Cours 02 : Généralités sur les fonctions

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Chapitre 02 – Généralités sur les fonctions

1/4 Seconde – Lycée Desfontaines – Melle

Cours 02 : Généralités sur les fonctions

Le mot "fonction" a des sens divers : il peut désigner un emploi, un ensemble de charges (occuper une fonction) ou un ensemble d’opérations (fonction respiratoire, fonction de nutrition…). Dans le langage courant, il introduit souvent une correspondance entre différents objets.

Par exemple, quand on dit "pour un enfant donné, le poids est fonction de l’âge", l’expression "est fonction de" signifie "dépend de",

"est en relation avec".

Le mot fonction désigne donc un lien entre le poids et l’âge de l’enfant.

On peut ainsi associer à chaque âge un poids et un seul. Par contre, à un poids donné, on peut associer aucun, un ou plusieurs âges différents.

I. Définition

Définitions :

• Une fonction f définie sur un ensemble D (intervalle ou réunion d’intervalle de Ë), est un procédé (un lien) qui, à chaque nombre réel x de D, associe un unique réel noté f(x).

On note f : D_{↔ Ë} x→f(x).

• D est appelé ensemble de définition de la fonction f (ou domaine de définition de f).

• x s’appelle la variable et le réel f(x) s’appelle l’image de x par f.

• Si f(x)=y, on dit que x est un antécédent de y par f.

• L’expression algébrique de f est l’expression donnant f(x) en fonction de x.

Exemple :

Considérons la fonction f définie par le procédé suivant : "Multiplier par 84 puis retrancher 12". On considère la fonction g définie par g(x)= 3x-2 .

1- Déterminons l’expression algébrique de f.

x↔ 84×x ↔ 84x-12 donc l’expression algébrique de f est f(x)=84x-12.

2- Déterminons les ensembles de définition DDDD_f et DDDD_g de f et de g.

• On cherche donc à déterminer l’ensemble des réels x tels que f(x) existe. Or, quel que soit le réel x, on peut calculer f(x) donc D

f=Ë.

• On cherche à déterminer l’ensemble des réels x pour lesquels g(x) existe. Or, une racine carrée n’existe que si l’expression sous le radical est positive, on est donc amené à résoudre l’inéquation 3x−2Ã0

3x−2Ã0ñ3xÃ2ñxÃ3

2 donc D_g=

 

3

2;+õ 3- Déterminons l’image de 2 par la fonction f puis par la fonction g.

1. L’image de 2 par f est f(2)=84×2-12=156 donc l’image de 2 par f est 156.

2. L’image de 2 par g est g(2)= 3×2-2= 4=2 donc l’image de 2 par g est 2.

4- -1 admet-il une image de g ?

-1

∉

D_g donc -1 n’a pas d’image par g.

5- Déterminons les éventuels antécédents de 72 par f.

Pour déterminer les éventuels antécédents de 72 par f, on doit résoudre f(x)=72.

Or f(x)=72ñ84x-12=72ñ84x=84ñx=1 donc l’unique antécédent de 12 par f est 1.

6- Dans cette question, on considère une entreprise qui fabrique et commercialise un produit qu’elle vend 84 euros le kilogramme. Elle doit payer une taxe fixe hebdomadaire de 12 euros pour vendre sa production sur le marché. Chaque semaine, elle limite sa production à 20 kilogrammes. On appelle R la fonction qui, à x kg vendus associe la recette obtenue.

L’expression algébrique de R est R(x)=84x−12. On remarque que les expressions algébriques de f et de R sont égales.

Mais l’énoncé impose une condition supplémentaire, on ne peut pas produire plus de 20 kg par semaine et évidemment, x désignant un nombre de kg, ne peut pas être négatif. Donc l’intervalle des valeurs possibles de x est [0;20]. On déduit donc que D_R=[0;20].

A retenir : Deux fonctions ayant la même expression algébrique n’ont pas forcément le même ensemble de définition. L’ensemble de définition d’une fonction est donc l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe (que ce soit par des contraintes calculatoires, où des contraintes données par l’énoncé).

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II. Représentation graphique d’une fonction

Définitions : Soit f une fonction et soit D

f son ensemble de définition.

Dans un repère donné

(

^O;Åi;Åj

)

, on appelle représentation graphique de f (ou courbe représentative de f), l’ensemble des points M de coordonnées (x;f(x)) avec x☻D_f. Cette courbe est notée C_f.

Ceci signifie qu’un point M

(

^x^M^;^y^M

)

appartient à C_f si et seulement si xM☻D_f et yM=f

( )

^x^M ^.

On dit que la courbe C_f a pour équation y=f(x).

Convention :

• Lorsque C_f est limitée à ses extrémités par deux points d’abscisses a et b alors D_f=[a;b].

• Lorsque C_f n’est pas limitée alors D_f=Ë.

Exemple :

Ci contre est représentée la courbe représentative C_f d’une fonction f.

Avec la précision permise par le graphique :

1- Déterminons l’ensemble de définition de f.

L’ensemble de définition de f est D_f=[-7;7].

2- Déterminons l’image de -2 par f : L’image de -2 par f est l’ordonnée du point de C_f d’abscisse -2 donc l’image de -2 par f est 1.

3- Déterminons f(0) :

f(0) est l’image de 0 par f donc f(0)=-3.

4- Déterminons les éventuels antécédents de -4, -2 et 3 2 par f :

Les éventuels antécédents de -4 par f sont les abscisses des éventuels points de C_f d’ordonnée -4 donc 1

2 est l’unique antécédent de -4 par f.

De même, -0,2 et 2,2 sont les antécédents de -2 par f et 3

2 n’admet pas d’antécédents par f.

5- Résolvons f(x)=-3 :

Résoudre graphiquement f(x)=3 revient à déterminer les éventuels antécédents de -3 par f donc l’ensemble des solutions de f(x)=-3 est S={0;1,3}.

6- Résolvons f(x)=0.

De même, l’ensemble des solutions de f(x)=0 est S={-0,8}.

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III. Exercices

Exercice 1

Les correspondances entre les grandeurs décrites par les phrases suivantes permettent-elles de définir des fonctions ? 1- x est le code postal d’une commune et y le numéro de son département.

2- x est le côté d’un losange et y est son aire.

3- x est le côté d’un losange et y est son périmètre.

4- P est le poids d’une lettre et A est le montant de l’affranchissement.

Exercice 2

1- Considérons la fonction f définie par le procédé suivant "Multiplier par 3, retrancher 3 et élever au carré".

a. Déterminer l’expression algébrique de f.

b. Déterminer l’ensemble de définition de f.

c. Déterminer l’image de 4 par f.

2- Considérons la fonction g définie par la procédé suivant "Prendre l’opposé, ajouter 2, élever au carré, prendre l’inverse, multiplier par 4".

d. Déterminer l’expression algébrique de g.

e. Déterminer l’ensemble de définition de g.

f. Déterminer l’image de 4 par g.

3- Considérons la fonction h définie par le procédé suivant : "Prendre l’opposé, ajouter 3 et prendre la racine carrée".

g. Déterminer l’expression algébrique de h.

h. Déterminer l’ensemble de définition de h.

i. 4 a-t-il une image par h ? Exercice 3

Soit f la fonction définie par f(x)=8x−4x². 1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Calculer les images par f de -2 et 1 2. 3. Calculer f(0) et f

(

³

)

.

4. Déterminer les éventuels antécédents par f de 0 et de 4.

Exercice 4

Soit la fonction g définie par g(x)=3−2x 4x+1. 1. Déterminer l’ensemble de définition de g.

2. Calculer l’image par g de -2.

3. Calculer g(3).

4. Résoudre g(x)=0 et g(x)=4 5.

5. Déterminer les éventuels antécédents par g de -1

2 et de 3.

Exercice 5

Soit h la fonction définie par h(x)= 3−5x. 1. Déterminer l’ensemble de définition de h.

2. Calculer l’image par h de 0.

3. Peut-on calculer l’image de 2 par h ?

Exercice 6

Soit f la fonction définie sur [-2;2] par f(x)=4x²+12x+9.

1. Quel est l’ensemble de définition de f ? 2. Factoriser f(x).

3. Déterminer les éventuels antécédents par f de 0 puis de 4.

4. Résoudre f(x)=-2.

Exercice 7

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=8 et AC=10. Soit M un point quelconque du segment [AB] distinct de A et de B.

La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe (AC) en P. On pose AM=x.

1- Faire une figure.

2- Quel est l’intervalle des valeurs possibles de x ? 3- A. Justifier que BM

BA = MN AC b. En déduire que MN=10−5

4x.

c. En déduire le périmètre p(x) du rectangle AMNP est donné par p(x)=20−1

2x. Déterminer l’ensemble de définition de p.

4- a. Calculer le périmètre de AMNP si M est le milieu de [AB].

b. A quelle distance du point A doit se trouver le point M pour que le périmètre de AMNP soit égal à 17 ? c. Le rectangle AMNP peut-il avoir un périmètre égal à 15 ?

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Exercice 8

Traduire par une égalité les phrases suivantes.

1- -2 est image de 3 par la fonction g.

2- Un antécédent de 5 par h est 0.

3- -2 a pour image -6 par f.

4- La courbe de f passe par A(-3;8)

5- L’ordonnée du point d’abscisse -3 de la courbe de f est égale à -2.

6- La courbe de f coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses -2 et 1.

Exercice 9

On d o n ne ci -co ntre la c o urb e rep résentat ive d’u ne fo nc tio n g. Répondre, avec la précision permise par le graphique, aux questions suivantes :

1- Déterminer l’ensemble de définition de g.

2- Déterminer l’image par g de 0 et de -1.

3- Déterminer g(-4).

4- 5,5 admet-il une image par g ?

5- Déterminer les éventuels antécédents par g de 1 2 et -1.

6- Déterminer le nombre de solutions de l’équation g(x)=4,5.

Exercice 10

On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction h.

Répondre avec la précision permise par le graphique aux questions suivantes :

1- Déterminer l’ensemble de définition de h. (Remarque : lorsque la courbe semble "monter à l’infini" ou

"descendre à l’infini", c’est que la fonction n’est pas définie pour la valeur limite (ici -2)).

2- Déterminer l’image par h de -3 et de 0.

3- Déterminer les éventuels antécédents par h de 2.

4- Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x)=0.