Problème F132 - Nombres croisés
Solution par Jean Nicot
I et i sont des puissances 6 donc de 22^6 à 31^6.
22^6 = 113379904 23^6 = 148035889 24^6 = 191102976 25^6 = 244140625 26^6 = 308915776 27^6 = 387420489 28^6 = 481890304 ¤ 29^6 = 594823321 ¤ 30^6 = 729000000 31^6 = 887503681
d est une puissance de 2 de 2^27 à 2^29 ; le chiffre de ses unités est 8, 6 ou 2 2^27 = 134217728
2^28 = 268435456 2^29 = 536870912
donc I = 28^6 ou 29^6 et i= 22^6 ou 31^6 pour avoir même chiffre des unités mais E interdit un 0 pour i donc
I= 28^6 = 481890304 i= 22^6 = 113379904 d=2^27 =134217728
H va de 10010^2 à 31610^2, or 10010^2 possède 243=3^5 diviseurs donc H=10010^2=100200100
G= (10010+X^3)^2 Seul X=3 convient pour avoir 9 en unité et le 7 bien placé G=10037^2=100741369
F > G 10038^2=100761444 possède 81=9^2 diviseurs mais le chiffre des unités n’est pas 9 10063^2=100761444 possède 9=3^2 diviseurs mais n’a pas le chiffre 7 de la colonne d 10187^2=103774969 possède 9=3^2 diviseurs et convient.
F= 10187^2=103774969
A est compris entre d=134217728 et (F+G+H)/2=152358219. Une puissance 4ème entre ces limites vaudra donc 108^4 à 111^4. Ce sont 136048896, 141158161, 146410000, 151807041. Le chiffre 1 de la colonne d impose de choisir la seconde valeur.
A = 109^4=141158161
e se termine par 09 donc sqr(e) se termine par 03, 47, 53 ou 97
e se termine par 409 donc sqr(e) se termine par 097, 153, 347, 597, 847
e se termine par 7409 donc sqr(e) se termine par 0847, 2097, 4153, 5847, 7097, 9153 e débutant par 5 indique que sqr(e) va de 22361 à 24494 c’est donc 24153
e vaut 24153^2 = 583367409
c se termine par 01, donc sqr(c) se termine par 01, 49, 51, 99
c se termine par 001, donc sqr(c) se termine par 001, 251, 499 , 501, 751, 999
c se termine par 3001, donc sqr(c) se termine par 0251, 1501, 3499, 5251, 6501, 8499 c débute par 1 donc sqr(c) va de 10001 à 14141 soit pour sqr(c) les valeurs possibles 10251 , 11501, 13499 donc pour c les valeurs 105083001, 132273001, 182223001
B est un carré compris entre F=10187^2 et A=11881^2. I il se termine par 1, donc sqr(B) se termine par 1 ou 9 et doit avoir 3 8 dans les colonnes d et e
Les seules valeurs acceptables sont 10411, 10601 et 11721 pour sqr(B) soit B= 108388921, 112381201 ou 137381841
La colonne c en seconde place permet seulement 0 , 3 ou 8 Donc B= 108388921 et
c = 182223001
f se termine par 4100 donc sqr(f) se termine par 210, 290, 710, 790 f débutant par 88, sqr(f) va de 29665 à 29832 c'est-à-dire vaut 29710 f = 29710^2 = 882684100
g = 19pqr9313. Sa sdc = 26 à 53. C’est un cube donc 27.
Comme r est non nul à cause de pcd de E non nul, r=1 et p et q zéro.
g = 190019313
a = 11klm1114. Sa sdc vaut 9 à 36 donc c’est 27 et k+l+m=18.
Pdc = 4*k*l*m soit k*l*m= double d’un cube donc k ,l, m valent, dans le désordre, 2, 8, 8 b = 40stu0008. Sa sdc=12 à 39 donc le cube est 27 et s+t+u=15
E= mu21681z7 La sdc, puissance de 2 vaut 25+m+u+z de 27 à 51 soit 32 et m+u+z=7 Donc m=2 et k=l=8 et u+z = 5
a = 118821114
C = 8s24320x3 La sdc, cube, vaut 22+s+x de 22 à 40 donc 27 et s+x =5
D = 8t22360y3 La sdc, carré, vaut 24+t+y de 24 à 42 soit 25 ou 36 et t+y = 1 ou 12 Comme s+t+u= 15, s<6, u<6 on doit avoit t+y=12
h = 62xyz660
h a une sdc = 20 à 47. Comme c’est un cube, c’est 27, donc x+y+z= 7 avec z>0 h est mult de 81
modulo 81, h=62000660+(7-x-y)*100000+10000*y+1000*z=18-9y-18z
Pour z prenant les valeurs 1 à 7, y les valeurs de 0 à 7, avec y+z<8, on arrive à 28 triplets xyz dont seulement 3 donnent une valeur zéro pour h modulo 81. Ce sont 034, 115, 601
Comme t+y=12, y ne peut être inférieur à 3 , d’où la seule valeur 034 pour xyz, soit h = 620346600
Comme s+x=5, s=5.
t+y=12 donne t=9.
s+t+u=15 donne u= 1 b = 405910008
C = 852432003 D = 892236033 E = 212168147
a b c d e f g h i A 1 4 1 1 5 8 1 6 1 B 1 0 8 3 8 8 9 2 1 C 8 5 2 4 3 2 0 0 3 D 8 9 2 2 3 6 0 3 3 E 2 1 2 1 6 8 1 4 7 F 1 0 3 7 7 4 9 6 9 G 1 0 0 7 4 1 3 6 9 H 1 0 0 2 0 0 1 0 0 I 4 8 1 8 9 0 3 0 4
