D264. Incursion erd¨ osienne en g´ eom´ etrie
Commen¸cons avec un triangle ABC, un point P int´erieur au triangle et les sym´etriquesPa,Pb,Pc deP par rapport aux 3 cˆot´es. Quel que soitP et pour i∈[a, b, c]:
PiA×PiB×PiC > P A×P B×P C
Donc le maximum cherch´e est obtenu pourP situ´e sur l’un des cˆot´es deABC, et il existe un maximum local sur chaque cˆot´e puisque le produit est une fonc- tion positive continue qui s’annule aux extr´emit´es.
Au point P de AB o`u le produit est maximal, la d´eriv´ee est nulle, ce qui se traduit par la relation :
cosθ= P C×(P A−P B)
P A×P B = P A−P B
P C0 = P C1
P C0
⇒ P C1 =P A−P B = 2P M
θ = C\0P B, C0 2`eme intersection de P C avec le cercle circonscrit et C1 sa projection orthogonale sur AB,M milieu deAB.
E intersection des perpendiculaires `aAB enP et `a BC enQ, F intersection des perpendiculaires `a ABenC1et `aBC enA1,
M C1
M P = N A1
N Q ⇒O,E etF sont align´es (c’est un `a-cˆot´e).
1
Si le triangle est isoc`ele en C (CA = CB), C1 est confondu avec M et P aussi. Le triangle est caract´eris´e par l’angleα=ACB\ et le produit est ´egal `a F =r3sin2α(1 +cosα)
dF
dα =r3(2sinα cosα(1 +cosα)−sin3α) Le maximum maximorum de F est obtenu pour 2cosα(1 +cosα)−sin2α= 0,
2cosα(1 +cosα)−(1−cos2α) = 0, (1 +cosα)(3cosα −1) = 0,
⇒cosα = 1/3
F = r3(sin2α(1 +cosα)) =r3(1−1/9) 4/3 = 32/27r3
Quadrilat`ere
SoitABle plus grand cˆot´e. D´etant fixe, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, le produit sera provisoirement maximal siC appartient `a le m´ediatrice deAB, puis `a nouveau siD est confondu avecC. Alors :
F =r4sin2α(1 +cosα)2 dF
dα =r4(2sinα cosα(1 +cosα)2−2sin3α(1 +cosα)) Le maximum maximorum de F est obtenu pour
2cosα(1 +cosα)−2sin2α = 0, soit α= 60o F = r4(3/4) (3/2)2 = 27/16r4 = 27.
Pentagone
Le 5`eme point est confondu avecC et D.
F =r5sin2α(1 +cosα)3 dF
dα =r5(2sinα cosα(1 +cosα)3−3sin3α(1 +cosα)2) Le maximum maximorum de F est obtenu pour
2cosα(1 +cosα)−3sin2α = 0, 2cosα(1 +cosα)−3 (1−cos2α) = 0, (1 +cosα) (2cosα −3 (1−cosα)) = 0,
2
(1 +cosα) (5cosα −3) = 0,
⇒ cosα = 3/5
F =r5(1−9/25) (8/5)3=r58192/3125
Polygones `a n cˆot´es
Par extrapolation, le maximum maximorum de F est obtenu pour 2cosα(1 +cosα)−(n−2)sin2α = 0
⇒ cosα =n/(n−2)
3
