3-2 - Hamiltonien périodique

L e potentiel vecteur A étant périodique, de période T = 2 JT/UJ l e hamiltonien total est alors périodique avec la m i m e période T

H ( t + T ) - H (t)

Physiquement, le système électronatome e s t soumis à l'action d'un champ o s c i l -lant ; ceci e s t fréquemment rencontré en Physique et a donné lieu a de nombreuses études [ 6 3 ] [ 6 4 ] [ 6 5 ] [ 6 6 ] ,

Dans le c a s du rayonnement l a s e r , nous particularisons lo champ en prenant : A (t) - - - ^ - c o s i u t OU. 11) ou u e s t l a pulsation, E l e champ électrique,

a) Etats quasistationnaires

L e s états quasistaticiuiaires sont définis comme d e s états périodiques a un a c -teur de phase p r é s [ 6 3 ] , solutions de l'équation (III. 1}. L e nom d'état quasistationnaire pro-vient de l'analogie avec l e s états stationnaires rencontrés quund l e hamiltonien H est indé-pendant du temps.

Si T (t) «at une solution quasistationnaire, elle possède la propriété de périodicité a

La fonction cp(r,t) *at appelée quelquefois "fonction de BLOCH", par analogie s u problème d'un potentiel périodique dans l ' e s p a c e , en physique des s o l i d e s .

Ces états pogBèdtnt d e s propriétés intéressantes :

Le produit scalaire d'une solution de (III. 4) par un état quasistationnaire e s t indépendant du temps.

Cette propriété entraîne que deux solutions quasistationnaire» de quasiénergie»

distinctes (ne différant pas de ntïto) sont orthogonales.

47

48

qui fait c o r r e s p o n d r e à chaque v e c t e u r état | ijr > l e v e c t e u r : I * > = (1 I t >

et â chaque o p é r a t e u r A , l ' o p é r a t e u r : À" » n A fi+

t e l que l'équation d>. SCHR&D1NGER :

H « (?,t) = Mt ^ * (?,t)

soit t r a n s f o r m é e en une équation dont l e s solutions soient connues ou a i s é e s à obtenir 3t

A l o r s la l-olution s ' é c r i t :

• (r,t) * (1

⁺

ï (?,t)

a) P o t e n t i e l atomique oscillant : HENNEBEHGER

Nous c o n s i d é r o n s un o p é r a t e u r qui contient le hamiltonien d ' i n t e r a c t i o n de l ' é l e c -t r o n avec le c h a m p [ 7 2 ] :

" '

^e

"P | î, J_

^{m d T}

I r lÂw.î^rà)] (ni.-7)

2mc ) C ' e s t un o p é r a t e u r u n i t a i r e .

L ' a p p r o x i m a t i o n d i p o l a i r e nous p e r m e t de l e f a c t o r i s e r : fi » fij fi2

i /

^d

* - Ë : * - ' I <"«.»)

*n J-m me

U /:* ^{— ,}

^{À- 2}

t an. is)

2mc n . e s t un o p é r a t e u r de t r a n s l a t i o n :

n

^t

f (?) • ! (? - / _ d

^T

JJ-

^C

Â(T) j an.zo)

L ' a c t i o n de l ' o p é r a t e u r flg r é d u i t l'équation 011-1) à la f o r m e suivante :

I 1 = " "55

^x

- >

+ v l r >

I *' <*•*> " '* ït »' <?'*>

Y ( r \ t ) - e * 2mc2 »- (?,t>

Enfin, l'action de l ' o p é r a t e u r ft. conduit à l'équation :

I | ^ + V(? + 5} j ?(?,t) - i* -^ ? (r\t) OH.21)

/ ' • à * «

^{) dT} (III. 22) o est le déplacement que aubit classiquement l'électron à partir de son centre d'oscillation sous l'influence du champ.

a , l ) Correspondance classique

L'opérateur 0 . est équivalent en mé va nique classique à un changement de repère :

(

r' » r + a t' « t

L'équation (J.U. I) avec cette transformation, devient :

I

S '

² I a -2m + v ( r' ' a ' I Y ( r' • *' ' l * j t * ( l" ' "

où : . 7 ( ?' , t) - y1 ( ?' - ô* , t )

La périodicité du potentiel permet une analyse de FOURIER : V < ? ' - S ) - I W ( ? ' ) e -lma,t

m m

qui suggère un développement d e i solutions de (III. 21) : v - t ( E + n * u ) ) t 7 ( r , t ) . Z Xn ( r ' ) •

où xn exp ] . - E t | e s t la composante de FOURIER de 7

Ou désigne par E l'expression E + n<)1 w ; l'équation pour y s'obtient en substituant cette expression dans (III. SI) :

- * .

^Xn ( ? ) » 2 w (?.) x m (?•) ( m . 2 3 )

"n m m ^n-m

n 2m

Si on s e limite à m « 0, ^ e s t tout simplement la fonction d'onde d'un électron libre soumis à un potentiel V. Pour un champ électromagnétique quelconque, l'équation (111.23) n'a pas de solution s i m p l e , par contre, s i l e champ est suffisamment petit pour p e r -mettre un développement en s é r i e de TAYLOR du potentiel oscillant, on peut utiliser la théo-rie des perturbations pour obtenir une solution formelle [23 ]*

a. 2) Champ faible

Le potentiel développé en s é r i e de TAYLOR s'écrit :

V (r +a) - V (r) + ^, t a . 7) V ( r ) + — - ( o . 7Ï V ( r ) + (III.24) et l'équation (III. 21) devient :

J j j ^ + V ( r ) + Hj ( r , t ) | ? (r, t) - Mi £ j (P ( t) (IH.25)

H » (a . v ) V ( r ) + -± ( n . v ) V ( r ) + . . . (111.26) Si toutes l e s . d é r i v é e s du potentiel et l e déplacement a sont suffisamment petits de telle aorte que H. soit négligeable devant l'énergie de l'électron et devant la valeur moyenne du potentiel, l e s solutions sont données par :

où 0 satisfait : i - 2

T (?,t) - * ( ? , t ) (ln.27)

at - tm.»»

C'est évidemment un cas extrêmement particulier et il faut, l a plupart du t e m p s ,

;n tant que perturbation (111,10).

La solution au premier ordre étant :

, t ) - • < ? , ! ) + r * . ( ? , t ) / dT ( - i ) < * I HT| # > PII. 29)

a, 3) Relation avec la méthode d e s perturbations

La comparaison du résultat obtenu par cette transformation avec celui obtenu par la méthode des perturbations ne peut s'effectuer qu'a la limite des champs faibles.

Wang pouvons négliger dans le hamiltûnien du système la contribution du terme -*2 —2 — -*

en A (le rapport du t e r m e en A au terme A, p étant t r è s petit),

La théorie des perturbations nous donne pour fonction d'onde (III. 10) :

*,t) x # ( r . t ) + £ *n £ , t ) / dT ( - ^ ) < *n|

f (F,t) * * ( F , t ) + i_ *n( r , t ) / d r < - £ > < *n| - ^ Â . P | * > (U1.30) n J~w

Il est intéressant de connaître s i la solution obtenue en (111-29) correspond à (Ul. 30) :

Y<?,t) - ct\ *(?,t) + E *

ⁿ

( r \ t ) J Ai ( - i ) < *

ⁿ

| Hj | «> } OH.SI)

En nous limitant pour H. au premier terme (a. 7) V , nous obtenons pour le deu-xième de (ni. 29), en utilisant la relation :

ï . V » [ 5 , H ] (111.32)

/ " /

-/ < # l a . v V ( # > d T - ( E - E ) -/ o < » | v | # > d T flH.33) / n ' n __/ n '

Une intégration par parties donne pour cette expression, la valeur :

( " T < *n l « . ? ! • > + * 7 y < *nl J _ a . 7 | * > dT (III.34>

Développons alors l'opérateur n jusqu'au premier ordre quand il agit sur $, et a l'ordre zéro quand il agit sur $ . Le résultat obtenu eat identique à (111.30), notons qu'il en serait de même à tous l e s ordres de perturbation.

a. 4) Conclusion

Cette méthode conduit en général, au problème dp la résolution d'un système d'équations {111.23).

Dans l e c a s d'un champ et d'un gradient de potentiel faibleB, une solution e x t r ê -mement simple est obtenue. Mais, si l e gradient de potentiel eat important, 11 faut faire appel à la méthode des perturbations.

L'avantage est d'introduire la perturbation 0 , 7 V qui peut 6tre petite a l o r s que la théorie usuelle fait intervenir A. p.

b> Translation de l'iu>tnûaion : REISS

Une autre transformation unitaire a été formulée par H. REISS [ 7 3 ] l'opérateur fl agit sur l'impulsion :

, fl - e x p ( - j - | A* . r ) (111.35) L'équation de SCHRÔDINGER pour l e Hamilton!en ;

H - ™ - ( p - £ £ ( t ) )2 + V ( r ) (01.36)

2 m c se transforme suivant :

H ? ( ? , t ) « H f | j - 7 ( r , t ) (EU.37) où l e s opérateurs transformés sont (appendice A) :

a n . 38}

(III. 39)

o ù : Hj • - T r À \ r » - e Ë . r dans l'approximation dipolaire, (111.40) REISS donne l'expression de H . qunnd l e potentiel vecteur dépend de l ' e s p a c e , on retrouve ainsi t r è s élégamment l e s t e r m e s dipolairea, magnétodipolaires *>t quadrupolairea électriques habituels.

La nouvelle équation de SCHRODINGER devient :

I 1 ^ + V ( r ) | 7 ( r , t ï - [ i * "ft "

^H

I I * <

^r

'

⁴

) OH.41)

L'intérêt de cette transformation apparaît clairement ai l e t e r m e H . e s t négli-geable : en effet, dans c e c a s , la fonction Y diffère peu de l a solution de l'équation de SCHRO-DINGER sans champ (chapitre II, paragraphe 3 . 5 . ) ; • (r , t ),

Voyons l e s conditions qui permettent de négliger c e t e r m e ; - sa moyenne devra être petite devant l'énergie du système sans champ ;

H " O H S *

< * M H . | * >

= « 1 011,42)

•a moyenne devra être faible devant la moyenne de la perturbation (employée dans la mé-thode de» perturbations) pour montrer le progrès réalisé avec l'emploi de cette transfor-mation :

" • i W * "

« i (m. 43) ainsi si l u condition! 011.41) et (III.43) «ont vérifiée», nous prendront :

ï (?,t) - #(r",t) « exp { - ~ Et } » (?) (111.44) et •! «u moins l'une ne l'est pea, nous effectuerons un développement de la fonction d'onde

par rapport au terme H. pris comme perturbation. On obtient au premier ordre (111.10) :

7 (?,<) - • ( ? , ! ) - j 2 _ • n

^{< ?}

'

^{t >}

f < » „ l

^{H I}

l »

^{> d T}

W.*5)

Remarque

L'énergie est donnée par l'expression < v | in — | T > qui, puisque la transforma-tion est unitaire, peut s'écrire :

< ï | » * f t l

^{T >}

'

^{< T}

I'* I t " £ It*-'!*» cm.46)

Si v est pris a l'ordre xéro en Ht, il faut évidemment négliger le terme H, dans l'énergie qui devient alors E. A l'ordre un ? est donnée par 011.45) et l'énergie s'écrit :

E +

< » l - f | î * -

^?

l * >

^{+ Î H}

. | < » l - £ t t

^X

-

^{: :}

l I ! * n | - s /

^{t <}

* n l

^H

l l

^{# > d T}

|

OB. 47) b.l) Antécédent

Cette transformation unitaire correspond à une transformation canonique du hamiltonien en mécanique classique. L'équation (UL 41) est en fait 1res ancienne (1939) et a été obtenue par Maria GÔPPERT-MAYER [74].

b. 2) Relation avec la méthode des perturbations

Gomme pour la transformation précédente il est intéressant de connaître l'ordre de correspondance de la solution trouvée avec la solution obtenue A partir de la méthode des perturtwtioos,

11 faut considérer la limite pour Isa champs faibles et la méthode des perturba-tions pour l'interaction dus au champ conduit à (m. 10) :

<r-,t>.«(?,t)

⁺

<-4> £ \ < r , t > / < *

ⁿ

| - ^ ^ . ? l » > d T

Pour obtenir une expression s i m i l a i r e , on développe l'opérateur et la fonction d'onde, développement qui peut être limité puisque l e s champs sont faibîes :

? (r ,t) - fî+ 7 ( r , t ) ( m . 49) Si on travaille au premier ordre par rapport au champ pour l'opérateur, il faut employer l'expression au premier ordre en H~ de la fonction d'onde (III.45).

f

En intégrant par parties :

(r*,t) - Cî

⁺

[ • <?,« - £ 2 _ * n

^{f ?}

»

^t

' / * * n

^{, H}

I

^t

*

^{> d T}

]

^{( m}

*

^{5 0 )}

{rant par parties :

/ <•„ i

^H

! i * >

^{d T}

- < *

ⁿ

t f *•*I *> - i (

^{E n}

- E ) J d

^T

<*

ⁿ

i f ^ . ? i * >an.5D

on développe l'opérateur 0 A l'ordre z é r o quand il agit sur • et au premier ordre quand i l agit sur 4b

Fnfin, en transformant A. r en A. p on obtient bien le développement en perturba-tion par rapport au champ au premier ordre et il en serait de même A tous l e s ordres.

Remarque :

Cette transformation contient des processus à tous l e s ordres de perturbation.

Cette dernière proposition est illustrée par le développement de l'opérateur Cl pour un champ A - A sin ait, (J fonction de BESSEL d'ordre n),

o n

- J E T * »r ^ ~ •l n u , t / . - - \

b. 3) Conclusion

Cette transformation permet d'obtenir une solution simple, lorsque le t e r m e H . peut être négligé. Ce terme étant proportionnel A la distance r , il ne sera fini que Bi la d i s -tance e l l e - m ê m e e s t finie et ceci l a i s s e A penser qve cette transformation ne s'applique qu' aux états d i s c r e t s .

La correspondance avec la méthode des perturbations montre que cette transfor-mation e s t mal adaptée au c a s des champs faibles, par contre elle est remarquable pour l e s champs forts puisqu'elle contient d e s processus A tous l e s o r d r e s , et que 1CM conditions pour lesquelles l e terme H . e s t négligeable sont vérifiées, du moins pour l e s états discrets.

c) Remarque sur c e s dsux transformations

Cette dernière transformation, agissant sur l'espace des impulsions, permet d'ob-tenir des solutions t r è s simples dans le c a s des états l i é s .

Ceci peut sembler paradoxal ; l'approximation de BORN, s i e l l e e s t valable, permet le choix d'une fonction d'onde de la forme exp (i le,r) a u s s i , il semblerait naturel, lorsque l e champ est introduit, de s'intéresser A d e s solutions de la forme exp (i (k + — A ) . r ,

- A étant une impulsion. En fait, rappelons-le, des solutions de cetie forn.e ne peuvent pas exister car la transformation de REISS ne peut conduire à une telle expression qu'en négli-geant un terme dépendant de la distance, et la distance, pour un état l i b r e , n'est pas bornée.

Lorsque l'approximation de BORN eat justifiée, et s i certaines conditions (déplace-ment de l'électron à partir de son centre d'oscillation et gradient de potentiel petits) sont r é a l i s é s , c'est la première transformation qui agit sur l'espace d e s coordonnées qu'il faut employer.

d) Comparaison des opérateurs de REISS et de HENNEBERGER dans un cas particulier

{U"*ia«-l5i)

n

^H

s "

^e!tp

' 3 / *•< [ ^

^A

- P + — , 1 f on.iv

* exp

- ^ f X r [ (m.S5)

C e s opérateurs correspondent à des transformations de jauge de deuxième espèce (Messiah XXI. 20).

Leur effet sur une équation de SCHRÔDINGER du type :

f 5 S ( P - f A(tî )

²

+ V(?) J T(?.t) - l-M-ft Y (?.t)

e s t t r è s différente i n , 41 e^, III. 21. Il semble donc difficile de pouvoir l e s comparer.

C o n d i t i o n e d ^ n o t r e Sgmpa^rjriaon^

C e s conditions sont dictées par la suite de notre étude. Nous supposons que l ' o pérateur de HENNEBERGER agit sur une certaine équation et l'équation transformée se r a m è -ne à la forme :

fa t (r) - 6 l ( r )

On obtient alora :

*H *

«• ( - à i* }

^{f ( ?}

>

et :

°H,S «P ( "S Ê * )

« (r) (ni. 5Î>

L'opérateur do REISS agit aur u n . a u t r . équation en donnant : - 2

• j j j g (?) + U (?) f (?) « € f (?) U éUnt un potentiel a l o r . :

»«• «• (- i ( ê • ° « )

^,

J ««

¥R " ° H . B ^{e x p}

| - h < fnr+u <r> > t j

^g

(?)

| y > représente l'état d'un électron libre soumis à un potentiel vecteur A (t), | T„ > r e p r é -sente l'état d'un électron lié soumis à un potentiel scalaire U et à un potentiel vecteur Â" (t) (le terme H. • "" TT ^ ** e J , t négligé) ; g (r) est la fonction d'onde de l'électron l i é lorsqu' il n'y a pas de champ, la partie radiale de g (r) "••annule" pour r > R,

Nous allons exprimer | v „ > en fonction de l'opérateur de REISS dans le domaine r < R , ce qui nous conduira i une relation entre l e s opérateurs de HENNEBERGER et de REISS dans ce domaine.

Four c e l a , U convient de passer en représentation d'HEISENBERG, transformons

0 Ù n+

H,I • " » { ï fe * ) °H,8

^{e I P}

[ " ï C l * 1 -

ⁿ⁺

H,S

A ne dépendant que du temps et p commutant avec p , l e changement de représentation l a i s s e invariant cet opérateur.

L'opérateur de REISS dans cette représentation devient :

°>.i-»U £*) °V» "

^p

{-à Ê « ) — i s *•<?•!*>}

i "**

En effet, s i O désigne l'opérateur exp j . -|— t on peut montrer l e s é ^ l i t é s suivantes : 0+ • exp I O r O* L O r O* - r ; ^ j i

Pour obtenir una relattor entre l e s opérateurs en représentation de HEISENBERG nous é c r i -vons nR I sous la forn-*» :

rt * * +

°°

^H

oi ' "o • -Ê

Alor" t i* i

56

-En développant et en tenant compte d'un champ A » A COB u t on obtient :

•*« - * -{*/5 g. « •!*>*}-(* S H r - s * )

et en revenant 1 1» représentation de SCHRÔDINGER :

2mc* _« *mc - •

(ni. 54) Les opérateurs de REISS et de HENNEBERGER, comparés dans l e même_domaine, diffèrent par des facteurs d'énergies {translation d'énergie) et par un opérateur ô.A.-E-(-r-t) qui, appliqué à une fonction, correspond * une translation dans l'espace. Cet opérateur nous gênera considérablement dans la résolution de notre problème.

1H-3 - APPLICATION AU CAS D'UN SYSTEME ELECTRON-LENT, ATOME D'HYDROGENE

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