E310 - Une racine carrée bien étrange
Solution
Il est facile de vérifier que sans être très nombreux, il existe plusieurs nombres N qui ont les caractéristiques mentionnées par Diophante.
Soit R la racine carrée de N. R peut commencer par 4 ou 6 ou 8, les 2ème et 3ème chiffres étant 0,2,4,6 ou 8, il y a donc a priori 3*5*5=75 valeurs possibles de R. C’est ainsi que les carrés de 400,408,600,602,640,800,808,etc…sont des solutions possibles qui empêchent Hippolyte de donner une réponse unique. Quand Diophante précise que la connaissance de la position du chiffre impair X lève l’incertitude, cela signifie qu’il existe une position k et une seule de X (k variant entre 1 et 5) telle qu’il existe une solution unique pour N .
Le tableau suivant donne les 17 solutions possibles parmi lesquelles il y a une solution unique quand le chiffre impair X est en quatrième position :
N est donc égal à 200 704 qui est le carré de 448.
X est en position n°: Valeurs correspondantes de R
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
160 000 213 444 409 600 200 704 440 896 400 462 640 448 664
166 464 230 400 643 204 646 416 408 480 802 804
360 000 438 244 682 276 600 662 826
362 404 652 864 602 808
384 400 672 400 620 820
386 884 622
