Feuille d'exercices 1. Généralités sur les fonctions

Feuille d'exercices 1. Généralités sur les fonctions

Exercice I.

1. Soit la fonctionf dénie par f(x) = (4 +x)²−3(2x−1). a. Calculer f(0),f(3),f(−2),f √

3 ,f

3 5

. b. Calculer f(1),f(5),f(−6),f 2√

5 ,f

−4 3

. 2. Soit la fonctiong dénie par g(x) = 2x−5

3x+ 1+ 1. a. Calculer g(2),g(−1),g

1 7

,g

−3 2

,g(√

2)etg 1

√3

. b. Calculer g(3),g(−4),g

2 5

,g

−2 5

,g(2√

3)etg 3

√ 2

. 3. Soit la fonctionh dénie par h(x) = (1 +√

x)³−2x. a. Calculer h(2)eth

1 4

. b. Calculer h(3)eth

1 8

. Exercice II.

1. Soit la fonctionf dénie par f(x) = 3x+ 4

−5x+ 2. Donner les antécédents parf de 1, de −3, de 7. 2. Soit la fonctionf dénie par f(x) = 3

√x²−4x. Donner les antécédents parf de 0, de 1, de8. Exercice III.

Déterminer l'ensemble de dénition des fonctionsf dénies par : 1. f(x) = 1

x²−2x+ 1 2. f(x) =e^4x−7ln(3x+ 2) 3. f(x) =

p(x+ 1)(x+ 2) x²−4 4. f(x) = x³−7

x²+ 2x+ 2 5. f(x) = ln

ln ln(x)

6. f(x) =

√

2x²−3x−2

√

x²+ 6x+ 5 7. f(x) = ln(e^x+ 1) 8. f(x) =p

|x| −3 9. f(x) = 1

|x| −2

Exercice IV.

Dans les cas suivants, exprimer g◦f etf◦g, et préciser leur ensemble de dénition : 1. f(x) =−5x+ 2et

g(x) = 2x+ 8. 2. f(x) = 3x−4 et

g(x) =x²+ 1.

3. f(x) = 7x−1etg(x) = 1 x. 4. f(x) = 2

4x+ 3 et g(x) =−2x+ 8.

5. f(x) = ln(x−1)et g(x) =x²+ 1. 6. f(x) = 5x−7 et

g(x) = ln(−3x+ 2).

1

Exercice V.

1. Montrer que pour tous réelsaetb, on a a³−b³= (a−b)(a²+ab+b²). 2. Ecrire a²+ab+b² sous forme canonique.

3. Sans dériver, en déduire que la fonction cube dénie parf(x) =x³ est strictement croissante sur R.

Exercice VI.

1. Démontrer que la somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) l'est aussi.

2. Démontrer que la composée de deux fonctions de même sens de variation (resp. de sens de variation diérents) est croissante (resp. décroissante).

3. En est-il de même pour le produit ? Si non, trouver des contre-exemples.

Exercice VII.

Sans dériver, déterminer les variations des fonctions suivantes, en les écrivant comme sommes, diérences ou composées de fonctions élémentaires, et en utilisant les variations de celles-ci :

1. f(x) = 2e^x+ 3 2. f(x) = ln(−3x+ 4) 3. f(x) =−4 + 5

x

4. f(x) =−4x³+ 17 5. f(x) = ln(x) +e^5x 6. f(x) = 5−6x² 7. f(x) =e^x− 1

x

8. f(x) =− 3 x−2+ 1 9. f(x) = ln(√

x²+ 1) +e^x 10. f(x) =e^2−x1 − 1

x³ Exercice VIII.

1. Montrer que ∀x >0,

r 1 x+ 5 <

r 1

x+ 3. 2. a. Montrer que ∀x∈R, e^2x+1 ≤e^(x+1)2. b. Trouver un cas d'égalité.

Exercice IX.

Dans les cas suivants, dériver la fonction f dénie par : 1. f(x) =−2x³+ 5x²−x+ 1 2. f(x) = 2

5x⁵−4x³+3 4x²− 1

x 3. f(x) = 2

x−3√ x 4. f(x) =x²e^x+1

x 5. f(x) =xln(x)−x 6. f(x) =x²e^2x+1

7. f(x) = 3x−7

x²+ 1 8. f(x) = 3

5x+ 2 9. f(x) = x²e^x+ 2x

e^2x 10. f(x) = xln(x)

x²+ 1 11. f(x) = −3

e^x3+1 12. f(x) =√

3x²+ 4 13. f(x) = 3

x² + 1

√x 14. f(x) = 2x³−3x+ 1

−3x²+x + (2x−1) ln(3x²+ 2) 15. f(x) = ln(xe^x) Exercice X.

Soita etbdeux réels strictement positifs. On pose f(x) = a x +x

b. 1. Déterminer le minimum def sur R^∗₊.

2. En déduire que ∀x >0, a x +x

b ≥2 ra

b.

2

Exercice XI.

1. Montrer que ∀x >0, ln(x)<√ x.

2. Montrer que ∀x >0, ln(x)≤x−1.

3. Montrer que ∀x∈R, e^x≥x+ 1. Exercice XII.

1. On considère la fonction f dénie par f(x) = 2 + 1 1 +x². a. Sur quel ensemble est-elle dénie ?

b. Déterminer les éventuels maximum, minimum, majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure de cette fonction.

2. Reprendre la question précédente en considérant cette fois la fonction f dénie par f(x) =e^2x−3. Exercice XIII.

Etudier la parité des fonctionsf dénies par :

1. f(x) = 3x⁴+x²−5 2. f(x) =−3x⁷+ 5x³−1

x 3. f(x) =−2x+ 1 4. f(x) =

e^−x−1 e^−x+ 1

3

5. f(x) = x³

1 +x² 2

× x⁵

√1 + 4x² 6. f(x) = ln(x²)e^x2(4x+ 1)² 7. f(x) =

e^x+ 1 1−e^x

4

8. f(x) = e^x

e^2x+ 1 9. f(x) = ln

x−1 x+ 1

10. f(x) = ln(x+√

x²+ 1) 11. f(x) = xe^x−x e^x+ 1

Exercice XIV.

Soitf etgdeux fonctions dénies sur R.

1. a. Montrer que si f etg sont paires surR, alors f+gaussi.

b. Montrer que si f etg sont impaires surR, alors f+gaussi.

2. a. Etudier la parité de la fonctionh dénie par h(x) =xⁿf(x) suivant quef soit paire ou impaire, et suivant la parité den∈N.

b. Montrer que si f etg sont de même parité, alorsf g est paire.

c. Montrer que si l'une est paire et l'autre impaire, alorsf g est impaire.

3. a. Montrer que si f est paire, alors g◦f est paire.

b. Montrer que si f est impaire etg est paire, alors g◦f est paire.

c. A quelles conditions sur f etg la fonctiong◦f est-elle impaire ? Exercice XV.

1. Montrer que la dérivée d'une fonction paire (resp. impaire) sur Rest impaire (resp. paire) sur R.

2. Qu'en est-il d'une primitive d'une fonction paire (resp. impaire) ? Exercice XVI.

Après changement de variable, étudier les propriétés de symétrie des courbes représentatives des fonctions suivantes :

f(x) = (x−2)²−3 g(x) =x³+ 3x²+ 3x+ 1 h(x) = 2

x+ 3+ 1 k(x) = ln|x−2|

3

Exercice XVII.

1. Trouver l'expression d'un prolongement de la fonction racine carrée en une fonction paire sur R; en une fonction impaire sur R.

2. Trouver l'expression d'un prolongement de lnen une fonction paire surR; en une fonction impaire surR.

Exercice XVIII.

1. Tracer la courbe représentative d'une fonction f de période3, telle que : f(x) = 2x−1, pourx∈[0; 1].

f(x) =−x+ 2, pour x∈[1; 3].

2. Tracer la courbe représentative d'une fonction gdénie sur R, telle que : g est impaire,

g est4-périodique, g|_[0;1] est ane, g(1) = 1.

Il peut y avoir plusieurs possibilités.

3. Aurait-on pu construire une fonction comme dans la question précédente, en remplaçant4-périodique par 2-périodique ?

Exercice XIX.

Existe-t-il des fonctions qui sont : 1. paires et croissantes ? 2. impaires et croissantes ? 3. paires et périodiques ? 4. impaires et périodiques ? 5. croissantes et périodiques ? Exercice XX.

Soit la fonctionf dénie par f(x) =xp

3−x². On note C_f la courbe représentative def. On donne √

2'1.414 et √

3'1.732

1. a. Montrer que son ensemble de dénition est D_f = [−√ 3;√

3]. b. Calculerf(0).

c. Etudier la parité de f. Graphiquement, que cela signie-t-il ? d. Montrer quef(x) est du signe dex.

2. a. Dériver f, et montrer que f⁰(x) = 2q

3

2 −x q

3 2 +x

√3−x² . b. f⁰ est-elle dénie surDf?

c. En déduire l'étude des variations de f sur D_f. d. Quels sont les extrema def?

3. a. Déterminer l'équation de la tangente à C_f à l'origine.

b. Quels sont les points où la tangente àC_f est horizontale ? 4. Justier l'encadrement 1.2≤q

3

2 ≤1.25 5. On prendra dorénavant q

3

2 '1.225

On admet que les tangentes àC_f aux bornes de son ensemble de dénition sont verticales.

Tracer l'allure deC_f, en s'aidant des tangentes.

4