La calculatrice est autorisée.

(1)

CORRIGE

La calculatrice est autorisée.

Exercice N°1 (6 points)

Résoudre les équations suivantes :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

4

2 ln 1 ln 2 ln 3 ... ln 0

entier naturel non nul

ln 4

ln ^x ^x 2 ln ^x 4 ln 2

x x x x n

n

x x

e e e

− × − × − × × − =

=

− − = + +

( ) ( ) ( ) ( )

ln x − × 1 ln x − × 2 ln x − × × 3 ... ln x n − = 0

Le produit comporte des facteurs de la forme ^ln ( ^{x k} ⁻ ) avec k compris entre 1 et n. Il y a donc n facteurs au total.

Le facteur ^ln ( ^{x k} ⁻ ) est défini pour x k − > 0 , c'est-à-dire x > k soit ^x ^∈ ] ^k ^; ^{+ ∞} [ ^.

Ainsi, le produit est défini pour x dans :

] ^1; ^{+ ∞} [ ] ^∩ ^{2 ;} ^{+ ∞} [ ^{∩ ∩} ^... ] ⁿ ^{− + ∞} ^1; [ ] ^∩ ⁿ ^; ^{+ ∞ =} [ ] ⁿ ^; ^{+ ∞} [

( ) ( ) ( ) ( )

ln 1 ln 2 ln 3 ... ln 0

ln 1 0 ou ln 2 0 ou ln 3 0 ... ou ln 0

x x x x n

− × − × − × × − =

⇔ − = − = − = − =

Dans ] ^{1 ;} ^{+ ∞} [ ^{, on a :} ^ln ( ^x − = ⇔ − = ⇔ = ¹ ) ⁰ ^x ^{1 1} ^x ²

Dans ] ^{2 ;} ^{+ ∞} [ ^{, on a :} ^ln ( ^x ⁻ ² ) = ⇔ − = ⇔ = ⁰ ^x ^{2 1} ^x ³

…

Dans ] ⁿ ^; ^{+ ∞} [ ^{, on a :} ^ln ( ^{x n} ⁻ ) = ⇔ − = ⇔ = + ⁰ ^{x n} ¹ ^x ⁿ ¹

La seule valeur obtenue qui appartient à l’intervalle ] ⁿ ^; ^{+ ∞} [ ^est ⁿ ⁺ ¹ . C’est l’unique solution de l’équation.

L’équation ^ln ( ^x ^{− ×} ¹ ) ^ln ( ^x ^{− ×} ² ) ^ln ( ^x ^{− × ×} ³ ) ^{... ln} ( ^{x n} ⁻ ) ⁼ ⁰

admet pour unique solution n + 1 .

(2)

( ) ⁴

ln x = 4 x

( ) ⁴

ln x existe pour tout réel x tel que x ⁴ > 0 , ce qui équivaut à x ≠ 0 puisque x ⁴ est un carré.

En d’autres termes, on résout l’équation dans * .

Si est strictement positif, on a : ^ln ( ) ^x ⁴ ⁼ ^{4 ln} ^x et l’équation équivaut à ln x = x . La courbe représentative de la fonction logarithme népérien est située sous la première bissectrice (résultat du cours que vous n’êtes pas tenus de justifier sauf… si on vous le redemande ! ☺) et le la coupe pas. L’équation n’admet donc pas de solution sur ^* ₊ .

Si est strictement négatif, on a : ^ln ( ) ^x ⁴ ⁼ ^{4 ln} ^x et l’équation équivaut à ln x = x , soit encore, x étant négatif : ^ln ( ) ^{− =} ^x ^x ^.

Votre calculatrice devait vous conduire à conjecturer (dans votre tête, sur votre brouillon,…) que cette équation admettait une solution unique sur ^* ₋ . Ecrire cette conjecture sur votre copie eut été déjà une excellente chose. Démontrons la.

Nous allons considérer la fonction ϕ définie sur ^* ₋ par : ^ϕ ( ) ^x ^{= −} ^x ^ln ( ) ⁻ ^x ^.

Cette fonction est dérivable sur ^* ₋ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle : l’identité et la fonction ^x ⁻ ^ln ( ) ⁻ ^x . La fonction ^x ⁻ ^ln ( ) ⁻ ^x admet pour dérivée la fonction 1 1

x x x

− −

− =

− .

On a donc : ^x ^* ^, ^' ( ) ^x ¹ ¹ ⁰

ϕ x

+

∀ ∈ = + − > car x est strictement négatif.

On déduit de ce qui précède que la fonction est continue et strictement croissante sur ^* ₋ .

On a enfin :

( )

( ) composition ( ( ) ) ^somme ( ^{( )} )

lim

lim lim ln

lim ln lim ln

x

x x

x X

x

x x x

X x

→−∞

→−∞ →−∞

→−∞

→+∞

= −∞⎫

− = +∞ − = −∞⎪ ⎫ ⎪ ⇒ ⎬ ⎭ − − = −∞ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⇒ − − = −∞

Et :

( )

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

0 0

somme

0 composition 0

0 0

0 0 0

lim 0

lim 0 lim ln

lim ln lim ln

x x

x x x

x x

X x

x

x x x

x X

→ <

+

→ < →

<

→ <

→

= ⎫ ⎪

⎪ ⎪

− = − = +∞⎪ ⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎭ ⇒ − − = +∞ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ − − = +∞

(3)

Le théorème de bijection nous permet alors de conclure que la fonction ϕ s’annule pour une unique valeur α sur ^* ₋ . Comme ^ϕ ( ) ^{− = − −} ¹ ^{1 ln1} ^{= − <} ^{1 0} ^{, on a :} ^α ^{∈ −} ] ^{1; 0} [ ^.

L’équation ^ln ( ) ^x ⁴ ⁼ ⁴ ^x admet une unique solution ^α ^{∈ −} ] ^{1; 0} [ ^.

( ² ) ( )

ln e ^x − − e ^x 2 = ln e ^x + 4 + ln 2

On doit d’abord déterminer les valeurs de x pour lesquelles les logarithmes sont bien définis.

On a facilement (éventuellement en résolvant d’abord : X ² − − = X 2 0 )

( )( )

2 ^x ^x 2 ^x 2 ^x 1

e − − = e e − e + . Comme on a : ∀ ∈ x , e ^x + > 1 e ^x > 0 , il vient e ² ^x − − > e ^x 2 0 si, et seulement si, e ^x − > 2 0 . Or, e ^x − > ⇔ 2 0 e ^x > ⇔ > 2 x ln 2 .

Finalement : ^ln ( ^e ² ^x ^{− −} ^e ^x ² ) est défini pour tout réel x de ] ^{ln 2 ;} ^{+ ∞} [ ^.

Comme on a : ∀ ∈ x , e ^x + > 4 e ^x > 0 , on en déduit immédiatement que ^ln ( ^e ^x ⁺ ⁴ ) ^existe

pour tout réel x.

En définitive, on résout l’équation proposée dans ] ^{ln 2 ;} ^{+ ∞} [ ^.

Pour tout réel x dans cet intervalle, on a :

( ) ( )

( )

2

2 ln 2 ln 4 ln 2

ln 2 ln 2 4

2 2 4

3 10 0

x x x

x x

e e e

e e

− − = + +

⎡ ⎤

⇔ − − = ⎣ × + ⎦

⇔ − − = × +

⇔ − − =

Ici encore, en posant X = e ^x , on se ramène à une équation du 2 ^nd degré : X ² − 3 X − 10 = 0 . Détaillons sa résolution. On a : ^{Δ = −} ( ) ³ ² ^{− × × −} ^{4 1} ( ¹⁰ ) ^{= +} ⁹ ⁴⁰ ⁼ ⁴⁹ ^.

D’où les racines : ( )

1 3 49 3 7

2 1 2 2

X = − − − = − = −

× ^et ²

3 7 5

X = + 2 = .

On en tire : ^X ² ⁻ ³ ^X ⁻ ¹⁰ ⁼ ( ^X ⁺ ² )( ^X ⁻ ⁵ ) ^{puis :} ê ² ^x ⁻ ³ ê ^x ⁻ ¹⁰ ^{= ⇔} ⁰ ( ê ^x ⁺ ² )( ê ^x ⁻ ⁵ ) ⁼ ⁰ ^.

Comme on a ∀ ∈ x , e ^x + > 2 e ^x > 0 , il vient :

( ê ^x ⁺ ² )( ê ^x ⁻ ⁵ ) ^{= ⇔} ⁰ ê ^x ^{− = ⇔} ⁵ ⁰ ê ^x ^{= ⇔ =} ⁵ ^x ^{ln 5}

Comme 5 > 2 , il vient (croissance stricte du logarithme népérien sur ^* ₊ ) : ln 5 > ln 2 .

L’équation ^ln ( ê ² ^x ^{− −} ê ^x ² ) ( ⁼ ^ln ê ^x ⁺ ⁴ ) ⁺ ^{ln 2} admet pour unique solution : ln 5 .

(4)

Exercice N°2 (6 points)

Donner les fonctions dérivées des fonctions suivantes (on ne demande pas de déterminer leur domaine de dérivabilité) :

( ) ^{ln ln} ( ( ) ) ( ) ^{ln 1} ( ) ^{1 ln} ¹ ^x

f x = x g x = + x h x = e ⁺

( ) ^{ln ln} ( ( ) )

f x = x

De la forme ^{f x} ( ) ⁼ ^ln ( ^{u x} ( ) ) ^avec ^{u x} ( ) ⁼ ^ln ( ) ^x dont la dérivée est la fonction inverse.

La fonction u prend des valeurs strictement positives sur ] ^1; ^{+ ∞} [ et on a alors, sur cet intervalle : ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 ' 1

' ln ln

u x x

f x

u x x x x

= = =

( ) ¹ ( )

' ln

f x

x x

=

( ) ^{ln 1}

g x = + x

On ne se précipite pas !

On écrit d’abord : ^{g x} ( ) ⁼ ^{ln 1} ⁺ ^x ⁼ ¹ ₂ ^{ln 1} ( ⁺ ^x ) ^.

La fonction ^x ^{ln 1} ( ⁺ ^x ) est de la forme ln u avec ^{u x} ( ) ^{= +} ¹ ^x ^> ⁰ ^et ^' ( ) ¹

2 u x

= x . Elle admet donc pour dérivée : ( )

( ) ( )

1 ' 2 1

1 2 1

u x x

x u x = x = x x

+ + .

On en déduit finalement : ^g ^' ( ) ^x ^{= ×} ¹ ² ² ^x ( ¹ ¹ ⁺ ^x ) ⁼ ⁴ ^x ( ¹ ¹ ⁺ ^x ) ^.

( ) ( ¹ )

'

4 1

g x

x x

= +

(5)

( ) ^{1 ln} ¹ ^x

h x = e ⁺

Ici encore, on regarde attentivement l’expression de la fonction et… on la « manipule » un peu :

( ) ^{1 ln} ¹ ^x ¹ ^ln ¹ ^x ¹

h x e e e e

x

= + = × = ×

Il vient alors immédiatement : ^{h x} ^' ( ) ^e ¹ ₂ ^e ₂

x x

= × − = − .

( ) ₂

' e

h x = − x

Exercice N°3 (8 points)

Soit a un réel strictement positif.

On pose : f a ( ) x = x − a ^ln x .

1. Déterminer le domaine de définition

f

a

D ^de f a . 2. Déterminer les limites de f _a aux bornes de

f

a

D

(En +∞ , on pourra poser x = x ² . On rappelle que ln

lim 0

x

→+∞ x = )

3. Calculer la fonction dérivée f _a ' de la fonction f _a . 4. Dresser le tableau de variation de la fonction f _a .

5. Discuter, suivant les valeurs du réel a, le nombre de solutions de l’équation f a ( ) x = ⁰ . 1. La fonction racine carrée est définie sur ₊ et la fonction logarithme népérien est définie

sur ^* ₊ . On en déduit que la fonction f _a est définie sur : ₊ ∩ ^* ₊ = ^* ₊ .

Le domaine de définition de f _a est ₊ .

(6)

2. On doit étudier les limites de la fonction f _a en 0 (à droite) et en +∞ . En 0 à droite.

On a

0 0

lim 0 0

x x

→ x

>

= = et

0 0

lim ln

x x

→ x

>

= −∞ . Comme le réel a est strictement positif, on en déduit immédiatement : ( )

0 0

lim ln

x x

a x

→ >

= −∞ puis ( )

0 0

lim _a

x x

f x

→ >

= +∞ .

En +∞ . On a : lim

x x

→+∞ = +∞ et, le réel a étant strictement positif : ^lim ( ^ln )

x a x

→+∞ = +∞ . Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

En tenant compte de l’indication de l’énoncé, il vient, pour tout réel x strictement positif :

( ) ^ln ( ) ² ^{2 ln} ^{1 2} ^ln

a

f x x a x x a x x a x

x

⎛ ⎞

= − = − = ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎠

Comme lim

x x

→+∞ = +∞ et comme ln

lim 0

x

→+∞ x = , il vient (composition) : ln

lim 0

x

→+∞ x = .

D’où : ln

lim 1 2 1 2 0 1

x

a x a

→+∞ x

⎛ ⎞

− = − × =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Finalement (produit) : x ^lim ^{1 2} ^ln x ^lim a ( )

x a x f x

→+∞ x →+∞

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

− = = +∞

⎢ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦ .

( ) ( )

0 0

lim _a lim _a

x x

x

f x f x

→ →+∞

>

= = +∞

3. Pour tout x réel strictement positif, on a :

( ) ¹ ¹ ² ²

' 2 2 2 2

a

x a x a

f x a

x x x x

x

= − × = − = −

( )

* 2

, '

a 2

x a

x f x

+ x

∀ ∈ = −

4. Avant de dresser le tableau de variation de la fonction f _a , déterminons-en les variations.

D’après la question précédente : ^* ^, ^' ( ) ²

a 2

x a

x f x

+ x

∀ ∈ = − . Comme x est strictement

positif, on en déduit immédiatement que f a ^' ( ) x est du même signe que son numérateur.

(7)

On déduit de ce qui précède :

• La fonction f _a ' est strictement négative sur ⎤ ⎦ 0 ; 4a ² ⎡ ⎣ .

• f a ^{' 4} ( ) a ² = ⁰ .

• La fonction f _a ' est strictement positive sur ⎤ ⎦ 4 a ² ; + ∞ ⎡ ⎣ . La fonction f _a est donc :

• strictement décroissante sur ⎤ ⎦ 0 ; 4a ² ⎤ ⎦

• strictement croissante sur ⎡ ⎣ 4 a ² ; + ∞ ⎡ ⎣ .

On déduit de ce qui précède que la fonction f _a admet sur ^* ₊ un minimum en 4a ² . La valeur de ce minimum est :

( ) ( ) ^{( )}

( ( ) )

2 2 2

4 4 ln 4 2 2 ln 2

2 1 ln 2

f a a a a a a a a

a a

= − × = − ×

= −

Nous disposons désormais de tous les éléments pour dresser le tableau de variation de la fonction f _a .

Remarque : on a facilement :

( ) ² ( ^{( )} ) ( ( ) )

0 0 0

lim _a 4 lim 2 1 ln 2 lim 2 2 ln 2 0 0 0

a a a

f a a a a a a

→ → →

> > >

⎡ ⎤

= ⎣ − ⎦ = − × = − =

x

0 f

+

(8)

5. Supposons f a ( ) ⁴ a ² = ² a ( ^{1 ln 2} − ( ) a ) > ⁰ (c'est-à-dire ^{1 ln 2} ⁻ ( ) ^a ^> ⁰ , soit encore 2 a < e ).

Alors : ∀ ∈ x ^, f a ( ) x ≥ ² a ( ^{1 ln 2} − ( ) a ) > ⁰ : la fonction f _a ne s’annule pas sur . Supposons f a ( ) ⁴ a ² = ² a ( ^{1 ln 2} − ^{( )} a ) = ⁰ (c'est-à-dire ^{1 ln 2} ⁻ ( ) ^a ⁼ ⁰ , soit encore

2 a = e ).

Comme la fonction f _a est strictement décroissante sur ⎤ ⎦ 0 ; 4a ² ⎤ ⎦ et strictement croissante sur ⎡ ⎣ 4 a ² ; + ∞ ⎡ ⎣ , on aura : ∀ x ⎤ ⎦ ^{0 ; 4} a ² ⎡ ⎣ ^, f a ( ) x > f a ( ) ⁴ a ² = ⁰ et

( ) ( )

2 2

4 ; , _a _a 4 0

x ⎤ a ⎡ f x f a

∀ ⎦ + ∞ ⎣ > = .

Ainsi, la fonction f _a s’annule pour x = 4 a ² .

Supposons enfin que l’on ait f a ( ) ⁴ a ² = ² a ( ^{1 ln 2} − ( ) a ) < ⁰ (c'est-à-dire ^{1 ln 2} ⁻ ( ) ^a ^< ⁰ ^,

soit encore 2 a > e ).

Raisonnons sur l’intervalle ⎤ ⎦ 0 ; 4a ² ⎤ ⎦ .

La fonction f _a y est continue comme différence de deux fonctions continues.

Elle y est strictement décroissante.

Enfin : ( )

0 0

lim _a

x x

f x

→ >

= +∞ et f a ( ) ⁴ a ² < ⁰ .

Or ⁰ ^∈ ^⎡ _⎣ ^f ^a ( ) ⁴ ^a ² ^; ^{+ ∞} ^⎡ _⎣ , le théorème de la bijection nous permet alors de conclure que l’équation f a ( ) x = ⁰ admet une unique solution dans l’intervalle ⎤ ⎦ 0 ; 4a ² ⎡ ⎣ .

En raisonnant de la même façon sur l’intervalle ⎡ ⎣ 4 a ² ; + ∞ ⎡ ⎣ , on démontre que l’équation

( ) ⁰

f a x = admet une unique solution dans l’intervalle ⎤ ⎦ 4 a ² ; + ∞ ⎡ ⎣ . Finalement :

• Si 2

a < e , l’équation f a ( ) x = ⁰ n’admet pas de solution.

• Si 2

a = e , l’équation f a ( ) x = ⁰ admet pour unique solution x = 4 a ² .

• Si 2

a > e , l’équation f a ( ) x = ⁰ admet eux solutions : l’une dans ⎤ ⎦ 0 ; 4a ² ⎡ ⎣ et l’autre

dans ⎤ ⎦ 4 a ² ; + ∞ ⎡ ⎣ .

(9)

A titre de complément, commençons par fournir les courbes représentatives de fonctions f _a pour différentes valeurs du paramètre a.

On peut s’intéresser au lieu des points correspondant aux minimums des fonctions f _a . On a vu que l’on avait : f a ( ) ⁴ a ² = ² a ( ^{1 ln 2} − ^{( )} a ) .

Les points correspondant aux minimums des fonctions f _a sont donc les points de

coordonnées ( ⁴ â ² ^{; 2} â ( ^{1 ln 2} ⁻ ( ) â ) ) âvec â ^> ⁰ ^{. Comme} ⁴ â ² ⁼ ² â , ils appartiennent donc à la courbe d’équation ^y ⁼ ^x ( ^{1 ln} ⁻ ^x ) ⁼ ^x ^⎛ ⎜ ⎝ ¹ ⁻ ¹ ₂ ^ln ^x ^⎞ ⎟ ⎠ . Réciproquement, tout point de coordonnées ( ^{x y} ^; ) de cette courbe est le minimum de la fonction de paramètre a tel que

4a 2 = x soit : 2 a = x .

On peut donc s’intéresser à la fonction ϕ définie par : 1

: 1 ln

x x 2 x

ϕ ^⎛ ⎜ ⎝ − ^⎞ ⎟ ⎠ .

(10)

Elle est dérivable sur ^* ₊ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle :

( ) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹

' 1 ln 0 1 ln

2 2 2 2

2 2

1 1 1 ln

1 ln

2 2 2 4

x x x x x

x x

x x x

ϕ = ^⎛ ⎜ ⎝ − ^⎞ ⎟ ⎠ + ^⎛ ⎜ ⎝ − × ^⎞ ⎟ ⎠ = ^⎛ ⎜ ⎝ − ^⎞ ⎟ ⎠ −

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ − = −

On a donc :

• Si ^x∈ ] [ ^{0 ;1} ^, ^ln ^x ^< ⁰ ^et ^ϕ ^' ( ) ^x ^> ⁰ ^.

• ^ϕ ^{' 1} ( ) ⁼ ⁰ ^.

• Si x > 1 , ln x > 0 et ^ϕ ^' ( ) ^x ^< ⁰ ^.

La fonction ϕ est donc strictement croissante sur ] ] ^{0 ; 1} et strictement décroissante sur

[ ^1; ^{+ ∞} [ . On en fournit ci-dessous la courbe représentative (en rouge).

Remarque : la courbe représentative de la fonction ϕ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse x telle que ( ) ¹ ¹ ^ln ⁰

x x 2 x

ϕ = ^⎛ ⎜ ⎝ − ^⎞ ⎟ ⎠ = , soit ln x = 2 , d’où x = e ² .

La calculatrice est autorisée.

CORRIGE

La calculatrice est autorisée.

Exercice N°1 (6 points)

Résoudre les équations suivantes :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

4

2

ln 1 ln 2 ln 3 ... ln 0

entier naturel non nul

ln 4

ln x x 2 ln x 4 ln 2

x x x x n

n

x x

e e e

− × − × − × × − =

=

− − = + +

( ) ( ) ( ) ( )

ln x − × 1 ln x − × 2 ln x − × × 3 ... ln x n − = 0

Le produit comporte des facteurs de la forme ln ( x k − ) avec k compris entre 1 et n. Il y a donc n facteurs au total.

Le facteur ln ( x k − ) est défini pour x k − > 0 , c'est-à-dire x > k soit x ∈ ] k ; + ∞ [ .

Ainsi, le produit est défini pour x dans :

] 1; + ∞ [ ] ∩ 2 ; + ∞ [ ∩ ∩ ... ] n − + ∞ 1; [ ] ∩ n ; + ∞ = [ ] n ; + ∞ [

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ln 1 ln 2 ln 3 ... ln 0

ln 1 0 ou ln 2 0 ou ln 3 0 ... ou ln 0

x x x x n

x x x x n

− × − × − × × − =

⇔ − = − = − = − =

Dans ] 1 ; + ∞ [ , on a : ln ( x − = ⇔ − = ⇔ = 1 ) 0 x 1 1 x 2

Dans ] 2 ; + ∞ [ , on a : ln ( x − 2 ) = ⇔ − = ⇔ = 0 x 2 1 x 3

…

Dans ] n ; + ∞ [ , on a : ln ( x n − ) = ⇔ − = ⇔ = + 0 x n 1 x n 1

La seule valeur obtenue qui appartient à l’intervalle ] n ; + ∞ [ est n + 1 . C’est l’unique solution de l’équation.

L’équation ln ( x − × 1 ) ln ( x − × 2 ) ln ( x − × × 3 ) ... ln ( x n − ) = 0

admet pour unique solution n + 1 .

( ) 4

ln x = 4 x

( ) 4

ln x existe pour tout réel x tel que x 4 > 0 , ce qui équivaut à x ≠ 0 puisque x 4 est un carré.

En d’autres termes, on résout l’équation dans * .

Si est strictement négatif, on a : ln ( ) x 4 = 4 ln x et l’équation équivaut à ln x = x , soit encore, x étant négatif : ln ( ) − = x x .

Votre calculatrice devait vous conduire à conjecturer (dans votre tête, sur votre brouillon,…) que cette équation admettait une solution unique sur * − . Ecrire cette conjecture sur votre copie eut été déjà une excellente chose. Démontrons la.

Nous allons considérer la fonction ϕ définie sur * − par : ϕ ( ) x = − x ln ( ) − x .

Cette fonction est dérivable sur * − comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle : l’identité et la fonction x − ln ( ) − x . La fonction x − ln ( ) − x admet pour dérivée la fonction 1 1

x x x

− −

− =

− .

On a donc : x * , ' ( ) x 1 1 0

ϕ x

+

∀ ∈ = + − > car x est strictement négatif.

On déduit de ce qui précède que la fonction est continue et strictement croissante sur * − .

On a enfin :

( )

( ) composition ( ( ) ) somme ( ( ) )

lim

lim lim ln

lim ln lim ln

x

x x

x X

x

x x x

X x

→−∞

→−∞ →−∞

→−∞

→+∞

= −∞⎫

− = +∞ − = −∞⎪ ⎫ ⎪ ⇒ ⎬ ⎭ − − = −∞ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⇒ − − = −∞

Et :

ln ^x ^x 2 ln ^x 4 ln 2

Le produit comporte des facteurs de la forme ^ln ( ^{x k} ⁻ ) avec k compris entre 1 et n. Il y a donc n facteurs au total.

Le facteur ^ln ( ^{x k} ⁻ ) est défini pour x k − > 0 , c'est-à-dire x > k soit ^x ^∈ ] ^k ^; ^{+ ∞} [ ^.

] ^1; ^{+ ∞} [ ] ^∩ ^{2 ;} ^{+ ∞} [ ^{∩ ∩} ^... ] ⁿ ^{− + ∞} ^1; [ ] ^∩ ⁿ ^; ^{+ ∞ =} [ ] ⁿ ^; ^{+ ∞} [

Dans ] ^{1 ;} ^{+ ∞} [ ^{, on a :} ^ln ( ^x − = ⇔ − = ⇔ = ¹ ) ⁰ ^x ^{1 1} ^x ²

Dans ] ^{2 ;} ^{+ ∞} [ ^{, on a :} ^ln ( ^x ⁻ ² ) = ⇔ − = ⇔ = ⁰ ^x ^{2 1} ^x ³

Dans ] ⁿ ^; ^{+ ∞} [ ^{, on a :} ^ln ( ^{x n} ⁻ ) = ⇔ − = ⇔ = + ⁰ ^{x n} ¹ ^x ⁿ ¹

La seule valeur obtenue qui appartient à l’intervalle ] ⁿ ^; ^{+ ∞} [ ^est ⁿ ⁺ ¹ . C’est l’unique solution de l’équation.

L’équation ^ln ( ^x ^{− ×} ¹ ) ^ln ( ^x ^{− ×} ² ) ^ln ( ^x ^{− × ×} ³ ) ^{... ln} ( ^{x n} ⁻ ) ⁼ ⁰

( ) ⁴

( ) ⁴

ln x existe pour tout réel x tel que x ⁴ > 0 , ce qui équivaut à x ≠ 0 puisque x ⁴ est un carré.

Si est strictement négatif, on a : ^ln ( ) ^x ⁴ ⁼ ^{4 ln} ^x et l’équation équivaut à ln x = x , soit encore, x étant négatif : ^ln ( ) ^{− =} ^x ^x ^.

Votre calculatrice devait vous conduire à conjecturer (dans votre tête, sur votre brouillon,…) que cette équation admettait une solution unique sur ^* ₋ . Ecrire cette conjecture sur votre copie eut été déjà une excellente chose. Démontrons la.

Nous allons considérer la fonction ϕ définie sur ^* ₋ par : ^ϕ ( ) ^x ^{= −} ^x ^ln ( ) ⁻ ^x ^.

Cette fonction est dérivable sur ^* ₋ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle : l’identité et la fonction ^x ⁻ ^ln ( ) ⁻ ^x . La fonction ^x ⁻ ^ln ( ) ⁻ ^x admet pour dérivée la fonction 1 1

On a donc : ^x ^* ^, ^' ( ) ^x ¹ ¹ ⁰

On déduit de ce qui précède que la fonction est continue et strictement croissante sur ^* ₋ .

( ) composition ( ( ) ) ^somme ( ^{( )} )

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

Le théorème de bijection nous permet alors de conclure que la fonction ϕ s’annule pour une unique valeur α sur ^* ₋ . Comme ^ϕ ( ) ^{− = − −} ¹ ^{1 ln1} ^{= − <} ^{1 0} ^{, on a :} ^α ^{∈ −} ] ^{1; 0} [ ^.

L’équation ^ln ( ) ^x ⁴ ⁼ ⁴ ^x admet une unique solution ^α ^{∈ −} ] ^{1; 0} [ ^.

( ² ) ( )

ln e ^x − − e ^x 2 = ln e ^x + 4 + ln 2

On a facilement (éventuellement en résolvant d’abord : X ² − − = X 2 0 )

2 ^x ^x 2 ^x 2 ^x 1

e − − = e e − e + . Comme on a : ∀ ∈ x , e ^x + > 1 e ^x > 0 , il vient e ² ^x − − > e ^x 2 0 si, et seulement si, e ^x − > 2 0 . Or, e ^x − > ⇔ 2 0 e ^x > ⇔ > 2 x ln 2 .

Finalement : ^ln ( ^e ² ^x ^{− −} ^e ^x ² ) est défini pour tout réel x de ] ^{ln 2 ;} ^{+ ∞} [ ^.

Comme on a : ∀ ∈ x , e ^x + > 4 e ^x > 0 , on en déduit immédiatement que ^ln ( ^e ^x ⁺ ⁴ ) ^existe

En définitive, on résout l’équation proposée dans ] ^{ln 2 ;} ^{+ ∞} [ ^.

Ici encore, en posant X = e ^x , on se ramène à une équation du 2 ^nd degré : X ² − 3 X − 10 = 0 . Détaillons sa résolution. On a : ^{Δ = −} ( ) ³ ² ^{− × × −} ^{4 1} ( ¹⁰ ) ^{= +} ⁹ ⁴⁰ ⁼ ⁴⁹ ^.