Chap 5. Etude des fonctions carrée et racine
Seconde
I. Développements :
(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑐𝑥 2 + 𝑎𝑑𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑
(𝟑𝒙 + 𝟐) × (𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝟑𝒙 × 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 × 𝟏 + 𝟐 × 𝟐𝒙 + 𝟐 × 𝟏
(3𝑥 + 2)(2𝑥 + 1) = 3 × 𝑥 × 2 × 𝑥 ⏟
6𝑥
2+ 3 × 𝑥 × 1 ⏟
3𝑥
+ 2 × 2 × 𝑥 ⏟
4𝑥
+ 2 × 1 ⏟
21
(3𝑥 + 2)(2𝑥 + 1) = 6𝑥 2 +3𝑥 + 4𝑥 ⏟
26𝑥
+ 2
(𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟐
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Seconde
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Exemples :
Développer et réduire (𝟑𝒙 + 𝟕)(𝟓𝒙 + 𝟏) =
(𝟔 − 𝟐𝒙)(𝟒𝒙 − 𝟖) − 𝟓(𝟔 − 𝟐𝒙) =
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Exemples :
Développer et réduire
(𝟑𝒙 + 𝟕)(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟏𝟓𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟑𝟓𝒙 + 𝟕 = 𝟏𝟓𝒙 𝟐 + 𝟑𝟖𝒙 + 𝟕
(𝟔 − 𝟐𝒙)(𝟒𝒙 − 𝟖) − 𝟓(𝟔 − 𝟐𝒙)
= 𝟐𝟒𝒙 − 𝟒𝟖 − 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 − 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎𝒙
= −𝟖𝒙 𝟐 + 𝟓𝟎𝒙 − 𝟕𝟖
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II. La fonction carrée
Soit la fonction définie par, pour tout réel 𝑥 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 .
1. Compléter le tableau ci-dessous :
2. Etudier le signe de la fonction 𝑓. Dresser son tableau de
signe.
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3. Construire le tableau de valeurs de la fonction 𝑓 sur l’in-
tervalle [0; 4] avec un pas de 0,5.
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Seconde
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Tracer la représentation graphique de la fonction 𝑓 dans le re- père ci-dessous :
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 -0,5
-1 -1,5 -2
-2,5 -3
-3,5 -4
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
-2 -4 -6
0 0,5 2
x y
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Seconde
4. Pour tout réel 𝑥, calculer 𝑓(−𝑥). Que peut-on en déduire ?
5. Pour tous réels 𝑎 et 𝑏 tels que 0 ≤ 𝑎 < 𝑏, étudier le signe de
𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏). Que peut-on en déduire ?
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La fonction carrée 𝒇: ℝ ⟶ ℝ 𝒙 ⟼ 𝒙 𝟐 I DENTITES REMARQUABLES :
(𝒂 + 𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 (𝒂 − 𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐
T ABLEAU DE SIGNE :
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5 6 7 8 9
-1 -2
0 1
1
x y
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T ABLEAU DE VARIATIONS :
T ABLEAU DE VALEURS ET COURBE REPRESENTATIVE :
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Seconde
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La fonction carrée est paire.
Sa représentation gra- phique admet l’axe (𝑂𝑦) pour axe de symétrie.
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2
-3 -4
-5 -6
-7 -8
2 3 4 5 6 7 8 9
-1 -2
0 1
1
x y
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Seconde
III. La fonction racine
carrée
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Seconde
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Exemple :
1. Démontrer que, pour tous réels positifs 𝑎 et 𝑏,
√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏 .
2. Etudier les variations de la fonction 𝑓(𝑥) = √𝑥 définie sur [0; +∞[.
3. Quelle propriété peut-on déduire des figures ci-dessous ?
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4. Ecrire le plus simplement possible :
𝐴 = √3 2 + 4 2
𝐵 = 2√245 − 3√125 𝐶 = (2√7 − 3) 2
𝐷 = √ 49
45
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La fonction racine carrée 𝒇: [𝟎; +∞[ ⟶ ℝ 𝒙 ⟼ √𝒙
P ROPRIETES : POUR TOUS 𝒂 ≥ 𝟎, 𝒃 > 𝟎
√𝒂 × 𝒃 = √𝒂 × √𝒃
√ 𝒂
𝒃 = √𝒂
√𝒃
ATTENTION, en général √𝒂 + 𝒃 ≠ √𝒂 + √𝒃
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5 6 7 8 9
-1 -2
0 1
1
x y
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T ABLEAU DE SIGNE :
T ABLEAU DE VARIATIONS :
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Seconde
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