Variations de fonctions
I Fonctions affines, carrée et inverse
Propriété : Variations de la fonction carrée
Lafonction carréeest définie parf :R−→R x7−→x2.
☞ Elle eststrictement décroissantesur ]− ∞; 0[.
☞ Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[.
☞ Elle admet, surR, un minimum en 0.
x x2
−∞ 0 +∞
0 0
☞ Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
☞ Sa courbe représentative s’appelle uneparabole.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1 1 2 3 4 5 6 7
0
Propriété : Variations de la fonction inverse
Lafonction inverseest définie parf :R∗−→R x7−→ 1 x.
☞ Elle eststrictement décroissantesur ]− ∞; 0[.
☞ Elle eststrictement décroissantesur ]0;+∞[.
x 1 x
−∞ 0 +∞
☞ Elle est symétrique par rapport à l’origine du repère.
☞ Sa courbe représentative s’appelle unehyperbole.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
0
Propriété : Variations des fonctions affines
Unefonction affineest définie parf :R−→R x7−→mx+p.
oùmetpsont des réels.
☞ mest appelécoefficient directeur.
☞ pest appeléordonnée à l’origine.
☞ Sim>0, elle eststrictement croissantesurR.
☞ Sim<0, elle eststrictement décroissantesurR.
☞ Sim=0, elle estconstantesur surR x
mx+p m>0
−∞ +∞ x
mx+p m<0
−∞ +∞
☞ Sa courbe représentative est unedroite.
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1 1 2 3 4 5 6 7
0
y= −2x+2 y=1, 5x+3
1 Variations de fonctions
Exemples 1 : Utilisations en économie
1) Coût total de production :
Une entreprise peut avoir des coûts fixes de fonctionnement (loyer, assurance...)et descoûts variablesqui dépendent du volume de production(main d’oeuvre, matières premières...).
Pour simplifier, prenons une entreprise qui a des coûts fixes de 3500=C par mois et 60=C de coûts variables par article produit.
En posantxle nombre d’articles produits dans le mois, on obtient unefonction affinepour lecoût totalmensuel (Ct) :
Ct(x)=60x+3500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000
Ct
2) Coût unitaire moyen :
Dans l’entreprise précedente, on peut maintenant calculer lecoût unitaire moyen:CM d’un article en fonction du volume de production(ou quantité d’articles produits).
Il suffit de diviser lecoût totalpar le nombre d’articles produits.
On obtient une fonction voisine de lafonction inverse: CM(x)=60x+3500
x =60+3500
x 00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
100 200 300 400 500 600 700 800
CM
Remarques :
1. Le calcul ducoût unitaire moyenoffre une référence pour unprix unitaire.
En fonction de la quantité d’articles demandée par un client, on peut donner unprix unitairepermettant à l’entreprise de rentrer dans ses frais.(L’augmentation de la quantité fait baisser le prix unitaire...) 2. L’exemple précédent est très simpliste. Lescoûts fixespeuvent aussi dépendre du volume de production
(location d’une deuxième machine pour doubler la production...).
Dans l’exemple précédent, que pourrait-on proposer à un client qui demanderait environ 70 articles ?
II Fonctions racine carrée et cube
Définition : Fonction racine carrée
Lafonction racine carréeest la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x)=px.
Propriété : Variations de la fonction racine carrée
Lafonction racine carréeeststrictement croissantesur [0 ;+∞[.
x px
0 +∞
0 0
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1
2 3 4
f
2 Variations de fonctions
Définition : Fonction cube
Lafonction cubeest la fonction définie surRpar f (x)=x3.
Propriété : Variations de la fonction cube
☞ Lafonction cubeeststrictement croissantesurR. x
x3
−∞ +∞
☞ Elle est symétrique par rapport à l’origine du re- père.
−2−1 1 2
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
0
III Coût, coût unitaire et bénéfice
Exemple 2 : Coûts en économie
Voici une entreprise :
Pour certaines raisons(rareté de la matière première, coûts énergétiques...), lecoût totalde production peut être défini par la fonction :
Ct(x)=0.01x3−0.75x2+60x+3500
On observe que l’accroissement des coûts faiblit sur [1; 37]
(environ) devient de plus en plus fort par la suite.(Cela peut traduire la nécessité de trouver d’autres fournisseurs, plus chers, pour les matières premières ou un changement de struc- ture...)
Afin d’optimiser sa production, l’entreprise peut chercher à connaître la quantité à produire pour que le coût de chaque unité soit le plus faible possible.
Pour cela, on regarde lecoût moyen unitaire: CM(x)=Ct(x) x :
3 Variations de fonctions
Aussi, si l’entreprise souhaite vendre toute sa production à un prix unitaire de 150 euros, on peut écrire : une fonctionrecettes: R(x)=150x
et une fonctionbénéfices: B(x)=R(x)−Ct(x)= −0.01x3+0.75x2+90x−3500 :
Dans l’exemple précédent :
☞ Quelle quantité doit être produite et vendue pour obtenir un bénéfice maximal ?
☞ Quelle quantité doit être produite pour obtenir un coût unitaire minimal ?
☞ Vérifier l’expression de la fonctionbénéfices.
IV Racine carrée et distances
La fonctionracine carréeest souvant utilisée pour calculer des distances.
Vous la connaissez déjà avec le théorème de Pythagore.
Exemple 3 : Étude de fonction
On considère la courbeC d’équationy=pxdans un repère orthonormé³
O;→−i ,−→j ´ . On noteM¡
x; px¢
un point deC et on considère le pointA(2 ; 0).
La distanceAMpeut s’écrire :AM=p
x2−3x+4.(À vérifier...) Déterminer la position deM telle queAMsoit minimale...
Quel est le domaine de définition de la fonction : f(x)=p
x2−3x+4 ?
4 Variations de fonctions
