UGA DM, `a rendre avant le 3 octobre mat307
Exercice 1 Etude de la courbe param´´ etr´ee donn´ee par (x(t), y(t)) = ( t2
t−2, t2 t+ 2) 1. D´eterminer le domaine de d´efinition conjoint de x(t) et y(t) 2. D´eterminer les asymptotes ´eventuelles `a la courbe
3. Calculer x0, y0, dresser le double tableau de variations et indiquer les ´eventuelles tangentes horizontales et verticales.
4. D´eterminer les points singuliers ´eventuels, et la tangente `a la courbe en ce(s) point(s).
5. Discuter la convexit´e de la courbe et d´eterminer les points d’inflexion ´eventuels 6. Tracer la courbe en indiquant le sens de parcours lorsquet augmente.
Exercice 2 Etude de la courbe d’´´ equation polaire
r(θ) =−cos(2θ) cos(θ) 1. Comparer la position du point de param`etre θ etθ+π
2. ´Etudier la parit´e der, montrer qu’on peut restreindre l’´etude `a l’intervalle [0, π/2[
3. Calculerr0, d´eterminer son signe (indication : on pourra d´evelopper cos(2θ) et sin(2θ)). Former le tableau de variations der.
4. Donner la tangente `a la courbe au point de param`etre θ= 0
5. Mˆeme question au point origine (on commencera par r´esoudrer(θ) = 0).
6. D´eterminer les asymptotes ´eventuelles
7. Tracer l’arc de courbe en indiquant le sens de parcours lorsque θ augmente, tracer le reste de la courbe en tenant compte des sym´etries avec une autre couleur.
