Math Sup ICAM Toulouse CB02-Correction
C.B. N° 2
TRIGONOMETRIE – NOMBRES COMPLEXES
Correction1- Résoudre les équations suivantes :
(i) cos(2x) – sin(2x) = 1 2 cos 2 1 cos 2 cos
4 4 4
x π x π π
⇔ + = ⇔ + =
{
;}
;x k k π4 k k
⇔ ∈ π ∈ − + π ∈
ℤ ∪ ℤ
(ii) 3 cos(x) + sin(x) = - 3 2 cos 3 cos cos 5
6 6 6
x π x π π
⇔ − = − ⇔ − =
{
2 ;}
2 2 ;x k k 3π k k
⇔ ∈ π + π ∈ − + π ∈
ℤ ∪ ℤ
(iii) cos(2x) + cos(4x) = 2cos(3x)
cos(2x) + cos(4x) = 2cos(3x) cos(-x) donc on doit résoudre : cos(3x) cos(x) = cos(3x)
( ) { }
cos(3 ) 0
cos(3 ) cos( ) 1 0 ; 2 ;
6 3
cos( ) 1 x
x x ou x k k k k
x
=
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ + ∈ π ∈
=
ℤ ∪ ℤ
2- Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
(i)
5 1
6
12 4
2 3
1 6
2
3 3 i i
i
e
z i e
i e
π π
−π
= =
= +
−
(ii)
( )( )
32
3 5 3 2
1 3 2
3 5
3 2 4
3 i i i
i e
z i
i
− + − π
= = + =
+ +
− +
=
(iii) z3= −1 eiθ où θ∈
[
0;2π[
3 2 2 2 2 sin 2 2sin 2 322 2
i i i i i
z e e e i e e
θ π
θ −θ θ θ +
θ θ
= − = − =
Ceci est bien une forme exponentielle car :
[
0; 2[
sin 02 θ θ∈ π ⇒ ≥
3- Déterminer les racines carrées de Z = 5 – 4i 5 41 41 5
2 2
S i
+ −
= ± −
4- Dans le plan complexe, soient A, B et C d’affixes respectives zA = 1, zB = 1 3
2 2 i
− + et zC = 1 3
2 2 i
− −
a) Calculer C A
B A
z z
z z
−
− 3
ei π
=
b) En déduire la nature du triangle ABC. Triangle équilatéral.
Math Sup ICAM Toulouse CB02-Correction
C.B. N° 2
TRIGONOMETRIE – NOMBRES COMPLEXES
Correction1- Résoudre les équations suivantes :
(i) cos(2x) + sin(2x) = - 1 2 cos 2 1 cos 2 cos 3
4 4 4
x π x π π
⇔ − = − ⇔ − =
; ;
2 4
x π k k π k k
⇔ ∈ + π ∈ − + π ∈
ℤ ∪ ℤ
(ii) cos(x) + 3 sin(x) = - 3 2 cos 3 cos cos 5
3 3 6
x π x π π
⇔ − = − ⇔ − =
7
2 ; 2 ;
6 2
x π k k π k k
⇔ ∈ + π ∈ − + π ∈
ℤ ∪ ℤ
(iii) sin(3x) + sin(x) = 2sin(2x)
sin(3x) + sin(x) = 2 sin(2x) cos(x) donc on doit résoudre : sin(2x) cos(x) = sin(2x)
( ) { }
sin(2 ) 0
sin(2 ) cos( ) 1 0 ; 2 ;
cos( ) 1 2 x
x x ou x k k k k
x
=
π
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ ∈ π ∈
=
ℤ ∪ ℤ
2- Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
(i)
5 1
4
12 6
2 2
2 2 1
3
i
i i
z i
i
e e
e
π π
−π
= +
− = =
(ii)
( )( )
Arc cos 32
1 3 3 3 3 2 1 7
27 1 7
1 3
3 3 7 7
i i
z i
i i
i e
= + +
+ −
= = + =
+
(iii) z3=eiθ−1 où θ∈
[
0;2π[
3 2 2 2 2 sin 2 2sin 2 22 2
i i i i i
z e e e i e e
θ π
θ θ −θ θ +
θ θ
= − = =
Ceci est bien une forme exponentielle car :
[
0; 2[
sin 02 θ θ∈ π ⇒ ≥
3- Déterminer les racines carrées de Z = -3 – 4i
( )
{
1 2}
S= ± − i
4- Dans le plan complexe soient A, B et C d’affixes respectives zA = 1
2; zB = 3 + i et zC = 1 5 2 2i
− +
a) Calculer C A
B A
z z i
z z
−
− =
b) En déduire la nature du triangle ABC. Triangle isocèle, rectangle en A.
