Final MT81 – A2014 12 Janvier 2015
FINAL DE L’UV MT81
Durée : 2 heures.
Document autorisé: une feuille de rappels (recto) manuscrite autorisée.
Calculatrice autorisée.
Toute réponse non justifiée sera ignorée.
Seules les explications claires et précises seront prises en compte lors de la correction.
Les parties A (Algèbre/Pagnoux), B (Analyse/Di Cesare) et C (Analyse/Schmitt) sont indépendantes et seront rédigées sur des copies distinctes.
PARTIE A : ALGEBRE LINEAIRE (YVES PAGNOUX) – 10 POINTS
Nouvelle copie ! Soit la matrice (
) .
1) Calculer le polynôme caractéristique de et vérifier qu’il n’est pas scindé dans . 2) Vérifier que :
(
) 3) Dans la suite de cet exercice, on notera .
a. Justifier le fait que est diagonalisable et déterminer son polynôme caractéristique.
b. Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres associés aux valeurs propres de
4) On admet que l’on peut choisir (
) en tant que matrice de passage pour diagonali- ser
a. Vérifier que est bien inversible en calculant ( ).
b. Calculer .
5) Soit la matrice diagonale semblable à (comportant les valeurs propres dans l’ordre croissant sur la diagonale)
a. Exprimer puis en utilisant la formule : .
b. Vérifier que l’on peut exprimer en fonction de et de (de la forme ( ) ( ) , avec ( ) un coefficient dépendant de )
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PARTIE B : ANALYSE 2 (NOELIE DI CESARE ) – 5 POINTS
Nouvelle copie !
Les question I, II et III sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
I. Calculer l’intégrale triple suivante. On pourra faire un changement de variables dans le plan (x,y) :
∭ Avec {( )
}
II. On donne l’intégrale double suivante :
∬ ( ) Avec {( )
} 1) Représenter le domaine D dans le plan.
2) Calculer l’intégrale.
III. On donne l’intégrale double suivante :
∬ avec {
( )
}
On pourra faire un changement de variables en coordonnées polaires.
Dans quelle partie du plan se situe-t-on ?
Poser le changement de variables qui convient. Déduire de la question précédente et de l’énoncé les nouvelles bornes de l’intégrale.
Détailler le calcul du Jacobien du changement de variables.
Calculer l'intégrale.
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PARTIE C : ANALYSE 1 (PHILIPPE SCHMITT) – 5 POINTS
Nouvelle copie !
Les questions I, II, III et IV sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
I. VRAI ou FAUX : (sans pénalité)
Un potentiel scalaire obéit à une symétrie sphérique :
r
r K
U 2 avec r strictement positif. On définitOM ru
1) Le gradient est un vecteur de même sens queOM .
2) Le gradient est un vecteur de sens contraire àOM . 3) L’intensité (norme) du gradient est en 1/r.
4) L’intensité (norme) du gradient est en 1/r3 .
Vous justifierez brièvement votre choix sinon votre réponse sera comptée comme étant fausse !
II. Fonction de plusieurs variables et lignes de niveau Soit une surface définie par zx2y22x2y2 1) Calculez
x z
et y z
.
2) Calculez toutes les dérivées secondes partielles.
Rappel : pour un point M dont les dérivées partielles premières sont nulles, la nature est déterminée par le signe de
. ² ' ²
2 2 2
2
y z x
z y
x z
:
Si
'
> 0, M est un col Si
'
< 0, M est un extrémum (Max si 22
y z
et 2
2
x z
sont négatifs, Min dans le cas contraire) 3) Quelle est la nature du point M de coordonnées (-1, 1, 0) ?
4) Pour z4, on a une ligne de niveau que vous devez décrire (pensez à factoriser).
III. Rotationnel et divergence
En coordonnées cylindriques un point est repéré par OM zk ru
. La base locale est définie par trois vec- teurs unitaires dans l’ordre suivant (k u n
,
, ). est l’angle orienté que
u
fait avec l’axe Ox. Le champ vectoriel
) (M V
est donc défini par les coordonnées cylindriques
V
z, V
r, V
. On rappelle:
rV V V
r z
n r u r k M V rot
r z
) ) ( (
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V
r r rV r z M V V
div
z(
r) 1 .
1 . )
(
Soit le champ vectoriel défini par
r u n e k r M
F r
( ) . . .
1) Calculerrot(F(M)
, vous expliquerez au préalable pourquoi les opérateurs
z
et
sont des opérateurs ayant une influence nulle sur ce champ !
2) Calculer divF(M) .
IV. Gradient dépendant du temps
Deux ondes planes sinusoïdales progressives dont les directions de propagation sont perpendiculaires se croisent dans une portion de l’espace tel que la perturbation résultante obéisse à la relation suivante :
) . cos(
) . cos(
) , , ,
(x y zt kx t ky t
E
1) Calculer le gradient de E.
2) A quel axe le gradient est-il toujours orthogonal ?
3) Est-il vrai que pour x = y , le gradient de E est un vecteur oscillant du temps de direction i j
?
