cours sur les fonctions (généralités)

Ch1: Généralités sur les fonctions.

Les bases des fonctions ont été posées en seconde. Durant ce cours, nous allons revoir et approfondir des notions rencontrées en classe de seconde et découvrir de nouvelles notions en lien avec les fonctions.

I- Notions fondamentales:

1) Ensemble de définition:

L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble de toutes les valeurs de x (antécédents) que f peut prendre pour qu'elle soit calculable. Il s'agit souvent d'intervalle.

Exemples:

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes:

fx= 1

x−1 ; gx=





...

2) Maximum, minimum:

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.

➢ f admet un maximum atteint en x = a si f(a) = M et pour tout x de I, fx... .

➢ f admet un minimum atteint en x = b si f(b) = m et pour tout réel x de I, fx... .

➢ Le maximum et le minimum sont appelés les ... de la fonction f.

Remarque:

On peut aussi dire que M majore f en x = a et que m minore f en x = b.

Exercice:

Déterminer le minimum de la fonction f définie par f(x) = x² + 2 sur l'ensemble des réels ainsi que déterminer le maximum de la fonction g telle que g(x) = -2x² + 1.

...

3) Variations d'une fonction:

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.

➢ f est croissante sur I car si a < b, alors f(a) ... f(b).

➢ f est décroissante sur I car sir a < b, alors f(a) ... f(b).

➢ f est strictement croissante sur I si quand a < b, f(a) ... f(b).

➢ f est strictement décroissante sur I si quand a < b, f(a) ... f(b).

➢ f est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I.

➢ f est strictement monotone sur I si elle est strictement croissante ou décroissante sur I.

Remarque:

Ces notions ne sont valables que sur un intervalle.

Exercice: Déterminer le sens de variations des fonctions suivantes:

f(x) = 2x + 3, g(x) = x² et hx=1 x .

...

4) Fonctions paires, fonctions impaires:

Définition:

Soit une fonction f définie sur I.

➢ f est paire si et seulement si f(-x) = ...

La représentation graphique d'une fonction paire est une courbe symétrique par rapport à...

➢ f est impaire si et seulement si f(-x) = ...

La représentation graphique d'une fonction impaire est une courbe symétrique par rapport à ...

Exercice: Étudier la parité de la fonction carré et de la fonction inverse.

...

Propriétés:

P1: Une courbe C, représentant une fonction paire définie sur I admet la droite d'équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si:

➢ I est symétrique par rapport à a

➢ pour tout x de I, f(2a – x) = f(x).

P2: La courbe C' représentant une fonction impaire définie sur J admet le point a ; b pour centre de symétrie si et seulement si:

➢ J est symétrique par rapport à a

➢ pour tout x de J, on a: f(x) + f(2a – x) = 2b.

Démonstration:

On pose M(x;y) et M'(x'; y') son symétrique par rapport à  de coordonnées (a;b).

On sait que  est le milieu de [MM'], on a donc a = ... et b = ...

En déduire x' et y'.

Dire que la courbe C admet  pour centre de symétrie c'est dire que si M∈C alors M '∈C . Autrement dit, C admet  pour centre de symétrie si et seulement si: x∈J et y=fx équivaut à ce que

x '∈J et y '=fx ' . Donc si x∈J alors x '=2a−x∈J et si y = f(x) ; alors y' = f(x').

● La condition ( x∈J alors x '=2a−x∈J ) traduit le fait que J est symétrique par rapport à ...

● La condition (y = f(x) ; alors y' = f(x')) revient à y – f(x) = y' – f(x') donc f(x) + f(2a – x) = 2b. CQDF.

Exercice:

Démontrer que la courbe C représentant la fonction f définie sur ℝ - {2} par fx=x²−3x3

x−2 admet

2;1 pour centre de symétrie.

...

II- Somme, produit et quotient de fonctions:

1) Définition:

Soit deux fonctions u et v définies sur une même partie I de l'ensemble des réels.

➢ Leur somme est la fonction notée u + v qui est définie sur I par (u+v)(x) = u(x) + v(x).

➢ Leur produit est la fonction uv définie sur I par (uv)(x) = u(x)v(x).

➢ Si v ne s'annule pas sur D, le quotient de u par v est la fonction définie sur I par u

vx=ux vx Exemples:

Soit u définie sur ℝ par u(x) = x² + 1 et v définie sur [0; ∞ [ par vx=



2) Cas particuliers: fonctions uetu (  réel donné)

Si  est un réel donné, on note u et u la somme et le produit de la fonction u par la fonction constante v(x) =  .

Par exemple, si u(x) = x², la fonction 2u + 3 est définie par...

Propriété 1:

Dans un repère orthonormé du plan, la courbe représentant la fonction u est la courbe de u par la translation du vecteur ...

Si u est strictement monotone sur un intervalle I, u a même sens de variation que ... sur I.

...

Démonstration:

● la courbe:

Soit M(x;y) et M'(x';y') son image par la translation t de vecteur  j .

Par définition, MM '= j ; ces deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, c'est à dire x' – x =... et y' – y =...

Par conséquent, x = ... et y = y' - ... Alors M appartient à la courbe C représentant u si et seulement si y = u(x), ce qui équivaut à y '−=ux ' , ou encore à y' = ... Finalement, M∈C si et seulement si M'... où C' est la courbe représentant u . Ainsi C' est l'image de la courbe C par la translation t.

● Sens de variation:

Cherchons si u conserve ou non l'ordre entre deux réels de I et leurs images.

a) Premier cas: supposons que u est strictement croissante sur un intervalle I. Pour tous a et b de I, si a < b, alors u(a) ... u(b). Ajouter  à chaque membre, on a bien u(a) +  ... u(b) +  . En déduire le sens de variation de la fonction u .

b) Second cas: raisonnement analogue à mener lorsque u est strictement décroissante sur I:

...

Remarque: On appelle ce type de raisonnement un raisonnement par disjonction de cas.

Schéma de P1:(plus haut)

Indiquer sur le schéma les fonctions :

f1(x) =







Propriété 2:

Dans un repère orthonormé du plan, la courbe représentant la fonction u s'obtient point par point en multipliant par  l'ordonnée de chaque point de la courbe de u.

Si u est strictement monotone sur I, alors:

- si 0 , la fonction u a même sens de variation que u sur I.

- si 0 , la fonction u a le sens de variation contraire à celui de u sur I.

Démonstration: voir TP.

Exercice:

Étudier le sens de variation des fonctions suivantes:

a. f(x) = 2x² – 3 sur ℝ ; b. gx=−3

x 5pour x≠0 . II- Composée de deux fonctions:

1) Définition:

Soit u et v deux fonctions. On appelle composée de u suivie de v la fonction notée v°u définie par:

x^u ux=X^v=vux

On a donc v°u x vux . Exemple:

Déterminons v°u avec u(x) = - x + 3 pour tout réel x, et vx=



2 3 4 5 6 7 8 9

-1 2 3 4 5

-1 -2 -3

0 1

1

x y

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4

0 1

1

x y

Remarque:

Généralement, si u est définie sur un intervalle I de ℝ et v sur un intervalle I' de ℝ , v°u est définie sur I si et seulement si u est à valeurs dans I'. Autrement dit si ux∈I' ,∀x∈I .

2) Interprétation graphique:

Dans un repère du plan, x étant placé sur l'axe des abscisses, on obtient, s'il existe, le point M d'abscisse x sur la courbe de v°u en construisant les points:

● A d'abscisse x sur la courbe de u; son ordonnée est u(x).

● B de même ordonnée que A sur la droite d'équation y = x; son abscisse est donc u(x);

● C de même abscisse que B sur la courbe de v; son ordonnée est donc v(u(x));

● M tel que ABCM soit un parallélogramme. Ses coordonnées sont (x; v°u ).

Légender le graphique selon les données ci-dessus.

3) Sens de variation de v°u : Propriété 3:

Soit u une fonction strictement croissante ou décroissante sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J.

Soit une fonction v strictement croissante ou décroissante sur J.

➢ Si les sens de variation de u sur I et v sur J sont les mêmes, alors v°u est strictement croissante sur I.

➢ Si les sens de variation de u sur I et v sur J sont contraires, alors v°u est strictement décroissante sur I.

Exemple: Soit la fonction définie sur ] −∞;3 ] par fx=



– la fonction affine u est ... sur I.

– Elle est bien à valeurs dans J = [0; ∞ [ car si x3,−x30 .

– La fonction v est la fonction ... , strictement... sur J.

Donc...

4) Courbe d'équation y = f(x – a ) + b:

La fonction f définie par f(x) = f(x – a) est la composée f°u :...

On montre que dans un repère orthonormé du plan, sa courbe représentative est l'image de celle de f par la translation de vecteur ai . De façon plus générale:

Dans un repère du plan O ,i ,j , la courbe C' d'équation y = f(x – a) + b est l'image de la courbe C de f par la translation de vecteur ai bj .

Démonstration:

Soit M(x;y) et M'(x';y') son image par la translation t de vecteur ai bj . Par définition, MM 'a ;b d'où l'on déduit que x' – x = a et y' – y =b. Par conséquent, x = ... et y =...

Alors M∈C si et seulement si y = f(x) ce qui équivaut à ce que y' – b = f(x' – a) ou encore à y' = f(x' – a) + b.

Donc M∈C si et seulement si M '∈C . On en déduit que C' est l'image de C par la translation t.

Exemple:

Soit C' la courbe d'équation y= 1

x−1−2 . Cette équation s'écrit y = f(x – 1) – 2 où f désigne la fonction inverse.

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4

2 3 4 5

-1 -2 -3

0 1

1

x y

C' est donc l'image de l'hyperbole d'équation y=... par la translation de vecteur ... . Il s'agit donc d'une hyperbole; elle admet le point O'(1;-2) pour centre de symétrie.

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y