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www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:
Soit f la fonction définie sur IR - {-2 ; 0 } par f(x) = (x + 1)2 x2 + 2x . 1°) Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2°) Justifier que f est dérivable et calculer f'(x) . 3°) Donner le tableau des variations de f.
4°) Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormal d'unité 1cm.
On indiquera et on tracera les asymptotes éventuelles à la courbe.
5°) Démontrer que la courbe (C) a un axe de symétrie.
6°) Déterminer l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 1.
Tracer T . Exercice 2:
1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout x réel par Pxxx
a. Etudier les variations complètes de P.
b. Montrer que l’équation Px admet une solution réelle unique appartenant à ] 1,6 ; 1,7 [ et en déduire le signe de Px.
2. Soit I = ] –1 ; [. On considère la fonction f définie sur D par fx x
x
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,
i, j)
(on prendra comme unité 4 cm).
a. Etudier les limites aux bornes de I et en déduire l’existence d’asymptotes éventuelles.
b. Etudier les variations de f en utilisant les résultats du 1.
c. Ecrire une équation de la droite D tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 2 Tracer la courbe C, la droite D et les asymptotes éventuelles.
Exercice 3:
Pour x réel, on pose ( ) ² 4 3 1
x x
f x x
f(. On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé.
1) Quel est l'ensemble de défintion Df de f ? Etudiez alors les variations de f .
2) Déterminez trois réels a, b et c tels que pour tout réel x dans Df, ( )
1 f x ax b c
x
Montez alors que la droite (D) d'équation "y = x -5 " est asymptote à (C).
Etudiez la position de (D) par rapport à (C).
3) Etudiez la limite de f en -1. Que peut-on en déduire?
4) Déterminez les points d'intersection entre (C) et l'axe des abscisses.
5) En prenant 1 2 2= 1,828 à 0,001 près et 1 2 2= -3.828 à 0,001 près, tracez la courbe (C), les asymptotes de (C), ainsi que les tangentes horizontales de (C).
Exercice 4:
Soit f une fonction définie sur l'intervalle ]0;+oo[ par : ( ) c
f x ax b
x
où a, b et c sont des nombres réels.
On sait que f est strictement croissante sur ]0;2] , strictement décroissante sur [2;+oo[, f(2)=-3 et f(1) = -4.
1) Formez le tableau de signes de f '(x) sur ]0;+oo[.
Quel est le signe de f(x) pour x > 0?
2) Exprimez f '(x) en fonction de a , b , c et x .
Montrez alors que les réels a , b et c sont solutions du système:
4 2 0
4 0
4
a b c
a c
a b c
Déterminez alors les réels a , b et c . Donnez l'expression de f(x).
3) Montrer que la courbe de f admet deux asymptotes à préciser.
Tracez l'allure de la courbe de f ainsi que ses asymptotes.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 3 Exercice 5:
Soit la fonction définie par f(x)=2x+5- x ² 2 x . On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé( O , i , j ) .
1/ a) déterminer le domaine de définition de f.
b) calculer
x x
lim f ( x ) et lim f ( x )
.
c) montrer que la droite :y=x+4 est asymptote oblique de au voisinage
de +∞.
d) Montrer que possède une asymptote oblique que l'on précisera au voisinage de -∞ .
2/ étudier la dérivabilité de f à gauche en -2 et à droite en0 et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3/ on désigne par g la restriction de f à l'intervalle]-∞,-2].
a) Dresser le tableau de variations de g.
b) montrer que g réalise une bijection de]-∞,-2] sur un intervalle J que l'on précisera.
c) Montrer que g(x)=0 admet dans]-∞,-2] une solution unique et que ]-3,-2[.
d) Calculer g(-3) et (g-1)'(-1-3).
4/ Construire dans le même repère les courbes représentatives de g et g-1. 5/ soit la fonction h définie sur]-,-
2
[ par h(x)=g( 2
sin x ).
a) montrer que h est dérivable sur]-,-
2
[ et déterminer h'(x).
b) en déduire les variations de h.
Exercice 6:
On considère la fonction f définie sur [1,+∞[ par f(x)=x-1+ x ² 1 et on désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé
( O , i , j ). 1/ déterminer
x
lim f ( x )
.
2/ a) étudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
b) montrer que f est dérivable sur ]1,+∞[ et calculer f '(x).
a) dresser le tableau de variations de f.
3/ a) montrer que la courbe admet une asymptote oblique D que l'on déterminera.
b) préciser la position de par rapport à D.
4/ déterminer les coordonnées su point d'intersection de et :y=x.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 4 b) déterminer f -1(x) pou xJ.
6/ tracer la droite D, les courbe et ' de f -1. 7/ soit la fonction définie sur ]0,1[ par (x)=f(1
x ).
a) montrer que est dérivable sur ]0,1[ et calculer '(x).
b) en déduire les variations de . Exercice 7:
On considère la fonction f définie sur IR par :
f ( x ) 1 si x 1 x
f ( x ) sin( x ) si 1 x 1 2
f ( x ) x x ² 1 si x 1
I/
1/ a) étudier la continuité de f en 1 et en -1.
b) en déduire le domaine de continuité de f.
2/ soit g la restriction de f à ]-1,1[.
a) montrer que g réalise une bijection de ]-1,1[ sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Montrer que g-1 est dérivable ]-1,1[.
c) Calculer (g-1)'(x) pour tout x]-1,1[.
II/
Soit h la restriction de f à [1,+∞[.
1/ a) montrer que h est dérivable sur ]1,+∞[.
b) étudier la dérivabilité de h à droite en 1.
2/ a) étudier les variations de h.
b) montrer que h la courbe représentative de h admet en +∞ une asymptote oblique.
a) Etudier la position de h par rapport à cette asymptote.
3/ tracer h dans un repère orthonormé direct ( O , i , j ) . 4/ a) montrer que h admet une fonction réciproque h -1 .
b) tracer dans le même repère h-1 courbe représentatif de h- 1.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 5 Exercice 8 :
Soit f la fonction définie par: f ( x ) 1 x 1 x ²
; on note la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé
( O , i , j ).
1/ a) montrer que f est dérivable sur IR.
b) montrer que pour tout xIR, f '( x ) 1 3
1 x ²
. a) Dresser le tableau de variations de f.
b) En déduire le signe de f(x) pour tout xIR.
2/ a) vérifier que la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation y=x+1.
b) étudier la position relative de par rapport à T.
c) démontrer que le point W(0,1) est un point d'inflexion de . 3/ montrer que le point W est un centre de symétrie de .
4/ a) montrer que admet au voisinage de +∞ une asymptote horizontale D dont on donnera une équation et au voisinage de -∞ une asymptote horizontale qui est l'axe des abscisses.
b) étudier la position de par rapport à la droite D et à (O,i ).
5/ tracer , T et D dans le repère ( O , i , j ) .
6/ a) montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l'on précisera.
b) tracer dans le repère ( O , i , j ) la courbe ' représentative de la fonction f -1.
7/ a) étudier la dérivabilité de f -1sur J.
b) montrer que pour tout ]0,2[, f( x 1
2 x x ²
)=x.
c) donner l'expression de f -1(x) pour x]0,2[.
d) calculer (f -1)'(x).
8/ soit g la fonction définie sur IR par g(x)=f(x)-x.
a) montrer que g est strictement décroissante sur [0,+∞[.
b) En déduire que l'équation f(x)=x admet une solution unique dans ]1,2[.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 6 Exercice 9 :
Soit f la fonction définie par f(x)= 4 x
1 x
, sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1/ a) déterminer Df. b) déterminer
x 1
lim f ( x )
.
2/ étudier la dérivabilité de f à gauche en 4.
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3/ a) montrer que f est dérivable sur ]-1,4[ et que pour tout x]-1,4[;
f'(x)= 5
4 x
2 ( 1 x )²
1 x
.
b) dresser le tableau de variations de f.
4/ a) montrer que f est une bijection de ]-1,-4[ sur un intervalle J que l'on précisera.
b) étudier la continuité de f -1 sur J.
5/ a) montrer que f -1 est dérivable en 2 et calculer (f -1)'(2).
b) donner une équation de la tangente à la courbe de f -1 au point d'abscisse 2.
6/ montrer que f -1 est dérivable sur J.
7/ explicité f -1(x) pour tout xJ.
8/ représenter dans le même repère et ' courbe représentative de f -1 . 9/ a) montrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution ]1,[.
b) déterminer (f -1)'().
Exercice 10 :
I/ on considère la fonction h définie par h(x)=1 4 x 4 x ² 1
. 1/ déterminer le domaine de définition et de dérivabilité de h.
2/ dresser le tableau de variations de h.
3/ déterminer le signe de h.
II/ soit f la fonction définie par f(x)=x 4 x ² 1 . 1/ a) déterminer le domaine de définition de f.
b) calculer
x x
lim f ( x ) et lim f ( x )
.
2/ étudier la continuité de f sur son domaine de définition.
3/ a) étudier la dérivabilité de f en 1 et en 1
2 2
.
b) interpréter géométriquement les résultats obtenus.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 7 4/ a) déterminer le domaine de dérivabilité de f.
b) dresser le tableau de variations de f.
5/ soit g la restriction de f à l'intervalle I= ]-∞,-1
2 ].
a) montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Explicité g-1(x) pour tout xJ.
Exercice 11 :
I/ on considère la fonction g définie sur IR par g(x)=2 4 x 4 x ² 1
. 1/ déterminer
x x
lim g ( x ) et lim g ( x )
.
2/ a) montrer que g est dérivable sur IR et calculer g'(x).
b) dresser le tableau de variations de g, en déduire que g(x)>0, pour tout xIR.
II/ soit la fonction f définie sur IR par f(x)= 4 x ² 1 2 x et sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i , j ).
1/Calculer
xlim f ( x ) et xlim f ( x )
.
2/a) montrer que la courbe admet deux asymptotes.
b) étudier la position de par rapport à l'asymptote oblique.
3/ dresser le tableau de variations de f.
4/a) montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l'on précisera.
a) montrer que f -1 est dérivable sur J.
5/ calculer f -1(1) et (f -1)'(1).
6/ a) montrer que l'équation f(x)= -x admet une solution unique dans ]-
2,0[.
b) calculer f '() et (f -1)'().
7/ tracer et ' courbe représentative de f-1 dans le même repère.
Problème 12:
A/ soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=1+
1
² x
x
1/ étudier les variations de f sur IR.
2/ soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i , j) ; préciser les asymptotes de .
3/a) montrer que admet un point d’inflexion I que l’on précisera.
b) écrire un équation de la tangente T à en I.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 8 b) que représente I pour ? justifier.
5/ a/ montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.
b) calculer l’expression de f -1(x) pour xJ.
c) tracer la courbe ’ de f –1 dans (O, i,j).
6/ a) montrer que l’équation f(x)=x admet une solution réelle unique. b) vérifier que ]1,2[.
B/ soit la suite U définie sur IN par : U0 réel donné 1 ; et Un+1=f(Un) 1/ montrer que pour tout nIN ; 1 Un.
2/ montrer que pour tout x [1,+[ ; on a 0 f’(x)
2 2
1
3/ en déduire que pour tout n IN ; |Un+1-|
2 2
1 |Un-|.
4/ montrer que pour nIN ; |Un+1-| ( 2 2
1 )n|U0-|.
5/ en déduire que U converge et déterminer sa limite.
6/ on suppose que U0.
a) montrer que pour tout n IN ; on a Un.
b) étudier le signe de f(x)-x , en déduire que U est monotone.
c) conclure.
