La calculatrice est autorisée.

(1)

Mathématiques TS7 2014-2015 Complexes IE5 Jeudi 12 février

Interrogation N°5 [1 - 3]

CORRIGE

La calculatrice est autorisée.

Exercice N°1 (1+3 points)

Soit z∈^, z= +x iy. On pose z'= −z i. a) Exprimer ^Im

( )

^z^' en fonction de x et y.

b) Donner la forme algébrique de 1 ' z .

a) Avec z= +x iy, il vient ^z^'^{= − =}^{z i}

(

^{x iy}⁺

)

^{− = +}ⁱ ^{x i y}

(

⁻¹

)

et donc :

( )

Im z' = −y 1

b) Ensuite :

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

1 1

' 1

1

1 1

1

1 1

z x i y

x i y

x i y x i y

x i y

x y

i

x y x y

= + −

− −

=⎡⎣ + − ⎤ ⎡⎦ ⎣× − − ⎤⎦

− −

= + −

− −

= +

+ − + −

( )

2 2

1 1

' 1 1

x y

z x y x y i

− −

= +

+ − + −

(2)

Mathématiques TS7 2014-2015 Complexes IE5 Jeudi 12 février

Interrogation N°5 [2 - 3]

Exercice N°2 (3 points)

Résoudre dans ^ :

zz =z2

On a :

( )

( ) ( )

( )

2

2 0 0

2 Im 0 Im 0

0 ou Im 0

0 ou zz z

z zz z z z

z i z z z

z z

z

=

⇔ − = ⇔ × − =

⇔ × = ⇔ × =

⇔ = =

⇔ = ∈

⇔ ∈

\

L’ensemble des solutions de l’équation zz =z² est l’ensemble des réels.

Exercice N°3 (3 points)

Résoudre dans ^ :

2 7 5

1 2 7

z i z

z z i

+ = +

− −

Les fractions sont définies pour tout complexe z tel que z− ≠1 0 et 2z− ≠7i 0, soit pour tout

complexe dans 7

\ 1 ; z∈ ⎧⎨ 2i⎫⎬

⎩ ⎭

^ . On résout finalement l’équation dans cet ensemble que nous notons E.

On a alors, pour tout complexe z de E :

( )( ) ( )( )

( ) ( )

² ² ²

2 2

2

2 7 5

1 2 7

2 7 2 7 1 5

2 7 5 5

4 49 4 5

3 4 54 0

z i z

z z i

z i z i z z

z i z z z

z z z

z z

+ = +

− −

⇔ + − = − +

⇔ − = + − −

⇔ + = + −

⇔ − + =

On a affaire à une équation du second degré à coefficients réels.

(3)

Mathématiques TS7 2014-2015 Complexes IE5 Jeudi 12 février

Interrogation N°5 [3 - 3]

On a : ^{Δ = −}

( )

⁴ ²^{− × ×}^{4 3 54}^{= × − ×}⁴

(

^{4 3 54}

)

^{= × −}⁴

(

¹⁵⁸

)

^{= − ×}^{4 158}^.

Comme Δ <0, on va obtenir deux racines conjuguées :

( ) ( )

1

2 1

4 4 158 4 2 158 2 158

2 3 2 3 3

2 158

3

i i i

z

z z i

− − − − − × − −

= = =

× ×

= = +

Ces deux complexes sont différents de 1 (leurs parties imaginaires sont non nulles) et de 7 2i (leur partie réelle est non nulle) et on en déduit finalement :

L’équation 2 7 5

1 2 7

z i z

z z i

+ = +

− − admet pour solutions : ₁ 2 158 ₂ ₁ 2 158

3 et 3

i i

z = ⁻ z = =z ⁺ .