Etude de fonctions Seconde

(1)

Etude de fonctions

Seconde

Problème :

Une parcelle rectangulaire a pour longueur 5 m et pour largeur 4 m.

On diminue sa longueur d’une certaine longueur et on augmente sa largeur d’exactement la même longueur.

Etudiez l’aire du nouveau rectangle obtenu.

(2)

Etude de fonctions

Seconde

(3)

Etude de fonctions

Seconde

(4)

Etude de fonctions

Seconde

L’aire peut s’écrire de différentes façons en fonction de la variable : Soit 𝒙 = 𝑴𝑫,

𝒇(𝒙) = (𝟓 − 𝒙)(𝟒 + 𝒙) 𝒇(𝒙) = −𝒙 ^𝟐 + 𝒙 + 𝟐𝟎

𝒇(𝒙) = − (𝒙 − 𝟏 𝟐 )

𝟐 + 𝟐𝟎, 𝟐𝟓

(5)

Etude de fonctions

Seconde

(6)

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Résoudre :

𝒙 ^𝟐 = 𝟒𝟗 𝒙 ^𝟐 = 𝟏𝟎

𝒙 ^𝟐 = 𝟎 𝒙 ^𝟐 = −𝟏 𝒙 ^𝟐 = 𝒂 𝒂 ∈ ℝ

2. Développer et réduire :

(𝟑𝒙 − 𝟓)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟕𝒙 − 𝟖)(𝟓 − 𝟔𝒙)

(7)

Etude de fonctions

Seconde

3. Calculer de plusieurs façons différentes l’aire du

rectangle ABCD ci-dessous :

(8)

Etude de fonctions

Seconde

Problème :

Quelles doivent être les dimensions des trois carrés pour que

la somme de leurs aires soit égale à 152 cm² ?

(9)

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Ecrire sous la forme 𝒂√𝒃 où 𝒃 est le plus petit possible :

√𝟓𝟎𝟎 √𝟐𝟓𝟐 √𝟐𝟒𝟓 √𝟏𝟗𝟐 √𝟒𝟗𝒙 √𝒂 ^𝟐 𝒂 ∈ ℝ

2. Développer et réduire :

(𝟕𝒙 + 𝟒) ^𝟐 (𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟖) ^𝟐

3. Développer et réduire :

(𝒂 + 𝒃) ^𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) (𝒂 − 𝒃) ^𝟐

(10)

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Ecrire sous la forme 𝒂√𝒃 où 𝒃 est le plus petit possible :

√𝟓𝟎𝟎 = √𝟏𝟎𝟎 × 𝟓 = √𝟏𝟎𝟎 × √𝟓 = 𝟏𝟎√𝟓

√𝟐𝟓𝟐 = √𝟑𝟔 × 𝟕 = √𝟑𝟔 × √𝟕 = 𝟔√𝟕

√𝟐𝟒𝟓 = √𝟒𝟗 × 𝟓 = √𝟒𝟗 × √𝟓 = 𝟕√𝟓

√𝟏𝟗𝟐 = √𝟔𝟒 × 𝟑 = √𝟔𝟒 × √𝟑 = 𝟖√𝟑

√𝟒𝟗𝒙 = √𝟒𝟗 × √𝒙 = 𝟕√𝒙 𝒂 ∈ ℝ, √𝒂 ^𝟐 = {

𝒂 si 𝒂 est positif

−𝒂 ⏟

opposé de 𝒂

si 𝒂 est négatif

(11)

Etude de fonctions

Seconde

2. Développer et réduire :

(𝟕𝒙 + 𝟒) ^𝟐 = (𝟕𝒙 + 𝟒)(𝟕𝒙 + 𝟒) = 𝟒𝟗𝒙 ^𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 + 𝟐𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 (𝟕𝒙 + 𝟒) ^𝟐 = 𝟒𝟗𝒙 ^𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 + 𝟏𝟔

(𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝟓𝒙 ^𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟏 (𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝟓𝒙 ^𝟐 − 𝟏

(𝟑𝒙 − 𝟖) ^𝟐 = (𝟑𝒙 − 𝟖)(𝟑𝒙 − 𝟖) = 𝟗𝒙 ^𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟔𝟒

(𝟑𝒙 − 𝟖) ^𝟐 = 𝟗𝒙 ^𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟔𝟒

(12)

Etude de fonctions

Seconde

3. Développer et réduire :

(𝒂 + 𝒃) ^𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃)

(𝒂 + 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 + 𝒃 ^𝟐 (𝒂 + 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 ^𝟐

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 ^𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 − 𝒃 ^𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 ^𝟐 − 𝒃 ^𝟐

(𝒂 − 𝒃) ^𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

(𝒂 − 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 − 𝒂𝒃 − 𝒃𝒂 + 𝒃 ^𝟐

(𝒂 − 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 ^𝟐

(13)

Etude de fonctions

Seconde

Problème :

𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴 telle que 𝐴𝐵 = 5 cm. La longueur 𝐴𝐶 est va- riable.

A l’aide de l’hypoténuse, on construit le carré 𝐵𝐶𝐸𝐷.

On étudie le périmètre du carré 𝑩𝑪𝑬𝑫.

(14)

Etude de fonctions

Seconde

On définit, pour 𝐴𝐶 = 𝑥, la fonction 𝑓(𝑥) égale au périmètre du carré 𝐵𝐶𝐸𝐷.

1. Pour quelles valeurs de 𝑥 , la fonction 𝑓 est-elle définie ? 2. Etablir le tableau de variation de la fonction 𝑓.

3. La fonction 𝑓 admet-elle un maximum ? 4. La fonction 𝑓 admet-elle un minimum ?

5. Ecrire l’expression algébrique de la fonction.

6. Le périmètre peut-il valoir 52 cm ?

7. Le périmètre peut-il valoir 10√5 cm ?

(15)

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 + 𝑐 où 𝑏 est le plus petit possible :

(√𝟕 − 𝟔) ^𝟐 (𝟑√𝟐 − 𝟐)(𝟑√𝟐 + 𝟐) (𝟓√𝟑 + 𝟒) ^𝟐

2. Ecrire sous la forme ^𝑎√𝑏

𝑐 où 𝑏 est le plus petit possible et 𝑐 ≠ 0 :

√ 𝟒

𝟗 √ 𝟑

𝟒 √ 𝟏

𝟐 √ 𝟐𝟓𝟐

𝟒 √ 𝟏

𝟑 √ 𝟏

𝒂 𝒂 ∈ ℝ ^+∗

(16)

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 + 𝑐 où 𝑏 est le plus petit possible :

(√𝟕 − 𝟔) ^𝟐 = 𝟕 − 𝟏𝟐√𝟕 + 𝟑𝟔 = 𝟒𝟑 − 𝟏𝟐√𝟕

(𝟑√𝟐 − 𝟐)(𝟑√𝟐 + 𝟐) = 𝟗 × 𝟐 − 𝟐 ^𝟐 = 𝟏𝟖 − 𝟒 = 𝟏𝟒

(𝟓√𝟑 + 𝟒) ^𝟐 = 𝟐𝟓 × 𝟑 + 𝟒𝟎√𝟑 + 𝟏𝟔 = 𝟗𝟏 + 𝟒𝟎√𝟑

Etude de fonctions Seconde

Etude de fonctions

Seconde

Problème :

Une parcelle rectangulaire a pour longueur 5 m et pour largeur 4 m.

On diminue sa longueur d’une certaine longueur et on augmente sa largeur d’exactement la même longueur.

Etudiez l’aire du nouveau rectangle obtenu.

Etude de fonctions

Seconde

Etude de fonctions

Seconde

Etude de fonctions

Seconde

L’aire peut s’écrire de différentes façons en fonction de la variable : Soit 𝒙 = 𝑴𝑫,

𝒇(𝒙) = (𝟓 − 𝒙)(𝟒 + 𝒙) 𝒇(𝒙) = −𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟐𝟎

𝒇(𝒙) = − (𝒙 − 𝟏 𝟐 )

𝟐

+ 𝟐𝟎, 𝟐𝟓

Etude de fonctions

Seconde

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Résoudre :

𝒙 𝟐 = 𝟒𝟗 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎

𝒙 𝟐 = 𝟎 𝒙 𝟐 = −𝟏 𝒙 𝟐 = 𝒂 𝒂 ∈ ℝ

2. Développer et réduire :

(𝟑𝒙 − 𝟓)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟕𝒙 − 𝟖)(𝟓 − 𝟔𝒙)

Etude de fonctions

Seconde

3. Calculer de plusieurs façons différentes l’aire du

rectangle ABCD ci-dessous :

Etude de fonctions

Seconde

Problème :

Quelles doivent être les dimensions des trois carrés pour que

la somme de leurs aires soit égale à 152 cm² ?

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Ecrire sous la forme 𝒂√𝒃 où 𝒃 est le plus petit possible :

√𝟓𝟎𝟎 √𝟐𝟓𝟐 √𝟐𝟒𝟓 √𝟏𝟗𝟐 √𝟒𝟗𝒙 √𝒂 𝟐 𝒂 ∈ ℝ

2. Développer et réduire :

(𝟕𝒙 + 𝟒) 𝟐 (𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟖) 𝟐

3. Développer et réduire :

(𝒂 + 𝒃) 𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) (𝒂 − 𝒃) 𝟐

Etude de fonctions

Seconde

Exercices

1. Ecrire sous la forme 𝒂√𝒃 où 𝒃 est le plus petit possible :

√𝟓𝟎𝟎 = √𝟏𝟎𝟎 × 𝟓 = √𝟏𝟎𝟎 × √𝟓 = 𝟏𝟎√𝟓

√𝟐𝟓𝟐 = √𝟑𝟔 × 𝟕 = √𝟑𝟔 × √𝟕 = 𝟔√𝟕

√𝟐𝟒𝟓 = √𝟒𝟗 × 𝟓 = √𝟒𝟗 × √𝟓 = 𝟕√𝟓

√𝟏𝟗𝟐 = √𝟔𝟒 × 𝟑 = √𝟔𝟒 × √𝟑 = 𝟖√𝟑

√𝟒𝟗𝒙 = √𝟒𝟗 × √𝒙 = 𝟕√𝒙 𝒂 ∈ ℝ, √𝒂 𝟐 = {

𝒂 si 𝒂 est positif

−𝒂 ⏟

opposé de 𝒂

si 𝒂 est négatif

Etude de fonctions

Seconde

2. Développer et réduire :

(𝟕𝒙 + 𝟒) 𝟐 = (𝟕𝒙 + 𝟒)(𝟕𝒙 + 𝟒) = 𝟒𝟗𝒙 𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 + 𝟐𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 (𝟕𝒙 + 𝟒) 𝟐 = 𝟒𝟗𝒙 𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 + 𝟏𝟔

(𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝟓𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟏 (𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝟓𝒙 𝟐 − 𝟏

(𝟑𝒙 − 𝟖) 𝟐 = (𝟑𝒙 − 𝟖)(𝟑𝒙 − 𝟖) = 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟔𝟒

(𝟑𝒙 − 𝟖) 𝟐 = 𝟗𝒙 𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟔𝟒

Etude de fonctions

Seconde

3. Développer et réduire :

(𝒂 + 𝒃) 𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃)

(𝒂 + 𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 + 𝒃 𝟐 (𝒂 + 𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 − 𝒃 𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐

(𝒂 − 𝒃) 𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

(𝒂 − 𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 − 𝒂𝒃 − 𝒃𝒂 + 𝒃 𝟐

(𝒂 − 𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐

Etude de fonctions

Seconde

Problème :

𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴 telle que 𝐴𝐵 = 5 cm. La longueur 𝐴𝐶 est va- riable.

A l’aide de l’hypoténuse, on construit le carré 𝐵𝐶𝐸𝐷.

𝒇(𝒙) = (𝟓 − 𝒙)(𝟒 + 𝒙) 𝒇(𝒙) = −𝒙 ^𝟐 + 𝒙 + 𝟐𝟎

𝒙 ^𝟐 = 𝟒𝟗 𝒙 ^𝟐 = 𝟏𝟎

𝒙 ^𝟐 = 𝟎 𝒙 ^𝟐 = −𝟏 𝒙 ^𝟐 = 𝒂 𝒂 ∈ ℝ

√𝟓𝟎𝟎 √𝟐𝟓𝟐 √𝟐𝟒𝟓 √𝟏𝟗𝟐 √𝟒𝟗𝒙 √𝒂 ^𝟐 𝒂 ∈ ℝ

(𝟕𝒙 + 𝟒) ^𝟐 (𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟖) ^𝟐

(𝒂 + 𝒃) ^𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) (𝒂 − 𝒃) ^𝟐

√𝟒𝟗𝒙 = √𝟒𝟗 × √𝒙 = 𝟕√𝒙 𝒂 ∈ ℝ, √𝒂 ^𝟐 = {

(𝟕𝒙 + 𝟒) ^𝟐 = (𝟕𝒙 + 𝟒)(𝟕𝒙 + 𝟒) = 𝟒𝟗𝒙 ^𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 + 𝟐𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 (𝟕𝒙 + 𝟒) ^𝟐 = 𝟒𝟗𝒙 ^𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 + 𝟏𝟔

(𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝟓𝒙 ^𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟏 (𝟓𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝟓𝒙 ^𝟐 − 𝟏

(𝟑𝒙 − 𝟖) ^𝟐 = (𝟑𝒙 − 𝟖)(𝟑𝒙 − 𝟖) = 𝟗𝒙 ^𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟔𝟒

(𝟑𝒙 − 𝟖) ^𝟐 = 𝟗𝒙 ^𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟔𝟒

(𝒂 + 𝒃) ^𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃)

(𝒂 + 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 + 𝒃 ^𝟐 (𝒂 + 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 ^𝟐

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 ^𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 − 𝒃 ^𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 ^𝟐 − 𝒃 ^𝟐

(𝒂 − 𝒃) ^𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒃)

(𝒂 − 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 − 𝒂𝒃 − 𝒃𝒂 + 𝒃 ^𝟐

(𝒂 − 𝒃) ^𝟐 = 𝒂 ^𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 ^𝟐

(√𝟕 − 𝟔) ^𝟐 (𝟑√𝟐 − 𝟐)(𝟑√𝟐 + 𝟐) (𝟓√𝟑 + 𝟒) ^𝟐

2. Ecrire sous la forme ^𝑎√𝑏

𝒂 𝒂 ∈ ℝ ^+∗

(√𝟕 − 𝟔) ^𝟐 = 𝟕 − 𝟏𝟐√𝟕 + 𝟑𝟔 = 𝟒𝟑 − 𝟏𝟐√𝟕

(𝟑√𝟐 − 𝟐)(𝟑√𝟐 + 𝟐) = 𝟗 × 𝟐 − 𝟐 ^𝟐 = 𝟏𝟖 − 𝟒 = 𝟏𝟒

(𝟓√𝟑 + 𝟒) ^𝟐 = 𝟐𝟓 × 𝟑 + 𝟒𝟎√𝟑 + 𝟏𝟔 = 𝟗𝟏 + 𝟒𝟎√𝟑

2. Ecrire sous la forme ^𝑎√𝑏

𝒂 ∈ ℝ ^+∗ , √ 𝟏