Exercice 2 : Étude d’une fonction mettant en jeu la fonction arcsin

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012

D. Blottière Mathématiques

Devoir maison n˚1

Pour le vendredi 14 octobre.

Exercice 1 : Polynômes trigonométriques et calcul d’une aire

Soit f la fonction définie sur R par :

f: R→R; x7→sin²(x) cos³(x).

Soit C_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé du plan. Calculer l’aire du domaine délimité par C_f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x= 0 et x= π

3.

Exercice 2 : Étude d’une fonction mettant en jeu la fonction arcsin

Soit f la fonction définie sur R par :

f: R→R; x7→arcsin cos

3x+π 4

.

1. Démontrer que f est continue sur R.

2. Montrer que f est périodique de période 2π

3 . On réduit alors le domaine d’étude à l’in- tervalle D=

0,2π

3

.

3. Déterminer l’ensemble D⁰ des points x de D oùf est dérivable en x.

4. Calculerf⁰(x)pour tout x∈ D⁰. 5. Simplifier l’expression de f surD.

6. Représenter graphiquement la fonction f surR.

Problème : Algèbre linéaire et géométrie dans le plan

Partie A : Formule de Cramer pour une matrice 2×2 inversible

1. Soit A =

a b

c d

une matrice 2×2 à coefficients réels. On lui associe la matrice A⁰ définie par :

A⁰ =

d −b

−c a

. (a) Calculer le produit matriciel AA⁰.

1

(b) En déduire que :

A est inversible ⇐⇒det(A)6= 0 et que siA est inversible, alors :

A⁻¹ = 1 ad−bc

d −b

−c a

(Formule de Cramer).

(c) On suppose ici que A est inversible. Soit α, β ∈R. Montrer que le système (S) :

ax + by = α

cx + dy = β d’inconnue (x, y)possède une unique solution donnée par :

dα−bβ

ad−bc,−cα+aβ ad−bc

.

2. Appliquer le résultat de la question (b) pour montrer que la matrice B =

3 4

5 7

est inversible et calculer son inverse.

Partie B : Équations d’une droite dans un repère non nécessairement orthogonal du plan

Soit R un repère non nécessairement orthogonal du plan. Soient A(a,0) et soit B⁰(0, b⁰) deux points distincts du plan. Montrer que pour tout point M du plan, de coordonnées (x, y) dans R, on a :

M(x, y)∈(AB⁰)⇐⇒b⁰x+ay=ab⁰.

Remarque : Le repère n’étant pas nécessairement orthogonal, on ne peut pas, ici, appliquer la méthode « usuelle » pour déterminer une équation cartésienne d’une droite passant par deux points distincts, de coordonnées connues. Le produit scalaire que l’on pourrait définir, via des coordonnées dans la base sous-jacente à R, ne donnerait pas de critère d’orthogonalité, dans le cas où R ne serait pas un repère orthogonal. Il faut donc trouver une autre approche...

Partie C : Un théorème de Pappus

Soient D et D⁰ deux droites sécantes du plan. On note O le point commun à D et D⁰. Soient A, B, C trois points de D et soient A⁰, B⁰, C⁰ trois points de D⁰. On suppose que les points O, A, B, C, A⁰, B⁰, C⁰ sont deux à deux distincts.

On introduit le repère (O;−→

OA,−−→

OA⁰). On a donc A de coordonnées (1,0) et A⁰ de coordonnées (0,1). On note (b,0), (c,0), (0, b⁰) et(0, c⁰)les coordonnées respectives de B, C, B⁰, C⁰.

1. Démontrer que si(AB⁰) est parallèle à (A⁰B) et(BC⁰) est parallèle à (B⁰C), alors(CA⁰) est parallèle à (C⁰A).

2. On suppose maintenant que les droites (AB⁰) et (A⁰B) sont concourantes en un point noté D, les droites (BC⁰) et (B⁰C) sont concourantes en un point noté E et les droites (CA⁰) et(C⁰A) sont concourantes en un point noté F.

(a) Justifier que bb⁰−16= 0, cc⁰−16= 0 et que bb⁰−cc⁰ 6= 0.

(b) Déterminer les coordonnées de D, E, F en fonction de b, b⁰, c, c⁰. (c) Montrer que : (cc⁰−bb⁰)−−→

DE =bb⁰(cc⁰−1)−−→ DF .

(d) Que peut-on en déduire quant aux points D, E et F ? Illustrer ce résultat par une figure.

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