Partie II

(1)

MPSI B Année 2019-2020. DS 4 le 13/12/19 24 avril 2020

Exercice 1.

Cet exercice porte sur des propositions liant racine carrée et partie entière. La dernière question est indépendante des premières.

On noteI= [0,+∞[etE la restriction de la fonction partie entière dans cet intervalle :

∀x≥0, E(x) =bxc.

1. On considère l'équation fonctionelle

F: E◦g=E

où la fonction inconnuegest dénie dansI et à valeurs dansI. a. Préciser deux solutions évidentes de l'équationF.

b. Soitg dénie dansI et à valeurs dansI.

Montrer quegest solution deF si et seulement si

∀n∈N, g([n, n+ 1[)⊂[n, n+ 1[.

2. Soitf une bijection deI dansI. On cherche une solution deFde la formef◦E◦f⁻¹. a. Pour toutn∈N, montrer que

f◦E◦f⁻¹(n) =n⇔f⁻¹(n)∈N.

b. On suppose de plus quef est croissante. Montrer qu'elle est strictement croissante et continue. Montrer quef◦E◦f⁻¹ est solution deF si et seulement si

∀n∈N, f⁻¹(n)∈N. 3. Application.

a. Montrer quebp

bxcc=b√

xcpour toutx≥0. b. Montrer que

∀m∈N,∀n∈N^∗,∀x≥0, bx+m

n c=bbxc+m n c.

c. Soitb >1. On dénit la fonction logarithme en basebnotéelog_b par :

∀x >0, log_b(x) = ln(x) ln(b). Pour quelsba-t-on :∀x >1, blog_b(x)c=blog_b(bxc)c?

4. On dit qu'une suite(un)n∈N à valeurs dans[0,1]est bien répartie si et seulement si, pour tout(a, b)∈[0,1]² aveca < b,

1

nCard{k∈J0, nKtqa < uk < b}

n∈N^∗

→b−a.

a. Soitx < y réels. Montrer

]x, y[∩Z=Jbxc+ 1,dye −1K, y−x−1≤Card (]x, y[∩Z)< y−x+ 1.

b. Soit0≤a < b≤1et m∈N.

Quels sont lesk∈Ntels que b√

kc=m eta <√ k− b√

kc< b? c. Montrer que la suite(√

n− b√

nc)n∈Nest bien répartie.

Exercice 2.

On dénit une fonctionH dans]0,1[.

∀λ∈]0,1[ : H(λ) =−(λln(λ) + (1−λ) ln(1−λ)). On se propose de montrer une majoration des coecients du binôme :

∀n∈N\ {0,1}, ∀k∈J1, n−1K: n

k

≤e^nH(

k n⁾.

1. Montrer que :

∀x >0 : ln(1 +x)−ln(x)≥ 1 1 +x.

2. Montrer que la fonction dénie de]0,1[dansRpar :x→ ^x+1_x ^xest croissante.

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et k un entier naturel entre 0 et n. Montrer que

n k

≤ nⁿ k^k(n−k)^n−k. 4. En déduire l'inégalité annoncée.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1904E

(2)

Problème

L'objet de ce problème est l'étude des suites dénies par une valeur initialex₀et

∀n∈N, x_n+1=f_µ(x_n) oùfµ (appelée fonction logistique) est dénie par :

∀x∈R, fµ(x) =µx(1−x).

Le paramètreµest strictement positif, on pose aussicµ= ^µ−1_µ . On dira qu'un intervalleI deRest stable lorsque :

x∈I⇒fµ(x)∈I.

On demande plusieurs fois d'étudier (xn)n∈N en discutant suivantx0. Il s'agit de former une liste d'intervalles et de décrire le comportement de la suite lorsquex₀ est dans chacun des intervalles listés. On devra justier ces descriptions.

Partie I

1. Quels sont les points xes defµ?

2. Former le tableau de variation de f_µ, préciser le maximum absolu et la valeur de la fonction en ce point.

3. Calculerf_µ⁰(0) et f_µ⁰(cµ). Comparer suivant la valeur deµces valeurs avec −1 et +1. Que peut-on en déduire ?

4. Pour quelles valeurs deµl'intervalle[0,1]est-il stable ?

5. Les quatre gures2,3,4,5présentent les graphes def_µpour quatre valeurs deµparmi 0.7,1.7,2.7,4.7. Indiquer sur la feuille au dessous de chaque dessin leµcorrespondant et placer lec_µ sur l'axe des abscisses.

Partie II

Dans cette partie, lorsqueµ >2, on notera Sµ= [¹₂,^µ₄]et Kµ = maxSµ|f_µ⁰|. 1. a. En calculant d'abors la valeur pourµ= 2, factoriser f_µ(^µ₄)−¹₂.

b. Factoriserf_µ⁰(^µ₄) + 1.

2. Casµ∈]0,1[. Étudier (xn)_n∈N en discutant suivantx0. 3. Casµ∈]1,2[. Étudier (x_n)_n∈_N en discutant suivantx₀.

4. Montrer queµ∈

2,1 +√ 5

entraîneSµ stable.

5. On suppose ici queµ∈

2,1 +√ 3

.

a. Montrer queSµ est stable et queKµ<1. b. Montrer quex₀∈S_µ entraîne

∀n∈N, |xn−cµ| ≤K_µⁿ|x0−cµ|.

c. Montrer que si x0 ∈

0,¹₂, il existe k ∈ N tel que xk ∈ Sµ. Que peut-on en déduire ?

Partie III. Vers un ensemble de Cantor

1 1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0.2 0.4 0.6 0.8

Fig. 1:µ= 4.73 : fµ◦fµ◦fµ

On se place cette fois dans le casµ >2 +√

5. Pour tout entiern,f_µⁿdésigne la composée

(3)

defµ par elle même nfois. Voir gure1par exemple. On note aussi :

Λn={x∈R, f_µⁿ(x)∈[0,1]} Λ = \

n∈N

Λn.

(f_µ⁰désigne l'identité deR.)

1. Préciser lesu∈[0,1]tel quefµ(u) = 1. En déduireΛ1.

2. L'intervalle [0,1] est-il stable ? Pour quels x0 la suite (xn)_n∈N prend-elle toutes ses valeurs dans[0,1].

3. Montrer que sifµ(u) = 1alors|f_µ⁰(u)|>1 . 4. Soitλ= infΛ₁|f_µ⁰|. Montrer queλ >1 .

5. Montrer queΛ_n+1⊂Λ_n. Montrer queΛ_n est formé par2ⁿ intervalles disjoints.

6. a. Montrer que pour toutx∈Λ_n :

|(f_µⁿ)⁰(x)| ≥λⁿ.

b. Montrer que la longueur de chaque intervalle formantΛn est inférieure à 1 λⁿ⁺¹.

(4)

0

-0.5 0.5

-0.5

1 1.5 0.5

1 1.5

Fig. 2: Partie I. 5

1.5

1

0.5

-0.5

0

0.5

-0.5

1 1.5

Fig. 3: Partie I. 5

1.5

1

0.5

0 -0.5

-0.5

0.5 1 1.5

Fig. 4: Partie I. 5

0 1.5

1

0.5

-0.5 0.5 1 1.5

-0.5

Fig. 5: Partie I. 5