act.2 p252.

Activité 2. p 252.

Du glucose est injecté par voie intraveineuse, à un instant pris pour origine des temps. On désigne par g la fonction glycémique ; elle donne à chaque instant t ≥ 0 (en secondes), la glycémie c'est à dire le taux de glucose dans le sang. On suppose que le glucose se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé selon la loi g’ + ααααg = 0 où αααα est une constante strictement positive déterminée expérimentalement et appelée coefficient d’assimilation glucidique.

a. Déterminer g(t) en fonction de αααα sachant que g(0) = 2.

g est solution de g’ = −α g donc g(t) = k e^−αt avec k ∈ IR. De plus g(0) = 2 donc k = 2 et g(t) = 2e^−αt .

b. Etudier les variations de la fonction g sur [0 ; +∞∞∞∞[. Tracer l’allure de la courbe CCCC représentant g dans un repère orthonormal.

g’(t) = 2(−αt)’ 2e^−αt = −2α 2e^−αt

On sait que α > 0 donc g’(t) < 0 ce qui prouve (oh surprise !) que g est décroissante.

g(0) = 2 et lim_t→+∞ g(t) = 0 car t → ⁺∞ ^{donc –}α ^t → ⁻∞ donc exp(−α ^t) → ^0.

c. Donner une équation de la tangente à la courbe CCCC au point d’abscisse 0 et déterminer l’abscisse t_αααα de son point d’intersection avec l’axe des abscisses.

La tangente (T₀) au point d’abscisse 0 a pour équation y = g’(0)(t – 0) + g(0) or g’(0) = −2α et g(0) = 2 donc (T₀) a pour équation y = −2α t + 2

(T₀) coupe l’axe (O ; i^→ ) quand y = 0. On a alors t = 1/α . DoncC coupe l’axe (O ; i^→ ) au point d’abscisse 1/α.

d. On note G la glycémie à l’instant T ≥ 0. Exprimer αααα en fonction de G et T.

G = g(T) ⇔ G = 2e^-αT ⇔ e^-αT = G/2 ⇔ −αT = ln(G/2) Donc α = -ln(G/2) T

e. On estime que la valeur de αααα est normale, lorsqu’elle est comprise entre 1,06××××10⁻² et 2,42×××× 10⁻². Est−ce le cas chez un patient, lorsqu’au bout d’une durée T = 30, la glycémie a baissé de 30% ? de 50% ? de 60% ? de 80%.

Pour T = 0, G = 2

Pour T = 30 : baisse de 30% : G = 0,7× 2 donc α = -ln(0,7)

30 ≈ 1,18×10⁻² résultat normal.

baisse de 50% : G = 0,5× 2 donc α = -ln(0,5)

30 ≈ 2,31× 10⁻² résultat normal.

baisse de 60% : G = 0,4× 2 donc α = -ln(0,4)

30 ≈ 3,05× 10⁻² valeur trop élevée.

baisse de 80% : G = 0,2× 2 donc α = -ln(0,2)

30 ≈ 5,36× 10⁻² valeur trop élevée.

alp = 0,0118

alp = 0,0231

alp = 0,0305

alp = 0,0536

20 30 40 50 60 70 80

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

0 10

0,2

x y