorption ou l'émission est proportionnelle A la section efficace de collision élastique.

Nous limiterons la présentation bibliographique dans l e cas d'un rayonnement faible A quelques a r t i c l e s qui soulignent l'importance relative des atomes neutres dans l'ab- sorption libre-libre.

Une première Idée de rtette importance résulte des travaux de FIRSOV et CHIVISOV [ 1 7 ] dans lesquels un calcul de section efficace est effectué en considérant l'atome dans l'état fondamental e t l'électron incident avec une énergie t r è s faible (quelques électron- volt). D e s développements de cette méthode ont pu être r é a l i s é s A partir du formalisme de collision présanté par DRUKAREV [ 1 8 ] et ont permis l'évaluation d e s rayonnements d'émis- s i o n , du dipols induit c r é é par l'électron et d'échange [ 1 9 , 2 0 ] , C e s p r e m i e r s résultats nous ont permis [ 2 1 ] d'effectuer une étude probabiliste de l'avalanche électronique qui conduit A l'ionisation d'un gaz par un rayonnement l a s e r de faible intensité et notamment de détermi- ner la constante de temps correspondant au doublement de la population électronique,

La plupart des études s e limitent au c a s d'un atome d'hydrogène, par simplicité sans doute mais a u s s i A cause de son intérêt an astrophysique ; cependent, il faut noter quel- ques études sur l'azote, l'oxygène atomique et l'argon,

1-3-2 - Champ de rayonnement fort

Le c a s des interactions électron-atome d'hydrogène ionisé a fait l'objet de deux articles dont l'Intérêt est énorme.

Considérant d e s électrons suffisamment rapides pour permettre de choisir l e s fonctions d'onde de l'élactron dans l'approximation de BORN, BUNKIN et FEDOROV [ 2 2 ] tra- vaillant A l'approximation dlpolaire pour 1* champ, puia BREHME [ 2 3 ] travaillant sans cette approximation, ont montré l'existence de p r o c e s s u s d'absorption multiphotonique. L e s sections efficaces sont obtenues en considérant l e potentiel d'interaction comme une perturbation ou au moyen de l a matrice S.

13 16 BREHME fournit a i n s i , pour dea flux de rayonnements t r è s élevés (10 A 10 W/cro ) l e premier exemple d'une section efficace, d'absorption supérieure A la section effi- cace de collision élastique.

ARNETT [ 2 4 ] a étudié l'Interaction électron-atome neutre d'argon en présence 11 2 '

4 e champ de rayonnement moyen 10 W / c m pour d e s énergies électroniques faibles S eV.

- 10 -

Sa méthode e s t basée sur une perturbation du l'électron dans le champ électromagnétique par le potentiel d'interaction. Pour éviter l'approximation de BOfiN, il est amené A résoudre l'équation 'intégrale de la fonction d'onde de l'électron. Se plaçant A champ trop faible, il ne peut obtenir des conclusions semblables A c e l l e s dîBBEHME dans le cas a e s collisions é l e c - tron-ion.

1-4 - PRESENTATION DE NOTRE ETUDE

La description microscopique du processus d'absorption mono ou multiphotonique dans une interaction électron-atonie présente une trop grande difficulté pour être analysée en détail. Le proceusus détaillé peut cependant être imaginé à partir de la théorie de HEITLER [ 1 3 ] . D i o s cette théorie, au demeurant t r è s exacte, le p r o c e s s u s d'émission d'un photon est dec i m p o s é suivant qu'il est é m i s avant ou après la collision. Elle a donné lieu à une applica- tion intéressante : l e s travaux de MARC USE [ 2 5 ] sur l e s collisions électron-ion.

On s e rend compte de la difficulté d'une t e l l e description pour l e s transitions multiphotoniques. Si on emploie d e l résultats du formalisme de la matrice S, le principal problème est la détermination la plus exacte possible de l'état du s y s t è m e électron-atome dans le champ de rayonnement.

Dans le c a s d'une tranaltion où l'atome ne change pas d'état, cela revient à connaître l'état de l'électron e t , par conséquent, à résoudre une équation de SCHRÔDINGER :

2

fo < P - ~ A ) ï ( r \ t ) + V ( ? ) T ( ? , t ) - i h | ^ T < r \ t > (1.3) où p est l a quantité de mouvement de l'électron, Â* l e potentiel vecteur du champ électroma- gnétique, V le potentiel scalaire d'interaction électron**tome neutre, - e et m l e s charges et m a s s e de l'électron, et c la v i t e s s e de la lumière*

L e s deux chapitres que nous présentons sont t r è s généraux et dépassent l e cadre de l'étude de la phase d'ionisation d'un gaz par un rayonneirent l a s e r .

n saut d'abord déterminer un potentiel d'interaction électron-atome neutre. L'objet du c h a n t r e II e s t la diffusion A b a s s e énergie d'un électron par un atome d'hydrogène.

Le but de c e travail e s t l a description du p r o c e s s u s par un simple potentiel, de préférence central. L e s moyens de cette recherche sont l e s méthodes varietionnelles et la théorie du modèle optique.

Le modèle optique montre que l e phénomène peut fttre représenté exactement par un potentiel, La fonction d'onde de l'atome perturbé adiabatlquemnnt par la charge exté- rieure est effectivement calculable ; analxtiquement *u premier ordre, numérlquemrnt à tous l e s ordres de perturbation. L'emploi de c e s fonctions d'essai dans un principe variationnel conduit A des approximations calculables du potentiel optique.

Les divers potentiels obtenus sont comparés, et des t e s t s numériques sont effec- tués pour apprécier leur exactitude : formation d'un ion négatif H" et calcul des déphasages.

La fonction d'onde d'un électron lent soumis A un de c e s potentiels peut se décomposer en deux parties ; l'une asymptotlque, étendue A tout l'espace représente un pseudo état libre ; l'autre, A courte distance, correspond A un pseudo état l i é .

- 11 -

En fait, une telle séparation eat valable quelle que «oit l'interaction électron- ctome, du moment que le potentiel d'interaction eat a courte portée : l'application immédiate concerne l e s collisions électron-atome neutre ou électron-atome ionisé A b a s s e énergie, le potentiel devant être écranté dans c e dernier cas*

Dans l e chapitre III. nous nous intéressons il la résolution de l'équation de SCHRODINGER d'un électron en Interaction avec un potentiel central soumis à un champ électromagnétique. C'est une étude générale par son domaine de validité au point de vue champ électromagnétique et énergie de l'électron incident. Nous y rappelons la méthode d e s perturbations pour dea champs faibles ou pour des électrons rapides ; noua signalons l e s méthodes propres aux hamiltoniena périodiques : l e s états quasistationnaires et la théorie de FLOQUET-SHIRLEY qui s'apparente A la théorie de BLOC H dans l e s solides.

Enfin, nous présentons deux transformations unitaires dont l'intérêt est de réduire l'équa- tion de SCHRODINGER A une équation dont on connaft l e s solutions. Cette revue d e s métho- des de résolution de l'équation de SCHRODINGER d'un électron en interaction avec un poten- tiel central soumis A un champ électromagnétique met en évidence un domaine inexploré : le c a s d e s champs forts et dea électrons de faible énergie.

En «'aidant dea théories précédentes, noua e s s a y o n s de construire une solution original* en distinguant le comportement asymptotique de la fonction d'onde qui e s t un état quasistationnaire, du comportement A courte distance qui représente un pseudo état l i é sou- m i s A un cn&tnp. Nous soulignons l e s difficultés de l a superposition d e s deux morceaux de la fonction d'onde.

C H A P I T R E H

DIFFUSION ELECTRON-ATOME D'HYDROGENE A BASSE ENERGIE

Le contenu de ce chapitre est l e fruit d'une étroite collaboration avec M.D3COS- TER, La publication [ 2 6 ] , appelée dans l e texte Note 1511 fournit un exposé plus complet de l'interaction électron-atome neutre à b a s s e énergie.

I I - l - INTRODUCTION

Il n'existe p a s de méthodes de traitement de l'interaction électron-atome à b a s s e énergie qui puissent se comparer en simplicité et en efficacité avec l'approximation de BORN pour l e s hautes énergies.

La présente étude se limite au problème a t r o i s corps c h a r g é s , et principalement à l'interaction d'une particule chargée avec un atome d'hydrogène. L e s effets relativistes et l e couplage spin-orbite sont ignorés.

Notre objectif est de décrire l'Interaction a l'aide d'un simple potentiel indépen- dant de l'énergie et d t préférence central. Un t e l potentiel est l'aboutissement de la théorie dite du "modèle optique" dans son approximation adiabatique : noua construisons c e potentiel optique et montrons que l e s potentiels envisagés jusqu'ici en sont des approximations.

Le modèle optique et son approximation adiabatique sont e x p o s é s dans l e second paragraphe et nous montrons que l e s théories qui procèdent par projection sur états propres, couplage proche, orbitales p o l a r i s é e s en sont d e s approximations. Nous construisons a l o r s l e potentiel optique à l'approximation adiabatique et nous comparons d'un point de vue théori- que et pratique l e s divers potentiels connus.

Enfin dans l e troisième.paragraphe nous e s s a y o n s de sélectionner un potentiel pour décrire la diffusion d'un électro.i sur un atome d'hydrogène à b a s s e énergie ; ce choix étant justifié par deux t e s t s , à t r è s b a s s e énergie "formation d'un ion négatif", à énergie moyenne "calcul d e s déphasages". Et nous étudions la fonction d'onde d'un électron lent sou- m i s A un de c e s potentiels.

« À JÏVHSS'S»•î«£••& >•*>¥*

Le problème de l'interaction d'une particule avec un système peut être formulé suivant une méthode variatlonnelle qui c o n s i s t e en 2a détermination d'une valeur s t a t i o n n a i » ou d'un extremum d'une fonctionnelle. Ceci i s t utilisé notamment dans l'établissement du théorème du v l r l e l et surtout dans l e développement des calculs approchés.

Soit la fonctionnelle & :

- 1 4 -

<£. - / (p* (r) [ H - E ] r (P) dr (II-l) Elle s'annule potir les fonction! Y qui sont les solutions exactes de l'équation :

[ H - E ] r - o

ai-2)

Si H et E sont le hamiltonien et l'énergie du système total c'est une équation de SCHRÔMNGER.

Dans la méthode variaUonnelle on choisit une expression analytique approchée de la solution de cette équation (II-2), appelée fonction d'essai et contenant plusieurs paramètres libres. Ces paramètres sont déterminés par le fait que la fonctionnelle doit présenter un ex- tremum ou une valeur stationnaire.

On appellera "principe variatlonnel symétrique", le principe variationnel appliqué A une fonctionnelle •£ (12-1) dont les fonctions cp et y sont identiques, dans le cas contraire 11 sera dit non symétrique.

En théorie des collisions électron-atome, le principe variatlonnel est surtout employé pour la détermination des déphasages. Dans *e cas, on choisit une forme aaympto- tique de la fonction d'onde de l'électron avec plusieurs paramètres et on établit l'équation d'onde de l'électron relative à cette forme asymptotlque* Les calculs de déphasage les plus élaborés sont dus 4 SCHWARTZ [27] qui emploie une centaine de paramètres libres.

Avec un choix préalable de la fonction d'onde de l'atome nous pouvons chercher A déterminer l'équation d'onde de l'électron incident et le potentiel d'interaction électron- atome neutre.

Soient H et E le hamiltonien et l'énergie du système électron-atome neutre d* hydrogène :

Pi2 ? ! a2 e2 e2

l'indice 1 u t relatif * l'électron de l'atom*, l'indice 2 à l'électron incident.

Dan* la fonctionnelle :

£

' fj

'

>*

" * -

'

'

"^

"

nous choisissons comme fonction d'essai f.. „y .la fonction produit de la fonction d'onde de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental %. (1) par une fonction libre inconnue de l'électron incident F (2). Une petite variation 6 F laissa 1A fonctionnelle inchangée et conduit A l'équation pour F :

•à \

i - *

X, eat l'enerfie d* l'électron dan* l'atom* d'hydrogène :

H (1) *, (1) . Ej j j U ) UI-«)

- 1 5 -

2

-£— est le potentiel statique de l'atome dene l'état fondamental :

r2

' î l ' j * > > "rf, • l

l

Cette équation ( n - 5 ) e s t l e même que c e l l e qu'on obtiendrait en restreignant l'équation de SCHRÔD1NGER du s y s t è m e électron-atome à la projection suivant (< (1) (projec- teur A.) de l'espace de HILBERT :

Aj [ H . E ] Aj » (1,2) - 0 (II-8) n y a donc correspondance entre le principe variationnel et l a projection sur

l e s états propres.

L'avantage du principe variationnel r é s i d e dans l'existence et l'usage d e s pro- priétés de bornages. On peut a i n s i , et c ' e s t l e point qui nous i n t é r e s s e , montrer que l e potentiel déterminé précédemment constitue une borne supérieure du potentiel v r a i ("potentiel optique").

Dans l e formalisme d e s opérateurs de projection de FESHBACH [ 2 > ] , soit F u n operateur de projection, t e l qu'appliqué A la fonction exacte <p donne, une fonction P cp (qui vérifie l e s m ê m e s conditions aux l i m i t e s que «p) qui sert de fonction d'essai dans le principe variationnel. Ce principe donne A chaque fois l'équation :

p [ H - E ] P<p - 0 (II-9) Quand l'énergie totale E est c h o i s i e , un certain nombre d'états du « o u i - s y s t è m e

sont a c c e s s i b l e s (canaux ouvert») tandis que l e s autres sont sttuAs trop haut en énergie (ca- naux fermée).

Nous allons montrsr qu'il exiete une propriété de bornage pour le potentiel con- tenu dans l'équation (II-s) quand l e s canaux négligés sont tous f e r m é s .

<p étant une fonction d'onde exacte pour l'énergie E

[ H - E ] t p - 0 (11-10) On peut é c r i r e e n désignant par Q l'opérateur 1-P :

P [ H - B ] [ p + Q ] i p . O Çn-11) ou Q [ H - K ] [ p + Q ] e > - 0 (n-12) ou Q [ H - E ] Q s i + Q H F i ) > - 0 (11-13)

Si tous l e s canaux négligés (ceux sur lesquels projette Q) sont f e r m é s , Q [ H - E ] Q e s t un operateur positif.

On peut a l o r s inverser (11-13) dans le s o u s - e s p a c e sur lequel projette Q :

<3 <P - - Q' • - " Q [ H - E J Q n, t _ » „ <5 H P<p > (U-14) " "

- 1 5 - et reportant d>ns (11-1)1), on obtient :

P | t H - E l - P H Q - ^ ^ Q H P l P 9 . O 01-15) c'est donc l'équation £1-8) »vec un terme supplémentkire qui eat défini négatif si tous les canaux négligés sont fermé*.

Dana l'exemple du projecteur A., on peut conclure que le potentiel étatique de l'atome d'hydrogène dene l'état fondamental est une borne supérieure du potentiel vrai.

D'une manière générale, cette propriété de borne supérieure entralhe toutes les propriétés de bornage connues et nous n'avons donc pas besoin de les ledémontrer ici :

- déphasagea

- énergie des états liée.

Le principe variatioonel employé sur une base de fonctions quelconques (et non d'états propres), comme le font SCHWARTZ [37] et PEKERIS [29] ne donne pas avec certi- tude toutes ces bornes.

Noue ferons intervenir l'approximation adiabatique qui conairte à négliger tout

•chance d'énergie entre le projectile et la cible. Cette approximation entralhe une sous-esti- mation du potratiel comme dee énergie», [$0,31], une compensation de ce fiait résulte de l'emploi de la méthode variationnelle.

U-l • MODELE OPTIQUE n-2-1 . Le modèle

Considérons un système à trois corps, per exemple le système électron-atome d'hydrogène. L'eut du système est donné psr la résolution de l'équation de SCHHÔDtNGER :

H | q> ( ? j , ?2 ) > - S | q> (r'j, ?2 ) > (11-16) I et H -sont l'énergie et le bamUtonien du système :

5? ^ .' e

e

H

" î i

-ê: - T - - v- + T -

-

2m 2m rt r^ rJ 2

Les indice» 1 et 2 sont relatif» a l'électron de l'atome et à l'électron incident.

Le hamiltoDien de l'atome est : - a

H ( l )

•=•

et ses fonctions propres normalisées t (?,), oo n représente l'ensemble des nombre» quan- tiques ( n « 1 pour l'état fondamental) :

(11-19)

Noua désignons par U (r,,?,) le potentiel d'interaction : 2 2

T U ? . , ? , ) - - v - + - J - (II-20) 1 2 r2 r1 2

La fonction d'onde du modèle optique F (r„) e*t la projection de la fonction d'onde totale aur l'état propre de la cible i

Fn( ?2) • / * * ( ? ! > » ( ? ! . ' j > d ?i in-2 1>

Le potentiel optique eet défini par :

V»(fl) Fn( ?2 > " / • n( ?l) D l'V 7i} *{V ?î ' "?1 a' '2 2' Si *v était connu on obtiendrait F comme «olution de l'équation : n n

f ** (rx) [ H - E ] <p ( ?1, ?2) d ?x - 0 (H-23) Cette équation peut être établie d'une manière variationnelle en considérant la

fonction d*eeaai Î

* ( ?1 • ?2 » " îf V?l > Fn( ?2 > W -2 4 1

pour la fonctloanell* :

£ * / / *n ( ?l, rn< ?2> CH- * ^ T (?!-?-,> "i?j 1 ?2 01-25) ceci conduit a un eyetèma d'équatlona couplée* :

l l 2m r . + X - E

2 D

& 2 m nm À "n 2

nm y n x r._ m i i alors que l'équation (H-23} devient :

t TSH + ^ n '7» ' + • • » - • ] Fn( ?2 > - ° ( n-ï 7 )

Far conséquent la connaissance de* potentiel» optique* de* divera état* de la cible eorraepond au découplage du système d'équation* 01-26). On conçoit aiaément l'intéreï de la eboM : mai* la calcul d* tr par l'équation (11-22) demanda la aolutioo préalable du n problème antler... L'essentiel eet cependant d'avoir montré qu'un tel potentiel exi*t* : il

«•agit maintenant d'en trouver un* approximation raisonnable et calculable.

- 18 -

Noua effectuone le calcul [ 3 2 ] pour n * 1 , en employant d e t notation* opérato- nplifii

reapectivement :

toriellea airoplifiéea. Notant K « p / 2 m , noua réécrivona l e s équationa (II-16), (11-22),(11-21)

| H (l) + K2 + U | tp » E <p

j H (l) + K2 + V | Ft • - E P j *j

(II- 28) (H-29) (11-30) où A, cat le projecteur aur l'état 1.

Lea aolutlona de (11-28) et (11-30) vérifient lea équation» opératoriellea reepecti- ve* [ 3 2 ] (équationa de LIPPMANN - SCHWINGEH) :

• • « 1 • , + B - H 11 I - K + . .: - H (i) - K2 + i „ U P • 1 - °+ ("-3D V l ' V l + E - H ( l ) - KatfnV Pl *1

où in, eat aolution de l'équation pour la particule 2 libre :

(n-32)

K2 « j . ( E - E , ) « j (11-33) S e 01-31) et (11-32) on tire par différence et en utiliaant la définition d e * ^ :

1

1 '1 T E - H (1) - K3 +T'n < l -Al » U

f - F , • , +

l'équation (11-24) qui donne V derl-nt

V F , *, .

_

- _ . -

_ (

.

(U-34)

(II-35) qua noua projetona facilement aur f , , an prenant l a notation par br«e et kata pour l e a v e c - teura :

V | F , > . « ( . I U l t ^ P , +< * l 'UE - H ( l ) -K;> + i n U - ^ ) U | - P > (11-36.)

V

Cette équation ae développe à l'aide de (U-34) :

< *1l " l *1> | F j >

+ <

» l '

E - H a )

- K

l n '

- V " l » l > l

l >

+

<*ïl° I . H l l ) ' - X

U

" - V ° . l

. H ( I ) ' . K

i T " - ' l " ' l ' l

I V

(H-36b)

a) Approxlmeiloii adiabatlque

C'aat Ici qu'intervient l'approximation adiabatlque qui coneiate 1 n é f l i f e r tout échange d'énergie entre la projectile at l a cible (même au coura de tranaftiona rirtuellea)

et donc à attribuer à K la valeur constante E - E. . (11-34) devient donc dans l'approxima- tion adiabatique :

» •

l *i

ËTTHÎT) < » "

l '

*

-

* •

i ' i

ë^W)

I * I

' Ê ^

E p B i ï )

i * i

-

" -

et comme l e s opérateurs H, et A. n'agissent pas sur F , et que U commute avec F , 1 - A 1 - A 1 - A ,

* -

i ( * i

ËTTHÛ)

* I

Ë-rm

Ëpm

h

-- )

-

(11-34) donne de même l'expression du potentiel adiabatique v " :

< • , | U |(l> + <tl|0 j g - ^ g j j j 0 | l , >

1 - h. 1 - A ,

+

<*ii" ETTHÎÏÏ ° Ë - n n r )

i ' ' i

---

(11-40)

qui n'est autre que le développement en s é r i e de perturbation de la correction apportée a l'énergie E. de la cible par la préeence du potentiel d'interaction U d'une charge fixe en r_, ce m t m e problème qui est envisagé d a m l a méthode des orbitales p o l a r i s é e s .

On constate que le potentiel optique adiabatique au premier ordre est identique au potentiel dans l'approximation statique (potentiel statique).

Celui-ci peut être obtenu à l'aide d'une projection (opérateur A.) sur l'état fon- damental de l'atome d'hydrogène, ou en effectuant l'approximation a un état pour le s y s t è m e (11-26), n - m > 1.

e2 S

< • , I O | *1 > - - - £ - + Va ( r2) . V J( r?) (II-41) VS étant défini par (II-7).

Le second terme e s t le potentiel de polarisation :

< h I » m

I *l >' < h l"rf

^ k i ! T ^ 1*1" -

(r

)

" -

Le terme du troisième ordre constitue une correction :

• O n voit que nous employons le terme "adiabatique", dans son sens le plus strictement thermodynamique. En particulier, il n'y a aucun rapport entre cette hypothèse d'adiabati- cité et c e l l e qu'implique en certains c a s le facteur de convergence n : comme nous nous plaçons en dehors des résonances de diffusion, l'usage de <i n'est pour nous qu'une con- venance mathématique.

1 - A. 1 - A.

Ï - A , / ^fc2 2 \ 1 - A 2

r2 ^ri2 / V^{H ( 1 Ï rl2} »

Ces deux derniers t e r m e s , auraient pu Stre obtenus à l'aide d'une autre méthode:

celle d e s orbitales polarisées.

Sans entrer dans l e s détails ( [ 3 3 , 3 4 ] et note 1511) signalons le procédé. On applique le principe variâtionnel à la fonctionnelle *C avec .une fonction d'essai qui contient la fonction d'onde de l'atome d'hydrogène a laquelle est ajoutée une correction y due à la perturbation provoquée par la présence de l'électron incident :

*<?1 '?2 > - • nl?l) +xn(?l '?2 >

*n <

1 •

2 ' •

, r ¥ / • »

1>

1 ^ • »

1> * 1

-

m f n n m J

L'expression (11-43) peut s e mettre sous une forme plu* synthétique : ' 2 '

+ V fr )

*2 ' 2

où N est un terme de normalisation

N(r²) - f | ^{X l} ( ? , , ?²) |² dr\ (II-43bis) et V est une correction du potentiel : 3

v 3<^r2 ' ' / Xi* (?!•?,) ^ X , (?!•?,)*?!

X et VP ont pu fitre calculés exactement par DALGARNO et LYNN [35 ] .

b) Lien entre le modèle optique et l e s théories a projection sur leu états propres Un t e l lien existe donc.

De prime abord, la fonction du modèle optique, qui est définie par (11-21), semble pourtant s e comparer à la fonction d'onde du modèle statique a une v o i e , plutôt qu'a c e l l e de U méthode des orbitales polarisées (11-44). Mais, en définissant F , par (11-21), nous n'avons absolument pas supposé que tp pouvait être approché par F J. : F f n'est que la projection sur t< de î * fonction d'onde totale cp, qui est exacte (jusqu'à l'approximation adiabatique). Une fois c e l l e - c i faite, il n'est que de voir l'équation (11-39) pour constater que la fonction d'onde cp y est approchée non par F . t.. mais par un produit F Y , où :

h ' » 1

f p > < r >

h

-

A l'ordre z é r o , ï - est f- et le potentiel optique est celui de l'approximation statique, qui eat exact au premier ordre. A l'ordre u n ï . eat i. + Xi e t l e potentiel optique contient e n plua l e potentiel de polarisation (11-42), qui e s t exact au second o r d r e , l'appro- ximation aaiabetique A l'ordre deux conduit aux correction» d'ordre trois pour le potentiel (11-43).

Au-delà dea potentiels au troisième o r d r e , l'exposé ae compliquerait ; de toute façon, il ne semble pas que l e s calculs de perturbation puissent s e faire pratiquement.

Au lieu de projeter sur un seul état (11-21), on peut projeter sur plusieurs états [ 3 6 ] , c'eat a dire sur un s o u s - e s p a c e . Les calculs sont formellement l e s mêmes ai on con- sidère lea fonctions d'onde et l e s opérateurs comme des matrices. Cette théorie n'a pas été u t i l i s é e , sauf au premier ordre où elle donne un système d'équations équivalent à (11-26).

Remarque :

L'échange, comme dans l e s théories a. projection aur l e s états propres, peut être introduit dans le modèle optique [ 3 7 ] , Le traitement obligatoirement précis du modèle optique entraîne une certaine lourdeur des équations et s y s t è m e s d'équation.

H - 2 - 2 - Construction du potentiel optique a) fûtentieladiabatjque

Le calcul du potentiel optique adiabatlque complet (11-40) semble hors de notre portée ; il peut pourtant être effectué numériquement s a n s grande difficulté -, mieux, la plupart dea calculs ont déjà été faits dana l e cadre d'autres problèmes, et l e s résultats sont disponi- bles dans la littérature.

La clé du problème est dana la sommation que nous avons effectuée dans l e s équations (11-45) et (11-46). On volt que Yj e s t solution d'une équation de SCHRQDINGER :

j H(l) + U j

où nous avons appelé (provisoirement) lu", la valeur propre. L'équation (11-40) qui donne V" ' s'écrit :

= <tl ( 1 ^ - Et |Tl > • ( ^ - Bj ) < •l t ^ >

* yy¹ - B^x di-48)

Le potentiel adiabatlque V". est donc obtenu 1 partir de la solution du problè- me aux valeurB propres (11-47). Nous réécrivons d'ailleurs c e l u i - c i :