Cours : Fonctions affines

Seconde

Cours : Fonctions affines

I) Généralités sur les fonctions affines : 1) Définition :

Une fonction f définie sur ℝ est dite affine si il existe deux nombres réels a et b tels que : Pour tout x∈ ℝ, f(x) = mx + p

Exemples :

a) Soit f définie sur ℝ par f(x) = 2x² – 3x + 4 – 2(x² + 7x – 1) f est affine.

En effet, f(x) = 2x² – 3x + 4 -2x² – 14x + 2

= - 17x + 6 (avec m = -17 et p = 6)

b) Soit x > 0. On considère un rectangle de longueur x cm et de largeur 6 cm.

Son périmètre P est donné par P(x) = 2x + 2x6 = 2x + 12. P est une fonction affine de la longueur.

Cas particuliers :

a) Si p = 0, f est dite linéaire

Exemple : Le périmètre d'un carré en fonction de la longueur d'un côté est une fonction linéaire. (si on note x la longueur d'un côté, alors P(x) = 4x)

b) Si m = 0, f est constante.

2) Représentation graphique : Propriété :

Toute fonction affine se représente graphiquement dans un repère par une droite.

Si f est définie par f(x) = mx + p pour tout x ∈ ℝ, alors : - m est le coefficient directeur de la droite représentée - p est l'ordonnée à l'origine

Pratiquement :

Si on souhaite représenter une fonction affine dont on a l'expression en fonction de x, il suffit de calculer les coordonnées de deux de ses points.

Exemple :

Représenter dans un repère orthogonal la fonction f définie par : f(x) = 3x – 1

On calcule les coordonnées de deux points :

On choisit des valeurs de x et on calcule les y à l'aide de la formule de f :

x 0 2

f(x) -1 5

En effet : f(0) = 3x0 – 1 = - 1 et f(2) = 3x2 – 1 = 5

Donc les points A(0;-1) et B(2;5) sont sur la droite à tracer :

Remarque :

On dit que la droite (AB) a pour équation réduite : y = 3x - 1

3) Proportionnalité des accroissements :

Exemple : On considère une fonction affine f définie par : f(x) = 7x – 2 a) Calculons les images de 1 et 2 par f :

f(1) = 7 – 2 = 5 et f(2) = 14 – 2 = 12 Calculons le rapport suivant : ^{𝑓(2)−𝑓(1)}

2−1 = 12 – 5 = 7 b) Calculons les images de 5 et -2 par f :

f(5) = 35-2 = 33 et f(-2) = - 14 – 2 = - 16 Calculons le rapport suivant : ^{𝑓(5)−𝑓(−2)}

5−(−2) = ^33−(−16)

7 = ⁴⁹

7= 7 A chaque fois, on trouve a. (ici 7)

Propriété :

Soit f une fonction affine définie sur ℝ par f(x) = mx + p Soient u et v, deux réels tels que u ≠ v, alors :

^{𝑓(𝑢)−𝑓(𝑣)}

𝑢−𝑣 = m Démonstration :

Soit f une fonction affine définie sur ℝ par f(x) = mx + p Soient u et v, deux réels tels que u ≠ v, alors

f(u) = mu + p et f(v) = mv + p

D'où : f(u) – f(v) = mu + p – mv – p = m (u – v) Donc : ^{𝑓(𝑢)−𝑓(𝑣)}

𝑢−𝑣 = ^{𝑚(𝑢−𝑣)}

𝑢−𝑣 = m

Application : Détermination d'une fonction affine connaissant les images de deux points.

Exemple : On considère une fonction affine f telle que : f(3) = 8 et f(-1) = 5 Déterminer f.

On souhaite avoir l'expression de f en fonction de x

Comme f est affine, f a une expression de la forme f(x) = mx + p Calcul de a :

m = ^{𝑓(3)−𝑓(−1)}

3−(−1) = ⁸⁻⁵

4 =³

4

A ce stade, on sait que f(x) = ³

4x + p Calcul de b :

f(3) = 8 ⇔ ³

4x3 + b = 8 ⇔ b = 8 – ⁹

4= ³²

4- ⁹

4=²³ Par conséquent : 4

f(x) = ³

4x + ²³

4

II) Variations des fonctions affines : Exemple :

Soient f définie par f(x) = 3x – 5 et g définie par g(x) = - 2x + 3 On représente f et g dans un même repère orthogonal (O,I,J) du plan :

Théorème :

Soit f une fonction affine définie par f(x) = mx + p.

- Si m = 0 , alors f est constante et f(x) = p , pour tout x réel - Si m < 0, alors f est décroissante pour tout x réel

- Si m > 0, alors f est croissante pour tout x réel

D'où les tableaux de variations suivants : - Si m > 0 , alors :

x -∞ +∞

Variations de f

- Si m < 0, alors :

x -∞ +∞

Variations de f

Démonstration pour m > 0 :

Soient u et v deux réels tels que u < v f(u) = mu+p et f(v) = mv + p

D'où : f(u) – f(v) = mu + p – mv - p = m(u – v)

Or ,comme u < v alors u-v < 0 et m > 0 D'où : f(u) – f(v) < 0

C'est-à-dire : f(u) < f(v)

Par conséquent : pour m > 0 , f est strictement croissante

III) Étude de signes :

1) Signe d'une expression mx + p C'est une conséquence des variations étudiées dans le II) Si on note f la fonction affine définie par f(x) = mx+ p - Si m < 0, alors f est décroissante :

Si on note x0 l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses alors : - Pour x < x0, alors f(x) > 0

- Pour x > x0, alors f(x) < 0 - Si a > 0 , alors f est croissante :

Si on note x0 l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses alors : - Pour x < x0, alors f(x) < 0

- Pour x > x0, alors f(x) > 0

On peut résumer les deux cas à l'aide des tableaux de signes suivants : – Si m < 0 :

x - ∞ x0 +∞

Signe de mx + p + 0 - - Si m > 0 :

x - ∞ x0 +∞

Signe de mx + p - 0 + 2) Signe d'un produit ( Inéquations-produits) :

On souhaite étudier le signe de produits du type (a x + b)(c x + d) où a,b,c et d sont quatre nombres tels que a et c sont différents de 0.

Exemple :

A) On souhaite étudier le signe de l'expression suivante : (3 x + 2)(5 x – 1) Méthode :

1) On résout les inéquations 3 x + 2 ≥ 0 et 5 x – 1 ≥ 0 (en fait, on pouvait résoudre 3 x + 2 < 0 et 5 x – 1 < 0) On a :

3 x ≥ - 2 5 x ≥ 1 D'où : x ≥ - ²

3 x ≥¹

2) On remplit un tableau de signes en utilisant les résultats trouvés précédemment : 5

x -∞ - ²

3 ¹

5 +∞

Signe de 3 x + 2 - + +

Signe de 5 x – 1 - - +

Signe de (3 x + 2)(5 x – 1) + - +

Pour remplir le tableau :

- On fait figurer dans la première ligne les deux valeurs trouvées lors de la résolution des inéquations en faisant très attention de les placer correctement l'une par rapport à l'autre.

- Ensuite, on place les zéros.

- Chaque expression dans la deuxième et la troisième ligne est celle d'une fonction affine. D'après les études de signes faites précédemment, on peut remplir les signes de chaque ligne :

- Si le coefficient devant x est positif, on met les – jusqu'à atteindre le zéro, puis ensuite on écrit les + - Si le coefficient devant x est négatif, on met les + jusqu'à atteindre le zéro, puis ensuite on écrit les - - Pour les signes de la dernière ligne, on applique la règle des signes de la multiplication.

3) Enfin, on écrit les intervalles ou les réunions d'intervalles correspondants : Ici :

(3 x + 2)(5 x – 1) ≥ 0 pour :

x ∈ ] -∞ ; - ²

3] U [¹

5;+∞[

(3 x + 2)(5 x – 1) ≤ 0 pour :

x ∈ [- ²

3 ;¹

5] B) On souhaite résoudre l'inéquation suivante :

(7x – 8)(-3x + 1) ≥ 0

7x – 8 ≥ 0 ATTENTION à la résolution de l'inéquation : -3x + 1 ≥ 0 7x≥ 8 En effet, le coefficient devant x est négatif :

x ≥ ⁸

7 -3x ≥ -1 x ≤ ⁻¹

−3 (il faut changer le sens de l'inégalité car on la divise à gauche et à droite par un négatif)

D'où : x ≤¹

3

x -∞ ¹

3 ⁸

7 +∞

Signe de 7 x - 8 - - +

Signe de -3 x + 1 + - -

Signe de (7 x - 8)(-3 x + 1) - + -

D'où les solutions de l'inéquation : S = [ ¹

3 ;⁸

7]