; ft; fr nttit

Leçon 46 : Propriété de Thalès

l. ^Activités

Activité I

Sur

^{chacune des}

figures

suivantes :(luIN)ll(BC).

a.

Pour chaque

figure,

mesurer

les

longueurs AIf, AC, BC, AM, AN, MN

en

^cra.

Inscrire ces longueurs dans un tableau comme

celui-ci

^:

AN ^MN

Longueurs de côtés de

AMN

Longueurs de côtés de ABC

AC

Longueurs de côtés de

AMN

Longueurs de côtés de ABC

AC BC

Longueurs de côtés de

AMN

Longueurs de côtés de ABC

AC

b. Calcul., r N AN

^MN

AB

; ft; fr ^nttit

^donner laremarque'

c.

Compléter ^:

<< Pour deux

triangles

AMN et

ABC

avec

M

sur

[ag], ^ar

^sur

^[ec]

^et

(tt4lrl)parallèle

à (BC),leslongueurs

^de

côtésdeAMN sont. ^...

^aux

.

... des

colrespondants de ABC ^>>

AN

AN

I

Géométrie C2

2. Essentiel

1.

La propriété

_{de Thalès}

Activité 2 \

.

ABC

est un triangle rel que ertN)//(BC).

{Jtiliser

le tableau obtenu dans

I'activité

AB

AC

l,

cornpléter :

d et

d'

sont deux droites sécantes en A.

B

et

M

sont deux points de

d,

distincts de

A.

C et

N

sont deux points de

d,,

distincts _de

A.

Si les

droites (nc)et (mrl)

sont parallèles,

alors, M_N=lunll AB AC

^BC

2.

La réciproque

de la

propriété

de Thalès

d

et d' sont deux droites sécantes en

A.

B

et

M

sont deux points _{de d ,}

distincts

de A.

C et N sont deux points de d,,

distincts

deA.

^I

AM AN

MN

AB AC

BC

Et

si les points

A,

B,

M

et les points

A, c,N.sont

dans le même ordre, alors les

droites (nc)et

(Àn.l) sont parallèles.

Exercice résolu 1

ABC

un triangle tel

que AB:t2cm et

BC

:6cm.Laparallèle

_{à@c; coupe}

[,nrJ en

D et I,

^{CI en E tels que}

^AD:

^gcm

^et

^AE

^:6cm

Calculer les longueurs DE et EC.

Solution

Hypothèse

Triangle

ABCF A.Ei:

l2cm,

BC--6cm

(BC)ll(DE)F

AD

=8cm

^{et AE} =6cm

Calculer

DE et EC

Conclusion

-

Cut".tt.,

^oE

Les points

A, B, D

sont alignés

ains

que les points

A, C,

^E' Les droites ^(BC)

et(DE)

^sont parallèles-

Donc

d'après la proPriété ^de Thalès ^:

AD AE DE \I' 8 6 ^DE

AB _

AC ⁼

BC .-esr_a_olr"

i_ ^,q ,

₆

o" a

₌

2!

on dé,Juit ^{que ;.}

DE:6xI

=

+,

--12 6 '

¹²

-

Calculer EC

O" i-- 86 t*

_on

_déduit

_que

_:

_8x

_{AC =}

_12x

6

c'est-à-dire AC =9cm

Donc E :AC-AE:9-6=3cm.

Exercice ^{résolu 2}

ABCD

est un trapèze ^{de bases}

[tal"t [co]

^avec

Les

droites (lD)

et (BC) se coupent en F tel que

Calculer

^{la longueur}

BC

et DC.

Solution

AB:3cm

^.

D-9 _et

_Fn

=2,)5"-.

FA5

Hypothèse

(al)

^{et (nc) se coupent en}

- Calculer

BC

Les ^points

A, D, F

^{sont alignés ainsi quq les points B,}

C, F'

Les droites ^{(AB) et} (DC) sontparallèles.

Donc

d'après la propriété ^de Thalès ^: FD

=FC_DC ^-.,__Lr

^{-,:-^ 8}

- FC ^DC FA FB ^AR c'est-a-dre i= 2,25:

³

De a: 8FC

^{225on déduit que : FC}

:2,25" I

_{= 3,6cm'}

Donc

^BC

-

^FC

- ^FB

--3,6-2,25 ^{=1,35 cm'}

- Calculer

^DC

Un

^trapèze

ABCD,

FB=2,25 cm

AB ₌₃ cm

Calculer BC

et DC

Géométrie C2

' _Exercices

l' AHDC

est un parallélogramme _et : (FG) //(cD).Pour _chaque affirmation, préciser si

elle

est vraie ou fàusse.

AB _{_=_} AC

^BD

CD AE

^BE

HB _:_ HD

BD

FG HG

BF

BH=BD_HD

BA BE.

AE

2' ABC

est un triangle

avec

BC =l2cm. Un de deux autres côtés est partagé en

trois segments de même longueur. _Par les points de partage,

on

trace les

parallèles

à 1rq' ^Calculer

^les longueurs des segments cornpris entre deux côtés de ce triangle.

3.

^Tracer

trois

segments querconques _[AB], [cD] et [EF].

construire

"rrruitl *

segment

x

^tel que

: 4!: ^nP CDx

4'

Dans chacun des cas suivants, calculer les longueurs _-r et

|

^{, sachant que les}

droites

(pO

et (BC)sontparallèles.

5' ABC

est un triangle

avec

AC =l2cm.F ^{est le} milieu de [ea].

D

est un point de

lncl. La droite(rE)

est parallèle _à

(nc). La

droite

(ro)coupe (AC)

en I.

sachant

que

BD =Bcm

et

DC

:2cm. calculer

FE, EC et

cI.

6.

^Les

droites (Ru)et(rs) sont

sécantes en O.

Les

droites

(RS) et (TU) sont parallèles.

Calculer

OT et RS.

a-

b.

c-

cm

BI

7.

8.

asà "rt

Par

D, le

AE

:3

cm.

un

triangl" u,r""

AC ₌ 5cm et BC

:6cm.

point de[nn],

on trace la parallèle à

(nc);

elle

coupe

_[aCJ en E tel que Calculer DE.

ABCD

est un trapèze

avec :

(AB)//(CD).

Ses diagonales coupent en O.

a. Citer

deux triangles

qui

forment une

figuration

de Thalès.

b.

Calculer

OD et CD.

9.

Dans chaque cas (EC)

et (nO)

se coupent en

A

et

:

^{(^BC)} ll(DE).

Calculer

AB

et

AE

sous forme d'un quotient d'entiers.

b.

10.

ABC est un triangle.

D

est le milieu de

[ac].

M

est

le milieu

de

lanl. ^La

droite(ctut) coupe

[an]

^{en F.}

Par

D

on trace la parallèle

à (cr);

^{elle coupe (AB) enB.}

a.

Montrer

que F est le

milieu

_{de [aE].}

b.

Montrer

que E est le

milieu

_{de [nn]}

c. Sachant que

ED=4cm ,

^{calcLrler FM et MC.}

I

1.

EFG est un triangle avec

:

EF=

5cm etEG: \cm.M

^est le

point de[ff]tel

^que

EM ₌ 3 cm .

N

^est le

point de fzcltel

^que

EN:

4,8cm.

a.

Faire une figure ;

b. _Quelle

^est la nature du quadrilatère

MNGF

^?

c.

Sachant que FG =12 cm , calculer

MN.

Géométrie C2

12.

La distanèe

AB

ne peut pas être mesurée directement.

Pour

la

calculer, on place

un

piquet C.

Sur

CA,

on place le

point D

^{puis on} trace

(DE)

^ts

parallèle

à

_@B).

a. Lorsque

_[nE]est mesuré, on

peut trouver la longueur

AB,

pourquoi ?

b.

^Sachant que CA

.l,ïtan,

^{CD=90m et}

^DE:150m, calculer

Ia longueur

AB.

13.

Dans chaque cas(rS)et

(nV)

^{se coupent} en

A

^et : ^(IS)//( SM).

Calculer

la

longueur

RM.

14.

Les

droites (nn)

et

(cE)

se coupent en

A.

a. Donner

l'écriture décirnale

a, ⁴⁹ et Æ

AB

^AC

b.

En déduire que les

droites

(gc)

et (oe)

sont parallèles,

15. ABCD

est un rectangle

tel que

AB =l2cm et AD =9cm.E est le

point

du segment

[an]

^et

M

^est lepoint du segment [eO]

tels que

AE=7,2cm

et AM=

5,4m a. Faire une figure;

b.

Démontrer

que les

droites

(EM) et (BD) sont parallèles.

16.

Les

droit"s

(,tC) et

(no)

^{se coupent} en O.

OA = 15, OB =252

OC=7,

OD=54

a. Vérifier

_Que 7x54 = I 5x25,2

b. En

déduire ^que

oA

- ^oD .OCOB

c. Expliquer

pourquoi

ABCD

^{est un} trapèze.

17. ABC

est

un

triangle.

M

est le point de

[ae]

^.

N est

le point

de

[nc]

^.

^P

^{est le point de}

[ec]

^{et :}

(vnr) //(nc), (wr) /(an)

Sachant

que

_{AB =} 6 cm, BC

:

8 crn, AC = ⁵ cm

et

AM:2cm.

.

Calculer

^{MN, AP,} CN

et

NP.

I

18.

Sur

la figure

ci-dessous,

qui

n'est pas

faite

à l'échelle, les

droites (sp), (cr), (Dc)

sont parallèles deux à

deux.

Calculer BC

ét

FG.

I