MT81 final Partie ANALYSE - durée : 1 heure

UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE BELFORT-MONTBELIARD

MT81 final

Partie ANALYSE - durée : 1 heure Une fiche A4 manuscrite autorisée. Calculatrice autorisée.

1) Intégrales doubles : 1.1) Calculer

 ⁺

= x y dx dy I

₁

( )

²

. .

Pour le domaine d’intégration, x varie de 0 à 1 et y de 0 à 2

1.2) Calculer et représenter le domaine d'intégration en hachuré.



= x dx dy I

₂ ³

. .

Le domaine est un « coin triangulaire » : y varie de 0 à 1 et pour tout y la variable x varie de 0 à 4y

1.3) Calculer

 ^{ }

= e d dr

I

₃ ^r

. cos( 2 ). .

Pour le domaine d’intégration, r varie de 0 à ln4 et θ de 0 à π/4

2) Gradient en coordonnées cylindriques:

Soit le potentiel :

U = 1 + r

²

. ln( 1 + z

²

).( 1 + sin

²

 )

2.1) Calculer : V =grad(U)

2.2) Que dire de W =rot(V)

Tourner la feuille …

3) Divergence et rotationnel en coordonnées cartésiennes :

k z j y i x

OM = + +

Le champ vectoriel en M : A_M =.OMavec α réel non nul 3.1) Calculer divA_M

3.2) Flux de

A

_M à travers une sphère centrée en O et de rayon R

3.3) Calculer

rot A

_M et en déduire la circulation du champ

A

_M sur un contour fermé.

4) Théorème de Stokes en coordonnées cylindriques :

k z u r OM = +

Un champ vectoriel

A

_M est orthogonal à

u

et à

k

(vecteurs unitaires caractéristiques des coordonnées cylindriques) et son rotationnel est donné par

rot A

_M

= r k

pour r inférieur ou égal à R0 et

rot A

_M

= 0

pour r supérieur à R0.

Déterminer la norme de ce champ vectoriel en fonction de r pour les deux cas de figure.

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Partie ALGEBRE - durée : 1 heure Calculatrice autorisée. Aucun document autorisé.

Exercice 1

On considère la matrice 𝐴 = (

2 0 4

3 −4 12 1 −2 5

).

1. Vérifier que les valeurs propres de 𝐴 sont : 𝜆₁ = 0; 𝜆₂ = 1 𝑒𝑡 𝜆₃ = 2.

2. Montrer que 𝐴 est diagonalisable.

3. Déterminer les vecteurs propres de A et 𝑃 la matrice de passage.

4. Déterminer 𝑁 la matrice diagonale de 𝐴.

5. On a 𝑁 = 𝑃⁻¹𝐴𝑃, pour 𝑘 ∈ ℕ, exprimer 𝐴^𝑘 en fonction de 𝑁^𝑘, puis calculer 𝐴^𝑘.

Exercice 2

Dans cet exercice, les cinq questions sont indépendantes les unes des autres.

1. Démontrer que E = {(x ; y) ∈ ℝ²/ 𝑥𝑦 = 0 } n’est pas un sous-espace vectoriel de ℝ². 2. Démontrer que F = {(x ; y) ∈ ℝ²/ 𝑥 + 𝑦 = 0 } est un sous-espace vectoriel de ℝ². 3. La famille {(1,2,3), (−1,0,−1), (1,−2,0)} est-elle une famille libre de ℝ³ ?

Montrer ensuite que ces vecteurs forment une base.

4. Déterminer une famille génératrice de G = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ³/ x – y + 2z = 0}.

5. Pourquoi les vecteurs colonnes d’une matrice A de taille 3×4 sont-ils forcément liés ?