3 - DIFFUSION ELECTRON-ATOME D'HYDROGENE A BASSE ENERGIE

Nous nous Intéressons à la diffusion électron-atome d'hydrogène à b a s s e énergie, La polarisation joue un rôle important, aussi employons-nous comme potentiel l e s différentes formes du potentiel polarisé (celles de BETHE, TEMKIN et LAMK1N) ou le potentiel adiabati-que ^A> Deux t e s t s , formation d'un ion négatif et le calcul d e s déphasages, nous permettent de sélectionner un potentiel représentant avec une bonne approximation cette interaction. Bien entendu, ce choix e s t pondéré par l e s possibilités d'utilisation ultérieure d'un t e l potentiel.

Enfin, nous introduisons maintenant l e s p o s s i b i l i t é s , de l'échange comme c o r r e c -tion de l'énergie de l'ion négatif, ou introduites dans la fonc-tion d'onde e l l e - m ê m e pour le calcul des déphasages.

n - 3 - 1 - Spectre d'énergie du système électron-atome d'hydrogène

Nous supposons que, dans l'interaction, l'atome d'hydrogène r e s t e dans l'état fondamental.

Figure II-2 - SPECTRE ELECTRON-ATOME D'HYDROGENE

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-La figure (II-2) situe en énergie de l'électron Incident un'domaine de validité des potentiels que nous allons employer.

•• L'interprétation qualitative de c e spectre e s t la. suivante :

- l'atome d'hydrogène étant dans l'état 1 s (E,, » -1 Rydberg), l'électron incident peut être dans l e s états n, 1, m, états libres sauf pour n • 1 qui correspond A l'ion négatif H"

( EH- - - 1 , 0 5 5 Rydberg) ;

- l'atome d'hydrogène étant dans l'état 2 s ( E * * - 0 , 2 5 Rydberg) l'électron incident peut être dans l e s états n, 1, m, états l i b r e s sauf pour certains qui correspondent A d e s états auto-lonisants de l'ion négatif excité H ~ ;

- enfin, s i l'atome d'hydrogène e s t dans l'état 2 p , DRAKE [ 4 5 ] a montré l'existence d'un état l i é pour l'électron incident (2, 1 , m ) , Un autres états étant l i b r e s .

Notons que dans cette description, on doit omettre certains états qui par arran-gement s e retrouvent dans d'autres : par exemple, atome d'hydrogène en 2 p, électron incident en 1 s appartient au groupe atome d'hydrogène en 1 s , électron incident libre.

La différence d'énergie entre l'état fondamental et le premier niveau aufo-ionisant est de 8,5 eV [46]» c e c i entraîne que le potentiel 1K. ne représente bien l'interaction que pour d e s énergies de l'électron incident Inférieures à cette valeur, A moins évidemment d'in-troduire l e s effets de résonance.

Notons enfin une forme analytique approchée (cf. paragraphe II-3-4) : (11-64)

.Figure H-8 - SPECTRE POUR LE DIPOLE ( + 1,-1 )

valable quel que soit r al a eat fonction de r (11-95), ou avec a » "ï-5T u , a- d a n B "n domai-ne de 1 à .10 u.a.

I!-3-2 - Lea potentiel»

Celui-ci eat donné par la relation (U-50) : 2

VA( r ) - - - j h + Ej (r) - E1 ai-50)

où E. (r) est l'énergie de l'électron dana le champ du dlpole créé par l'électron incident etle noyau de l'atome (+ 1, -1) et E. eat l'élargie de l'atome.

La figure 11-3 montre la apectre d'énergie d'un électron dana le champ d'un dipole (1, -1), en fonction de la diatance r_ entre les deux centrée [47, 48],

On constate que pour chaque état, il existe une valeur minimum de r . nécessaire pour que l'état soit lié. La valeur minimum r de rf l nécessaire pour qu'il y ait un état lié quelconque a été donnée (aana démonatration) par FERMI et TELLER dès 1947 [49] à 0,639a .

b) Potentiel^ pplariaé_ t^_^t2ï 2

V ( 3 l( r ) - - — + VS (r) + V* (r) (11-85)

P e2

Le terme V (r) fait intervenir le développement complet de — en harrr.o-nlquea sphériquee et «on expression eet d'un emploi peu maniable [35].

Cependant, il est poaaible d'obtenir dea expression» approchées en considérant uniquement le terme dipolaire % [50, 51, 52] dans le développement, BETHE obtient pour

p r*>

V^r (r) :

et TEMKIN LAMKIN, en interdlaant de plus la pénétration de l'électron dans l'atome [53,54]:

• - * # ( » - 4 - < ^

^ M '

> - !*-

<>«>

)

r l

LAMKIN, en interdisant de plus la pénétration de l'électron da

VT"L <r ) - - 74 ( «•» - f ^ ( rS +| r *+9 r3 +f r2+f r+f ) ) (11-67) 11-3-3 - Test de validité

a) Enerfiede l'ion négatif

C'est certainement le teat le plus sévère qui puisse être demandé. Il ne s'agit évidemment pas de retrouver la valeur exacte de l'énergie de l'ion négatif (E„- * - 1,055 Rydberg) mais plutôt da choisir a l'aide de ce test le potentiel qui correapoiid le mieux aux basses énergies de l'électron Incident. En attendant des calculs plua précis battes sur une fonction d'onde syroétrisée, nous allons employer une méthode approchée.

La résolution de l'équation de SCHHÔDINGER relative à l'électron 2,.

S •

< *

nous permet d'obtenir € - et <p-, V~ pouvant être un d e l potentiels précédente correspondant à l'atome d'hydrogène dans l'état 1 s. La méthode variatlonnelle pour déterminer la meilleure fonction d'onde de l'électron 1 telle que :

qp ( ? j , ?2 ) • <P, (r j) q>2 ( r2)

•oit solution de l'équation de SCHRÔDINGER du s y s t è m e : H tp • E tp

nécessite que q>. soit solution de l'équatioi. (11-71) avec E . * - 1 Rydberg

Ho <rl)+/ l » 2(?2 » |2- S i

(11-69)

(H-70)

<h <rl> 'El <h ( rl >

E-€,

,+ f\*

fy?lf+T

i ^ai-'D

où 'î e² C /" - S e^S

-Ho " "2m- " T~ ' V J ' *2 ( r2 ' I T " d r2 " * l* P0"1 1" '1 «««fc»"*'' coulombien ordinaire de la distribution de charge statique. L'énergie totale du système devient donc :

2 ' J' 2

E - E ,

!

2 - / l » 2

2 > |

( ^

4

Pour le calcul de l'énergie de l'état l i é , nous avons employé un programme de résolution de l'équation de SCHRÔDINGER m i s au point par DESCLAUX [ 7 7 ] .

.Correction d'échange

Le potentiel employé ne tient pas compte de l'indlscerbanlllté des deux électrons, et pourtant aux b a s s e s énergies l'échange Joue un grand rôle et s e traduit par une correction d'énergie non négligeable.

L'échange s'introduit A l'aide d'une xnettu.de des perturbations au premier ordre non symétrique [ 5 0 , p. 1 2 3 ] a p r è s avoir c o r r i g é l'énergie du s y s t è m e a deux électrons (correc-tion nécessitée par l'emploi du potentiel approché * ^ 'A) cf. Appendice B,

(11-73)

- 3 0 .

"oa * "l ' V *S '"V

"

voa oa oa ^oe

H ^ . H.f a at <p aa déduieeot en écba*^e«3t laa rolea Jouée par r. et r- . L'énergie totale du avatarne derient E + * E_ et l'équation da SCHRODINGER du eyetème a'écrit :

- C ] *oa ⁺ 1 ^Hl b " ^BC | *ob • " ^{( U}-^{7 7}» La calcul a'effectue aana difficulté :

A² E^c « - 2 I J », ( 17-+ j ) <f^a d? + 2 jj », (?,) Vj (?^a) -f- », (?²) », (?,) d?, d?²

- 2 I j 5 v ? , > »2 '"V T *2^"12 ( ?1> d ?l d ?» + » ^ 7ft C**- ? 'd? tU-1») où A eat un facteur de normalieatlon :

A - \/2 ( 1 + O I • / «a, M « . (r) dr V² ( î + 1 ) I - y - j tr) « j l r ) Le deuxième terme repréaante l'échange proprement dit.

Le tableau II-1 donne laa réauBata obtanua aana échange Eq, 01-68) et avec échange auivant la méthode précédente 01-72, H-7»).

- 31 .

Le potentiel V. et aon expression analytique nous donnent une énergie qui à S"/, n'est autre que l'énergie de l'ion négatif H'. Ce résultat £at extrêmement satisfaisant vu la simplicité de la méthode employée. Signalons les travaux d'OBEROI et CALLAWAY [33 ] qui obtiennent - 1,0544 Rydberga.

b) Calcidjd»_dépjtusaj!»

Ce test intervient pour justifier l'emploi des potentiels que nous avons définis, dans un domains d'énergie moyenne (jusqu'à uns dizains d'électrons-volt).

Nous comptons comparer les déphasages obtenus 1 partir de ces potentiels avec des résultats sxpérimentaux ou théoriques obtenus par ailleurs. Ces dern'srs résultats abon-dant dans la littérature, cepenabon-dant ils sont différenciés sui rant les états singulets et triplets, aussi pour que la comparaison soit instructive noua devons introduire la symétris&tion des fonctions d'onde.

Etablir l'équation de SCHRÔDINGEB avec échange consiste * appliquer le princi-pe variatlonoel a l'équation du système pour une fonction d'onde Bymétrisée.

Dans la note 1511 nous étudions et discutons les trois possibilités qui nous sont offertes :

- Le principe variationnel total avec la fonction d'onde dans l'approximation adiabatique con-duit i l'équation de SCRRÔDDKSER avec échange. L'obtention des déphasages corrects est conditionnée par le choix des fonctions d'onde 1 deux centres. Les parties radiales sont tabu-lées [55] peur différents moments orbitaux, l'usags de cee tsbles est pénible et on n'est pas certain d'obtenir de meilleurs résultats que ceux fournis par une équation approchée.

- Avec un principe variationnel partiel (expression disyroétrique) Ï5MKIN et LAMKIN [53] ont étsbli uns formule encombrante et les résultats concernent les déphasages diffèrent peu de ceux obtenus lorsque l'échange est trtdté de manière statique.

Principe variationnel total avec une fonction d'onde dans l'approximation statique On considère la fonction d'onde q> ( rt , r - ) separable :

<p ( r j . r j ) ' *j (rj) Fx ( ?2) + t j ( ?2) Fjlï"^

Le principe variationnel s'écrit : 6 / / • < * 1 ' "V [ H - E ] V( ?1, ?2) d r '1d r, 2 - 0 et conduit a l'équation :

(11-79)

(11-80)

•A- - — + V ( r j - E + E ,

2m T2 l 2 1

...± t,(?

) / t x f y

dont l'expression radiale est :

[.^.

^

c

.

]

±

i o » « , C

i -

3

" " f'"y

w*

~

I -A'*

' F

i

/

"*

§>

i

j ' °

-

- s î+i Calcul numérique

La forme asymptotique de la solution de l'équation (H-B2) nous fournit l e s dépha-sages pour différentes énergies € de l'électron incident et pour divers potentiels que l'on substitue a Ve.

Nous avons employé deux méthodes, l'une itérative qui fournit des résultats c o r r e c t s mais sans grande précision pour 1*B potentiels de BETHE, TEMKIN et le potentiel statique. Par contre, l e s déphasages correspondant au potentiel adiabatique V". sont erronée, c e c i est dû à la convergence t r è s lente du calcul et même quelque foie inexistante. Cet inci-dent n'est pas nouveau, i l a déjà été signalé par BUBKE [ 5 6 ] et TEMKIN et LAMKIN [ 5 3 ] . A u s s i avons-nous préféré une méthode d i r e c t e , c e l l e de PERCIVAL et MARIOTT La figure n - 4 donne l e s déphasages sans échange, elle montre que le potentiel adlaîiAtlque «oie trop attractif,les déphasages avec échai^e (figure 11-5) sont semblables pour tous l e s potentiels c i t é s . Sur cetto dernière figure, l e s déphasages de référence sont ceux de SCHWABTZ [ 2 7 ] obtenus par un calcul variationnel t r è s élaboré.

T i g u r e II-4 - DEPHASAGES SANS ECHANGE

Figure 11-5 - COMPARAISON DES DEPHASAGES 7HJUE DIFFERENTS POTENTIELS

Remarque

Les déphasages obtenus pour le potentiel de TEMKIN sont identiques à ceux de cet auteur [ 5 3 ] , pour le potentiel de BETHE, on obtient des résultats semblables à ceux de STILLEY [ 5 8 ] ,