MT81 final – lundi 14 janvier 2018 Partie ALGEBRE - durée : 1 heure

UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE BELFORT-MONTBELIARD

MT81 final – lundi 14 janvier 2018

Partie ALGEBRE - durée : 1 heure

Calculatrice autorisée. Notes de cours : 1 page manuscrite autorisée.

Exercice 1

On considère la matrice A = (

1 −1 −1

−2 0 1

2 2 1

).

1 )

a) Calculer det(A).

b) Pourquoi A est-elle inversible ?

c) Calculer l’inverse de A (on demande d’indiquer les calculs intermédiaires : tout résultat, même juste, sans ces calculs ne sera pas comptabilisé).

2 ) Dans ℝ³, dans la base canonique, on donne les vecteurs 𝑢⃗ = ( 1

−2 2

), 𝑣 = (

−1 0 2

), et 𝑤⃗⃗ = (

−1 1 1

) formant les trois colonnes de la matrice A.

a) Justifier que la famille (𝑢⃗ ; 𝑣 ; 𝑤⃗⃗ ) forme une base de ℝ³. b) Déterminer les coordonnées du vecteur 𝑡 = (

1 2 3

) dans cette base ? (on peut par exemple se servir de la question 1c))

3 )

a) Montrer que le polynôme caractéristique de A, det(A – XI3) est égal à (1 – X)(X – 2)(1 + X) (on peut par exemple effectuer la manipulation 𝐿₁ ← 𝐿₁+ 𝐿₂+ 𝐿₃ dans le calcul de det(A – XI3 )) b) En déduire les valeurs propres de A.

c) Pour chaque valeur propre, déterminer maintenant un vecteur propre associé.

d) En déduire l’ensemble des solutions du système différentiel {

𝑥^′= 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 𝑦^′ = −2𝑥 + 𝑧 𝑧^′ = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧

Exercice 2

Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes les unes des autres.

1 ) Démontrer que F = {(x ; y) ∈ ℝ²/ 𝑥𝑦 = 0} n’est pas un sous-espace vectoriel de ℝ². 2 ) Déterminer une famille génératrice de G = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ³/ x – y + 2z = 0}.

3 ) Pourquoi les vecteurs colonnes d’une matrice A de taille 4×5 sont-ils forcément liés ? 4 ) Quelle est la dimension de l’espace vectoriel ℝ₃[𝑋] ?

UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE DE BELFORT-MONTBELIARD

MT81 final – lundi 14 janvier 2018 Partie ANALYSE - durée : 1 heure

Calculatrice autorisée. Notes de cours : 1 page manuscrite autorisée.

1) Intégrales doubles : 1.1) Calculer



 x dx dy I

₁ ²

.

sur le domaine défini par D = [-1 ; 1] x [-2 ; 2]

rappel le 1^er intervalle correspond à x et le 2^ème à y 1.2) Calculer

 ^

 x y dx dy I

₂

(

^{2 2}

) .

sur le domaine défini par D = [-a ; a] x [-b ; b]

1.3) Calculer

 ^

 x y dx dy I

₃

(

^{2 2}

) .

sur le domaine défini par D = [0 ; 2a] x [0 ; 2b]

2) Coordonnées cylindriques et gradient :

Soit le potentiel :

U  e

^z2

. r

²

.( 1  cos

²

 )

2.1) Calculer : 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑈)

2.2) Evaluer la limite de U pour z tendant vers l’infini avec r et θ fixés

3) Grad, rot, div en coordonnées cartésiennes :

Dans cet exercice α et β sont des constantes réelles non nulles.

3.1) Soit U .(x²y² z²), calculer le gradient noté

𝐺

de ce potentiel scalaire et le comparer au vecteur

𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

_.

3.2) Quelle est la nature des équipotentielles de U ?

3.3) Calculer le rotationnel et la divergence du champ vectoriel :

𝐸⃗ =

^𝛼

𝛼+𝑥

𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

3.4) Calculer le rotationnel et la divergence de

𝐻 ⃗⃗ =

^𝛼

𝛼+𝛽

𝐺

4) Théorème de Stokes et produit vectoriel :

𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟. 𝑢⃗ + 𝑧. 𝑘⃗

avec (𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑘⃗ ) repère orthonormé direct habituel en coordonnées cylindriques . Dans cet exercice le champ vectoriel

𝐴 (𝑟)

ne dépendant que de r est caractérisé par

𝑟𝑜𝑡(𝐴 ) = 𝑒

^−𝑟²

.𝑘 ⃗

4.1) Evaluation du produit vectoriel :

𝑟𝑜𝑡(𝐴 ) ˄ (𝑒

^𝑟²

.(𝑢 ⃗ + 𝑣 + 𝑘 )) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

4.2) De plus le champ vectoriel

𝐴

est orthogonal 𝑟. 𝑢⃗ et à 𝑘⃗ . Déterminer ce champ vectoriel de la forme 𝐴 = 𝑓(𝑟). 𝑣 en appliquant Stokes par le biais d’une intégration de flux sur un disque de rayon r et d’une

circulation sur un cercle de rayon r.

Rappel : au choix soit en scalaire dS = r.dr.dθ et dl = r.dθ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ = 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃. 𝑘⃗

soit en vectoriel 𝑑𝑙⃗⃗⃗ = 𝑟. 𝑑𝜃. 𝑣

4.3) En considérant éventuellement l’exercice 3, ou en calculant directement, peut-on affirmer que

𝐴 (𝑟)

et

𝐴 (𝑟) + 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

ont le même rotationnel ? (justification rigoureuse exigée).