Nous allons tout d'abord rappeler l'intérêt et l'usage que peut présenter cette étude dans le cas particulier de b a s s e énergie et de champ fort. Nous donnerons ensuite des idées pour la construction de l a fonction d'onde du s y s t è m e .
IU-3-1 - Intérêt et usage d'une telle étude
L'intérêt de cette étude e s t d« pouvoir rendre compte des collisions électron-ato-me a b a s s e énergie en présence d'un champ fort. Quand nous disons atoélectron-ato-me, il peut s'agir d'un atome neutre, d'un atome ionisé (avec un potentiel écranté) ou de toute particule avec un potentiel d'interaction qui décroft plus vite que 1/r * l'infini.
Notre but est de pouvoir décrire une partie du processus d'ionisation d'un gaz d'atomes neutres ou du chauffage d'un gaz totalement ionisé et froid par un rayonnement l a s e r , t e l que nous l'avons expliqué dans l'introduction. Il y a cependant d'autres applications (ch. I).
La nouveauté de ce problème réside uniquement dans le domaine de l'énergie et du champ.
Nous allons montrer l'usage qui peut être fait d'une t e l l e étude à partir des t r a -vaux de BUNKIN et FEDOROV.
La matrice S d'un électron en interaction avec un atome ionisé et soumis à un champ électromagnétique s'écrit A l'approximation de BORN* (cas d'un électron rapide) [ 2 2 , 8 3 , 2 4 ] :
• Remarqua : A notre a v i s i l y a un* cr/^drtion supplémentaire. Rappelons que l'opérateur ÇL, agit sur le potentiel V(r\endonnant V(r+a) £IL 31). L'état initial dans (III. 55) doit «tre développer par rapport a*: t t e r m e s i . v V . . . L'écriture IQ. 55 n'e»* <lable que s i l'élément de matrice qui con-tient l e d. . ^opperoent de l'état initial à partir de - e 1 en a. v V . . . soit négligeable devant l'élément de matrice A l'ordre 0.
Signalons que l e même problème s e pose dans l e travail de REISS [ 7 3 ] lorsque H . est né-g l i né-g é , MM. COHEN-TANNOUDJI et FABRE doivent en faire une mise au point.
5 7
-. -. -. f c - i / " -. < „ • < - - * * * - ^ • - -. - • - - - ^ • -
^ P j j e e | V | n ^ ( p . ) e " e ' > (in. 5 i )oil n „ d é l i e n t l'opérateur de HENNEBERGER (III. 17).
On définit la matrice de transition ï \ par la composante exp (iD'jit) de l'inté-(n) grant :
(S - l )f l - - Ï » j 2 _ lTr \n > S l B j - E j + n f l » ) n
«bilité d'une transition de 1* électron d'un et
La probabilité d'une transition de l1 électron d'un état d'énergie E. vera un état d'énergie E , s'écrit ;
Avec cette méthode on obtient immédiatement tous l e s p r o c e s s u s multi photonique s qui entrent en jeu dans la transition.
Far construction de l a matrice S, l'état final de cet exemple e s t toujours indé-pendant du potentiel d'interaction.
Diminuons a l o r s l'énergie de l'électron E , . l'état initial ne peut plus être p r i s è l'approximation de BORN, il faut l e déterminer plus exactement.
On conçoit que s i cet état était connu, l e s précédents problèmec évoqués seraient a i s é s A résoudre,
U I - 3 - 2 - Fonction d'onde du s y s t è m e élactron-atome d'hydrogène en p r é s e n c e d'un champ
Nous considérons l e hamiltonien du s y s t è m e électron-atome d'hydrogène-champ :
H »m1
CP. - f X)
,rl c " ' T1 2 m " a c . j .+ ±tK-i*? -4-4*4 On.")
2 . ,2dan* lequel l e a Indicea 1 et 2 sont r e l a t i f s , respectivement, à l'électron l i é de l'atome d'hy-drofène et a l'électron libre considéré.
Soit Y (1,2) l a solution de l'équation d e SCHBÔWNGER pour cet hamiltonien, effectuons la transformation unitaire de RE1SS pour l'électron lié [ 7 3 ] :
7 (1,2) - e x p - j j * X. ?j I T (1,2) tm.57) Cette transformation fait intervenir l e t e r m e e / c a. A . r . qui est négligeable
devant l'énergie potentielle coulombienne et devant l'énergie de l'électron l i é (E.) compte tenu du domaine de variation des flux de rayonnement que nous considérons. Ceci est illustré par l'inégalité : ^ _
Çvd W Flu» <<t an5g)
El ¥ Î O1 6 W c m "2
L'équation dé SCHRÔDINGER devient alors :
1 - e - 2 pl e2 e2 e2 I • a
-^ T 'Pa" !
A>
+"ES " t " " ? T
+"^ I
, , l > 2 )•'* Tt *
U > 2 ) ( m-
5 9 )Cherchonl une solution Y (1,2) sous 2* forme
- i E „ t
- j , . , (III. 60) L'application du hamiltoniân transformé H* et, plus précisément, l e calcul des
t(l,2) - 2 _ « * " •„<!>»»£».«
intégrales :
/ •
i E t r _ _
n tn( l ) H - Hi - i | Y (1,2) dF, - 0 (UI.61)
donne un s y s t è m e d'une infinité d'équations couplées analogue a celui obtenu sans champ au chapitre II (11.38). (Notons que la théorie sur l e s différents potentiels du chapitre n s'appli-que ici) :
(in. 62) ou :
Vn m <?2> " 7 « ' ^ ' ^ ' ••„<" "rf, *m « '?a « = • « « Approximation A un état sans échange
Pour simplicité, nous pouvons considérer l'approximation statique qui donne une seule équation :
0
• | t
(5»- I *>* - T
2 + Ei - « It I » *V*>
+ vî i
( ?2) * ' V
1'
( U I-
6 4 )En s * remémorant l e s définitions des potentiels d'interaction (chapitre II), on constate que l'équation obtenue e s t la znSme qua c e l l e étudiée dans l e s paragraphes p r é c é -dents.
A i n s i , une approximation de la fonction d'onde du système électron.atome en présence d'un champ e s t donnée par :
i*- X r - - E t
Y (1,3) - a * ° * * • * X É ( 1 ) Y ( ?a, t ) 011.65) Suivant l e s conditions de l'étude Y ( ? , . t ) e s t obtenue par une des M et hod e i
précé-dentes ; nous allons e s s a y e r de la déterminer pour un électron lent dans un champ fort.
W - 3 - 3 - Fonction d'onde d'un électron lent en interaction avec un atome d'hydrogène dans champ fort
Rappelons l'équation de SCHRÔDBTGER de l'électron :
2
• j ^ ( p - f ï ( t ) ) T (?,t) + V (r*Jt (?,t) * Hî-|-t T (?,t) On.66) où V (rj est un des potentiels d'interaction du chapitre II.
Pour résoudre cette équation, on peut songer A effectuer une décomposition sem-blable à celle du problème sans champ (11.116).
Cherchons alors une solution sous la forme :
T (?,t) - Tj (7ft) + T2 (r\t> (111.67)
5 ^ (p - f X (t) ) Tj (?,t) - Hî •£ Tj (?,t) - x 6 (?) OH. 68) 2
J - (P - ^ ï (t) ) + V (?,t) I2 (?,t) - lH - y T2 <?,t) + X6 (?) 0n.69>
V (r,t) Tj (r,t) • V (r) T (r,t) Cn.70)
yTT
Une telle décomposition est toujours possible ; il y a unicité quand l'une des fonctions tin précisée.
En général, le pseudo-potentiel V dépend du temps car nous n'imposons aucune restriction quant A la variation temporelle des fonctions y, et r , •
L'idée qui nous a conduit dans la construction de ce sustème est la suivante : nous avons cherché A décompostr l'équation initiale en deux équations, l'une représentant un état libre «t qui sera traitée avec 1» transformation de HENNEBEHGER, l'autre repré-sentant un état lié et nous appliquerons la transformation de KEISS,
Méthode employée pour résoudre ce système
Nous avons construit ce système (ULS8) par analogie avec le système (11.118) correspondant A l'équation de SCHRÔDINGER sans champ.
La comparaison de ces deux systèmes montre une différence fondamentale : - dans l'un, l'expression V (?) qu «st parfaitement déterminée par la relation :
V (7) ^ (?) • V (7) e> (?)
relation dans laquelle la fonction p est connue comme solution de l'équation de SCHRÔDIN-GER (IL 103),
- dans l'autre, l'expression V (r,t) y . est inconnue.
L'équation (III. 60) avec la relation (111.70) est une équation "self consistante"
par le fait que la solution y. dépend du pseudo-potentiel V (r,t) et inversement,
Pour pouvoir résoudre ce système, nous devons identifier V (r,t), pseudo-poten-tiel du système avec champ, A V* (r), pseudo-potenpseudo-poten-tiel du système sans champ. Ceci impose
tiens noua aurons une solution.
Ces conditions sont l e s suivantes : y et Y. s'expriment avec un facteur sembla-ble dépendant du temps en fonction de cp, et tp_.
Si la solution de l'équation 011.68) s'écrit simplement :
+ - i
E tYj_ (r.tï - CÎH e 1 ( r ) t U I*7 2 )
il n'en e s t pas de m8me de la solution de l'équation (ni. 69). En effet, l'opérateur de REISS agissant sur l'opérateur y £ (r) conduit d'après la relation entre l e s opérateurs fl_ et n t i n . 54} A un terme proportionnel à 6 (r + a). L'équation transformée n'a pas alors de solu-tion simple.
D'autre part, cette m i m e relation ( m . 5 4 ) montre un décalage d'énergie qu'il n'est pas possible de réduire.
I1I-3-4 - Conclusion
Ce problème, état d'un électron lent en interaction avec un atome et soumis à un champ fort, n'a pas pour l'instant de solution.
Il s e m b l e , cependant, qu'u.ws méthode de séparation soit la. bonne voie pour obte-nir cette solution.
On psut envisager deux méthodes, l'une semblable A c e l l e que nous avons pré-sentée mais qui comporterait l'introduction d'un potentiel mou pour supprimer la divergence A l'origine tout «n conservant l e déphasage. L'autre consisterait plus simplement A couper la fonction d'onde en deux parties avec évidemment un problème de raccordement.
HI-4 - CONCLUSION
Ce chapitre présente l e s différentes méthodes connues permettant de déterminer l a fonction d'onde d'un électron soumis A l'action d'un champ électromagnétique.
C e s méthodes de résolution i e situent par rapport A l'énergie de l'électron et A la grandeur du champ. Le diagramme suivant (figure Kl, 1) l e s présente.
L e s champs faibles permettent un développement en perturbation. L e s champs forts nécessitent d e s tû*orlee plus élaborées et adaptées A des é n e r g i e s électroniques p r é c i -s e -s . A i n -s i , -s i l'électron e -s t l i é , l a méthode de REISS ou la théorie de F LOQUET condui-sent élégamment et rapidement aux solutions, e t , aï l'électron e s t libre et de t r è s grande énergie, la méthode d e s états quasisUtionnaires ou la transformation "attribué A HENNEBERGEH"
(potentiel atomique oscillant) est bien appropriée. Mais, s i un électron est l i b r e , de faible énergie et en présence d'un champ fort, aucune méthode ne nous est connue. L ' e s s a i de résolution présenté est instructif cai- il semble que seule une méthode de superposition de fonctions ou de coupure de la fonction d'onde puisse mener A la connaissance de l'état d'un électron dans l e s conditions imposées par l'expérience, c'est dans cette voie que nous nous proposons de poursuivre.
Cette détermination de l'état, le plus exact possible, de l'électron est un
problè-me fondaproblè-mental. Une fois connu, à l'aide de techniques déjà é p r o u v é e s (notamproblè-ment avec la m a t r i c e S) il s e r a possible de c o m p r e n d r e et d'évaluer des p r o c e s s u s d ' i n t e r a c t i o n rayonne-m e n t - rayonne-m a t i è r e .