UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE BELFORT-MONTBELIARD
MT81 final - 15.01.2018 ALGEBRE durée : 1 heure
Calculatrice autorisée seulement. Aucune note de cours autorisée.
Exercice 1
On considère les vecteurs de ℝ4suivants :
e1 = (0 , 1 , 2 , 1), e2 = (1 , 1 , 1 , 1), e3 = (1 , 0 , -2 , 3) et e4 = (1 , 1 , 2 , -2).
1 ) La famille (e1 , e2 , e3 , e4 ) est-elle libre ? 2 ) Quel est le rang de la famille (e1 , e2 , e3 , e4 ) ?
Exercice 2
On considère les espaces vectoriels F = {(
𝑥 𝑦 𝑧
)∈ ℝ3/ x – y + z = 0} et G = {(
𝑥 𝑦 𝑧
)∈ ℝ3/ x + y + 2z = 0}.
1 ) Déterminer une base de F et de G.
2 ) Déterminer une base de F ∩ G.
Exercice 3
Déterminer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A = (1 0 4 9 1 4 1 0 1
).
Exercice 4
On considère la suite (un )n∈ ℕ définie par u0 = 0, u1 = 1 et, pour tout n∈ ℕ,
u
n+2 = 2u
n+ u
n+1 . On pose par ailleurs pour n∈ ℕ Un = (𝑢𝑛+1𝑢𝑛 ).
1 ) Déterminer u2 , u3 , u4 et u5 .
On constate que, pour tout n∈ ℕ, Un+1 = AUn. où A = (1 2 1 0).
2 ) a) Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonale D telle que A = PDP-1. b) Exprimer An en fonction de P-1, P et Dn.
c) Ecrire Un en fonction de An et U0 .
d) En déduire une expression de un en fonction de n.
MT81 final - 15.01.2018 ANALYSE durée : 1 heure Calculatrice autorisée
1 fiche aide-mémoire manuscrite au format A4 recto/verso autorisée
Les deux premiers exercices sont OBLIGATOIRES.
Ensuite VOUS CHOISIREZ deux exercices parmi les quatre facultatifs proposés et vous en rédigerez rigoureusement les solutions (5 et 6 sont bien guidés)
1) Changement de variable :OBLIGATOIRE
1.1) Calculer littéralement puis en donner une approximation avec trois chiffres significatifs
31 1
.
22 y e dy
I
y1.2) Calculer exactement :
Bien choisir u(x) parmi sin x ; cos x
2) Intégration par partie :OBLIGATOIRE
2.1) Calculer exactement :
/23 0
x . cos x . dx I
2.2) Calculer littéralement puis en donner une approximation avec trois chiffres significatifs
10
2
4
x . e . dx
I
x3)Intégration sur un domaine de R² (facultatif)
Calculer exactement :
dy dx e
y x
I
x yD
4 . .
2 2.
5
avec D
2;0
0;2
/20
5
2
cos x . sin x . dx
I
4) Théorème de Stokes (facultatif)
Un champ vectoriel A est indépendant de θ , orthogonal aux vecteurs u et k mais colinéaire à v (vecteurs unitaires caractéristiques des coordonnées cylindriques) ; son rotationnel est donné par :
r k A
rot 2
1 ) 1
( .
Déterminer ce champ vectoriel pour le point P déterminé par : k
z u R OP
5) Equation différentielle à variable séparable (facultatif)
Un récipient cylindrique de surface de base S contient de l’eau jusqu’à une hauteur z0 ; à l’instant t = 0 un robinet de remplissage ayant un débit D se met en marche en même temps qu’apparaît une fuite proportionnelle à la hauteur de liquide (coefficient de proportionnalité : k ).
Mathématiquement on peut écrire ce phénomène sous la forme différentielle suivante : dt
z k Sdz dt
D. . .
5.1) Déterminer la hauteur de saturation (celle pour laquelle apport d’eau et fuite se compensent) … cela peut être déterminé après la question 5.2)
5.2) Suivez le guide pour résoudre l’équation différentielle c’est à dire exprimer z(t) en fonction de z0 , D , k , S.
Il est conseillé d’opérer le changement de variable U = z –D/k (ainsi dU = dz). Ln(U(t)/U(0)) peut alors être obtenu par une intégration astucieuse entre 0 et t. On peut alors en déduire z(t).
Toute autre technique de résolution d’une équation différentielle du 1° ordre sera évidemment retenue comme juste.
6) Moment d’inertie MI,A pour une plaque homogène (facultatif)
La masse de la plaque est donnée par : m.S où est la masse surfacique et S la surface de la plaque.
Le moment d’inertie de cette plaque par rapport a un axe qui lui est perpendiculaire et passant par A relève de la relation :
S
A A
A
I x x y y dxdy
M , (( )2 ( )2). . .
Considérons une plaque carrée de coté C avec un axe qui lui est perpendiculaire et passant par O ( un des coins du carré)
6.1) Déterminer dans ce cas xA , yA et le domaine d’intégration pour MI,O
6.2) Calculer MI,O en fonction de ρ et de C, puis en fonction de m et de C.
