1 EXERCICE N°1
Sans utiliser une calculatrice, calculer le réel : 1°)cos14π
+ cos7π
+ 14 cos3π
- 7 sin2π
- 14 sin5π
- 7 sin3π
2°)tan9π
+ 9
tan2π
+ tan3π
+ 9
tan4π
+ 9
tan5π
+ 3
tan2π
+ 9
tan7π
+ 9
tan8π
3°)cos²5π
+ 5
²2 cos π
+ 5
²3 sin π
+ 5
²4 sin π 4°)tan12π
. 12
tan5π
+ cotan5π
. 5
tan4π
5°) 8
sin 7 8 sin 5 8 sin 3
sin28π 2 π 2 π 2 π
+ +
+
6°) 8
cos 8 8 cos 6 8 cos 4 8
cos2 2π 2 π 2 π 2 π
+ +
+
7°) 12
sin 11 12 sin 9 12 sin 7 12 sin 5 12 sin 3
sin212π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π
+ +
+ +
+ EXERCICE N°2
1°)On remarquant que l’on a :
4 3 12
π π
π = − , calculer cos12π
, sin12π
et tan12π
2°)Démontrer que l’on a : 14
12
²5 12 tan
²
tan π + π =
3°) Calculer cos8π
, sin8π
, tan8π
et 8 tan5π EXERCICE N°3
Soit ℘=cosxcos2xcos4x 1°)Montrer que : 8sinx.℘=sin8x 2°)En déduire la valeur de
7 cos4 7 cos2
cos7π π π
EXERCICE N°4
1°)Montrer que pour tout x de R : cosx sinx x 4
cos
2 = +
− π
2°)Montrer que pour tout x de R : cosx sinx x 4
cos
2 = −
+ π
3°) Montrer que pour tout x de k , ,k Z
R 4 ∈
+
− π π
: sinx cosx
x cos x sin 1 x 2 sin
x 2 cos
−
= +
− 4°) En déduire que pour tout x de k , ,k Z
R 4 ∈
+
− π π
:
−
− =cotan x 4 1
x 2 sin
x 2
cos π
EXERCICE N°5
1°)Montrer que pour tout x de R : 0
3 x 2 3 cos
x 2 cos x
cos =
− +
+
+ π π
2°)Calculer alors 0
7 cos17 7 cos11
cos7π+ π + π =
3°) Montrer que : pour tout a,b∈R : cos(a+b)+cos(a−b)=2cosacosb 4°)En déduire que
2 3 3 x 2
² 3 cos x 2
² cos x
²
cos =
− +
+
+ π π
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2 EXERCICE N°6
Soit pour tout
∈ ,2 0
x π
, f(x)= 1+sin2x+ 1−sin2x.
Montrer que
∈
=
∈
=
,2 x 4 si x sin 2 ) x ( f
,4 0 x si x cos 2 ) x ( f
π π
π
EXERCICE N°7
I. Résoudre les équations suivants dans R puis dans
[
0,2π]
et représenter sur le cercle trigonométrique les images des solutions :3 x sin
2 = ; 2cosx=−1 , 1 x 6
cos
2 =−
− π
, sinx =cosx , tanx =− 3 , cosx−sin²x−1=0. II. Résoudre les inéquations suivants dans
[
0,2π]
2 x 3
sin ≤ , 2cosx+1≥0 , 1 x 6
cos
2 ≤−
− π
, tanx>− 3 . EXERCICE N°8
1°) Résoudre dans R : 0
x 3 cos 3 3
x
sin =
−
−
− π π
2°)Résoudre dans R : sinx− 3cosx= 2 3°) Résoudre dans
[
−π,π]
: sinx− 3cosx≥ 2 4°) Résoudre dans[
−π,π]
: 3cosx−2sin²x+3=05°) Résoudre dans
[
−π,π]
: 3cosx−2sin²x+3≥06°)Résoudre dans
[
0,2π]
: 0x 2 cos 2 1
1 x 2 cos
2 ≤
+
−
