Fonctions affines, cours, classe de 2nde
1 Étude des fonctions affines
Définition :
Soient m et pdeux nombres réels. On appelle fonction affine la fonction f définie sur Rpar :
...
Remarque :
Si..., f est dite linéaire.
Exemple :
Soit f la fonction définie par f(x) = 3x+ 4 pour tout x réel. f est une fonction affine.
On a f(6) =...
... est donc l’image de ... par f.
Pour rechercher les antécédents de 6 par f on ...
c’est à dire ... donc ... donc ... et x=...
6 a donc un unique antécédent par f, il s’agit de ...
Représentation graphique :
La représentation graphique de toute fonction affine est ... . Un point M(x;y) appartient à la droite si et seulement si x et y sont solutions de l’équation ... . Cette équation est appelée...
... représentant f.
Exemple :
Représentation graphique de f :x7→ −2x+ 3.
On obtient les coordonnées de deux points de la droite :
Pour x =..., y =... donc A(...;...) appartient à la représentation graphique de la fonction f.
Pour x=..., y=... donc B(...;...) appartient à la représentation graphique de la fonction f.
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Signe
Propriété :
Si m6= 0, les deux cas possibles que l’on peut résumer dans les tableaux de signe suivants :
si ...: si... :
x −∞ .... +∞
signe
de ... ... ....
mx+p
x −∞ ... +∞
signe
de ... ... ...
mx+p Preuve dans le cas où m >0 :
f(x)>0si et seulement si mx+p >0 Si m >0 cela équivaut à ...
ou, puisque m >0, cela équivaut à ...
Donc, lorsque x >..., on a f(x)>0 et lorsque x <..., on a f(x)<0.
D’où le tableau de signe du cas où m >0.
Exemple [Savoir dresser le tableau de signe d’une fonction affine] : Soit f la fonction définie par f(x) =−2x+ 3.
• On résout l’équationf(x) = 0 pour savoir pour quelle valeur de x,f(x)s’annule : f(x) = 0 équivaut à ...
c’est à dire à ...
donc ...
• Comme m = ..., on a m...0 donc d’après la propriété, les signes se mettent dans l’ordre ...
On dresse le tableau de signes :
x −∞ ... +∞
f(x) .... .... ...
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Variations
Définition et propriété :
• Sim >0alors, lorsque les valeurs dexaugmentent, les valeurs de f(x) ... .
On dit que la fonction f est ... ... sur]− ∞; +∞[;
• sim = 0 alors la fonction f est ... sur ]− ∞; +∞[;
• sim <0alors, lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) ... .
On dit que la fonctionf est ... ... sur ]− ∞; +∞[.
Exemple [Savoir reconnaître les variations d’une fonction affine dont l’écriture al- gébrique est donnée] :
On considère la fonction f définie par f(x) = 3−2x.
f(x) =... doncm =... .
Commem...0, la fonction f est strictement ... sur ]− ∞; +∞[.
2 Proportionnalité des accroissements
Propriété :
Soit une fonction affine f définie par f(x) = mx+p de représentation graphique(d)dans un repère du plan. Alors l’accroissement de la variable x est proportionnel à l’accroissement des imagesf(x) et le coefficient de proportionnalité est le coefficient directeur m de la fonction affine c’est à dire que pour tous les points A et B de la droite (d) de coordonnées (xA;yA) et(xB;yB) avecxA 6=xB on a :
m=...
ou encore
m=...
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Preuve :
On a yB−yA=...
...
...
D’où la proportionnalité entre les accroissements des x et des f(x) et la première formule.
Exemple d’utilisation [Savoir déterminer l’expression algébrique d’une fonction af- fine connaissant deux points de sa représentation graphique] :
Soit f une fonction affine telle que f(1) = 5 et f(3,5) = 15.
f est affine donc de la formef(x) =... pour toutx réel oùaetbsont deux nombres réels à déterminer et A(...;...) etB(...;...) sont deux points de la droite représentant f.
On a=...
Donc f(x) s’écritf(x) =... pour tout réel x.
En outre on sait queA(...;...)appartient à la droite doncp=... (on aurait tout aussi bien pu utiliser le point B).
Finalement, f(x) =... .
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