cours BTS-GO-fonctions révisions-généralités- -fonctions ciculaires

(1)

Fonction d'une variable réelle

Merci à mon collègue Xavier MARAND pour sa collaboration I. Fonctions usuelles

I.1. Fonctions affines

Définition : On appelle fonction affine toute fonction définie sur ℝ et de la forme ft=atb ou a et b sont deux réels. Si b=0 , on dit que f est une fonction linéaire.

Dérivabilité : Une fonction affine est dérivable sur ℝ et, pour tout réel t, on a f 't=a .

Cas a> 0 Cas a< 0

f est strictement croissante sur ℝ f est strictement décroissante sur ℝ

t –∞ +∞

f'(t) +

f(t) –∞

+∞

t –∞ +∞

f'(t) –

f(t) +∞

–∞

I.2. Fonctions puissances d'exposant entier

a) Cas des fonctions d'exposant entier plus grand que 1

Définition : Soit f_n la fonction définie sur ℝ par f_nt=tⁿ où n est un nombre entier strictement supérieur à 1.

Dérivabilité : f_n est dérivable sur ℝ et pour tout t réel, on a f_n't=nt^{n –1}.

Cas n pair Cas n impair

f_n est paire

C_n est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

f_n est impaire

C_n est symétrique par rapport à l'origine

t 0 +∞

f'(t) 0 + f(t)

0

+∞

t 0 +∞

f'(t) +

f(t) 0

+∞

O y

t y=atb

y

y=atb

O t

(2)

b) Cas des fonctions d'exposant entier strictement négatif

Définition : Soient g_n et h_n les fonctions définies respectivement sur ]0 ;∞[ et ]–∞; 0[ par g_nt=tⁿ= 1

t⁻ⁿ et h_nt=tⁿ= 1

t⁻ⁿ où n est un entier strictement négatif N.B. : n0⇔– n0. Dérivabilité : Les fonctions g_n et h_n sont dérivables sur

l'intervalle où elles sont définies.

➢ Pour tout t∈ ]0 ;∞ [, g_n't=nt^{n –1}.

t 0 +∞

g_n't –

g_nt

+∞

0

✔ C_n et C_n', courbes représentatives respectives des fonctions g_n et h_n, sont deux branches d'une hyperbole.

➢ Pour tout t∈ ]–∞; 0[, h_n't=nt^n–1.

Cas n pair Cas n impair

t –∞ 0

h_n't +

h_nt 0

+∞

t –∞ 0

h_n't –

h_nt 0

–∞

0 1

1

t y

0 1

1

t y

0 1

1

t y

C₄

C₂

C₃

C₅

C_–1 C_–₂

(3)

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5

2 3 4 5

0 1

1

t y

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5

0 t 1

y

C_n et C_n' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

C_n et C_n' sont symétriques par rapport à l'origine du repère

I.3. Fonction logarithme népérien

Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de t1

t sur ]0 ;∞[ qui s'annule pour t=1 .

Propriétés : Soient a et b deux réels strictement positifs.

✔ lna b=lnalnb

✔ ln



¹a



^=−ln^a ^✔ ^ln



^ab



^=ln^a−ln^b

✔ lnaⁿ=nlna pour ⁿ^{∈ ℤ}

✔ lna=1 2lna

Dérivabilité : Par définition, la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ;∞[ et lnt'=1 t .

t 0 +∞

lnt'=1

t +

lnt

–∞

+∞

Définition : Le nombre e est l'unique réel solution de l'équation lnt=1 .

I.4. Fonction exponentielle

Définition : La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction qui, à tout nombre réel t, associe l'unique nombre réel strictement positif y tel que t=lny.

exp : ℝ  ]0;∞ [

t  y=expt défini par t=lny

✔ Par extrapolation des propriétés de la fonction logarithme et de la définition du nombre e, on notera, pour tout réel t, expt=e^t.

Propriétés :

✔ y=e^t⇔lny=t

✔ Pour tout réel t, e^t0

✔ Pour tout réel t, ln e^t=t

✔ Pour tout réel strictement positif t, e^lnt=t Propriétés : Pour tous réels a et b et tout entier relatif n, on a :

✔ e^ab=e^a×e^b ^✔ e^−a=1

eâ ^✔ eâ−b=eâ

e^b ^✔ e^aⁿ=e^{a n}

0 1

1

t y

e C_–₁' C_–₂'

y=lnt

(4)

Dérivabilité : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et e^t'=e^t.

t –∞ +∞

e^t +

e^t 0

+∞

✔ Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme se déduisent l'une de l'autre par symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation y=t.

I.5. Fonctions puissances d'exposant réel

Définition : Pour tout a∈]0;∞[ et tout b∈ℝ, a^b=e^b^lna.

Définition : Soit ∈ℝ. La fonction puissance d'exposant , notée f_, est la fonction définie pour t∈]0;∞[ par f_t=t^=e^lnt.

Exemple : Pour =1 2 , f ₁

2

t=t

1 2=e

1 2lnt

=



^t en utilisant les propriétés de la fonction logarithme.

Dérivabilité : Pour tout nombre réel , la fonction f_ est dérivable sur ]0 ;∞[ et f_'t=t^^–1. Dans le cas où =0 , f₀t=t⁰=1 est constante sur ]0 ;∞[.

Cas < 0 Cas > 0

t 0 +∞

f_'t –

f_t

+∞

0

t 0 +∞

f_'t +

f_t

0

+∞

I.6. Fonctions circulaires

0 1

1

t y

e e

y=e^t

y=lnt y=t

0 1

1

t y

0 1

1

t y

1 =1

01

(5)

Définition : Le cercle trigonométrique dans le plan muni du repère orthonormal O;i,j est le cercle de centre O et de rayon 1 pour lequel on choisit pour sens direct le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Définition : A tout nombre réel t, on associe le point M du cercle trigonométrique tel que t soit une mesure en radians de l'angle orienté

i ,OM.

On définit alors les fonctions circulaires : cosinus : ℝ  [–1;1]

t  cost : abscisse de M sinus : ℝ  [–1;1]

t  sint : ordonnée de M Propriétés :

✔ Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2. Pour tout réel t, on a cost2=cost et sint2=sint.

En physique : On utilise des fonctions de la forme f t=cost  ou gt=sint. Ces fonctions sont périodiques de période T=2

 .

✔ Par définition, la fonction cosinus est paire cos– t=cost et la fonction sinus est impaire

sin– t=–sint.

Dérivabilité : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ. On a cost'=–sint et

sint'=cost.

En utilisant les propriétés des fonctions sinus et cosinus (parité et périodicité), on réduit leur étude à l'intervalle [0 ; ].

Fonction sinus Fonction cosinus

t 0 

2 

sint'=cost + 0 –

sint

0

1

0

t 0 

cost'=–sint – cost

1

–1

Résolution de l'équation sin t = a a∈ℝ :

✔ Si a∉[–1 ;1], l'équation sint=a n'admet pas de solution.

✔ Si a∈[–1 ;1], il existe un unique réel ∈

[

^–^² ^;^²

]

tel que sin=a.

L'équation sint=a admet deux ensembles de solutions :

{

^t^t^{= 2}=–2^k^kk∈ℤ. Résolution de l'équation cos t = a a∈ℝ :

✔ Si a∉[–1 ;1], l'équation cost=a n'admet pas de solution.

✔ Si a∈[–1 ;1], il existe un unique réel ∈[0 ;] tel que cos=a.

O

M

A B

cost sint

i

j

0 1

1

 2



 2

−  2

− 0 1

1

− 2 y=sint

y=cost

(6)

L'équation cost=a admet deux ensembles de solutions :

{

^t^t^{= 2}^=–^2^k^k^^^k^{∈ ℤ}^.

I.7. Fonction tangente

Définition : La fonction tangente est définie pour tout réel t tel que t≠

2k k∈ℤ par : tant=sint cost .

Propriétés : La fonction tangente est périodique de période . La fonction tangente est impaire.

Dérivabilité : La fonction tangente est dérivable sur chaque intervalle de la forme

]

^–^²^^k^^;^²^k^

[

^.

Pour tout t≠

2k , tant'= 1

cos²t=1tan²t.

t 0 

2

tant' + tant

0

+∞

Rappel : Tableau des valeurs particulières des fonctions circulaires

t 0 

6

 4

 3

 2

sint 0 1

2



²

2



³

2 1

cost 1



³

2



²

2

1

2 0

tant 0



³

3 1



³ _définie^Non

0 1

1

t y

 2

−

2

y=tant