Pour n , nombre entier et θ nombre réel de l’intervalle I = ] - 3
; 3
[ on pose :
Sn (θ) =
n k K 1
ln( 2cos
3
k
- 1 ) = ln( 2cos 3
- 1 ) + ln (2cos
3
2
- 1) + . . . + ln( 2cos
3
n
- 1 ).
Où ln désigne la fonction logarithme népérien.
1°) Démontrer que pour tout nombre réel x , cos3x = ( 2cos2x - 1 )cosx.
2°) Justifier l’existence de Sn (θ) .
3°) Démontrer que Sn (θ) = lncos(
2
) – lncos(
3
2 n
)
4°) En déduire en fonction de θ :
lim
n Sn (θ) .
5°) a) Calculer S’ (θ) , pour tout nombre réel θ de l’intervalle I.
S’ désigne la fonction dérivée de S .
b) En déduire la valeur de l’intégrale J = 2
1
d 2) ( tan
02
