ETUDE LOCALE ET GLOBALE DES FONCTIONS 1
) Nombre dérivé
a) Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I de Rcontenant le réel a ; le nombre dérivé de f en a est , s’il existe , le nombre : f a'( ) limh 0 f a h( ) f a( )
h
.dans ce cas on dit que f est dérivable en a sur l’intervalle I.
Si f admet un nombre dérivé en tout points de l'intervalle I on dit que f est dérivable sur I.
b) interprétation géométrique
soit f une fonction définie sur intervalle I de Ret Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé, alors f a'( ), s’il existe est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point M a f a
; ( )
c) Equation générale d’une tangente : Avec les hypothèses précédentes la tangente au point M a f a
; ( )
de Cf possède pour équation : y f a x a'( )( ) f a( ). 2) Fonctions dérivées
a) Définition : Dire que f est dérivable sur intervalle I c’est dire que f est dérivable en tout réel x de I
Dans ce cas la fonction qui a tout réel x associe le réel f x'( )est appelée fonction dérivée de f , notée f ’ . b)Dérivées des fonctions usuelles
Domaine de définition de f f est définie par Domaine de définition de f ’ f est définie par
R f x( )c, (c est constante ) R f x'( ) 0
R f x( )a x b R f x'( )a
R f x( )xn où n
R f x'( )n xn1 R f x( ) 1
x R*
2
'( ) 1 f x x
R* ( ) 1
f x n
x R*
'( ) nn1
f x x
0 ;
x
0 ;
'( ) 1f x 2
x
R f x( ) cos x R f x'( ) sinx
R f x( ) sin x R f x'( ) cos x
3°) Dérivation et opérations sur les fonctions
On considère deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I de , et pour l’inverse et le quotient , on suppose de plus que pour tout x I v x( ) 0 .On a alors les relations suivantes :
la fonction somme u v est dérivable sur I
u x( )v x( ) '
u x'( )v x'( )la fonction produit u v est dérivable sur I
u x( )v x( ) '
u x'( )v x( )u x( )v x'( )la fonction inverse de v est dérivable sur I '
2
1 '( )
( ) ( )
v x
v x v x
la fonction quotientu
v est dérivable sur I '
2
( ) '( ) ( ) '( ) ( )
( ) ( )
u x u x v x v x u x
v x v x
4
°) Dérivées successives
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si la fonction dérivée f ' est elle aussi dérivable sur I, sa fonction dérivée (f ')' est notée f " et est appelée dérivée seconde de f sur 1.
Lorsque cela est possible on définit les dérivées successives de f f ' , f ", f '" …..., f (n). En physique et en mécanique on utilise la notation différentielle .df
dt = f ' d f2 ''
dt f ………
APPLICATION DE LA DÉRIVATION
1° Application de la dérivation au sens de variation d'une fonction Théorème
Si f est dérivable sur l'intervalle I et si sa dérivée f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Si f est dérivable sur l'intervalle I et si sa dérivée f ' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Si f est dérivable sur l'intervalle I et si f ' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
2° Recherche d'extremum
Pour la recherche d'un extremum local nous disposons du théorème suivant (résultat admis) Théorème Si f est dérivable sur l'intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f '(a) = 0.
Dérivation et fonctions composées : Soient I et J deux intervalles de R
Propriété 1 : Soit une fonction affine qui à x associea x b et f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, tel que si x J , alors
ax b
I. Alors la fonction g définie sur J par g x( ) f ax b( ) est dérivable sur I et pour tout x J on a la relation : g x'( ) a f ax b'
Propriété 2 : g est une fonction dérivable sur un intervalle J .u est une fonction dérivable sur un intervalle I tel que, pour tout x de I, u(x) appartient à J.
Alors la fonction f = g o u est dérivable sur I, et pour tout x de I : f ’(x) = g’(u(x)) u’(x).
II-Dérivation de u avec n entiern Propriété 3 :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier relatif différent de 0 et de –1.
Alors la fonction un est dérivable : en tout point de I, lorsque n 2,
en tout point de I où u ne s’annule pas lorsque n -1.De plus :
u x( )n
' n u x'( )u x( )n1III - Dérivation de
Propriété 3 : u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Alors la fonction f x( ) u x( ) est dérivable sur I, et f x'( )2u x'( )u x( ) II APLICATIONS DE LA DERIVABILITEE.
1° Equation f ( x ) = k
Théorèmes des valeurs intermédiaires : ADMIS
Soit f une fonction continue sur un intervalle I , a et b deux réels de I.
1°- f est une fonction dérivable sur l’intervalle
a b;
.Lorsque la fonction f ’ est strictement positive sur
a b,
ou strictement négative sur
a b,
, et lorsquef (a) et f (b) sont des signes contraires, on peut affirmer que l’équation f (x) = 0 admet une solution et
une seule dans l’intervalle
a b;
.2°- Si f est une fonction dérivable sur l’intervalle
a b;
et si pour tout réel x de
a b,
, '( ) 0f x ,
alors f est strictement croissante sur
a b;
et , pour tout élément k de
f a( ) ; ( )f b
, l’équation f x( )k admet une solution et une seule dans
a b;
.3°- Si f est une fonction dérivable sur l’intervalle
a b;
et si pour tout réel x de
a b,
, '( ) 0f x ,
alors f est strictement décroissante sur
a b;
et , pour tout élément k de
f b( ) ; ( )f a
, l’équation f x( )k admet une solution et une seule dans
a b;
Remarque : ces théorèmes sont notamment utilisés pour justifier l’existence des solutions pour une équation,
en particulier lorsqu’on ne sait pas la résoudre directement, à l’aide du calcul algébrique.
Théorème admis ( dérivées et bijections )
f est une fonction dérivable sur l’intervalle
a b;
. Si pour tout réel x de
a b,
, f x'( ) 0 (resp f x'( ) 0 ) ,c’est-à-dire f est strictement croissante ( resp strictement décroissante) alors f est une bijection de
a b;
sur
