TRIGONOMETRIE – NOMBRES COMPLEXES

Math Sup ICAM Toulouse CB04 - Correction

C.B. N° 4

TRIGONOMETRIE – NOMBRES COMPLEXES

^Correction

1- Résoudre les équations suivantes :

i)

( ) ( )

^{2cos 3}

( )

^{2sin 3}

( )

^{1 cos 3 1}

2 2 4

cos 3 sin 3 2  

⇔ − = ⇔  + =

− = 

x x x x  x π

3 2 avec

4

 

⇔ + = ∈ 

 x π kπ k ℤ ^{; 2}

12 3

∈

 

= − + 

 

ℤ

∪

k

S π kπ

ii) ^{cos 2}

( )

^{x +cos 4}

( )

^{x =2cos}

( )

^{x ⇔2cos 3}

( ) ( )

^{x cos x =2cos}

( )

^{x ⇔cos}

( )

^x

(

^cos

( )

^{3x −1}

)

⁼⁰

( ) ( )

(

^cos 0 ou cos 3 1

)

ou 3 2 avec 2

 

⇔ = = ⇔ = + = ∈ 

 ℤ

x x x π kπ x kπ k

;2

2 3

∈

 

=  + 

 

ℤ

∪

k

S π kπ kπ

2- Compéter l’égalité suivante, et la justifier : 2sin sin

2 2

cos cos  + −

− =   

−    

   

a b a

a b

b

( )

^{2 2 2}

cos cos Re e e Re e e e Re cos sin 2 sin

2 2 2

2sin sin

2 2

+ − − −

     +   +   − 

− = − =   − =   +    

+ −

   

= −    

   

a b a b a b

i i i

ia ib a b a b a b

a b i i

a b a b

3- Donner les racines quatrièmes du nombre complexe z = 2 – 2i =2 2e^−iπ4

3 3 7 3 15 3 23

8 16 8 16 8 16 8 16

2 e⁻ ; 2 e ; 2 e ; 2 e

 

= 

 

i i i i

S

π π π π

4- Résoudre dans ℂ l’équation suivante : z²+ − + =z 1 3i 0

Le discriminant vaut 5 – 12i dont une racine carrée est 3 – 2i. ^{S= − − +}

{

^{1 i; 2 i}

}

5- Résoudre dans ℂ l’équation : ^{2z3+ − +}

(

^{3 8i z}

)

^{2− +}

(

^{5 10i z}

)

^{+ + =3 3i 0}, en montrant que l’équation admet une solution réelle.

∈ℝ

x est solution si, et seulement si :

3 2

2

2 3 5 3 0

8 10 3 0

 − − + =



− + =



x x z

x x

La deuxième équation admet pour solutions 3 4et 1

2. 1

2est solution de la première équation.

L’équation initiale s’écrit :

(

^2z−1

) (

^{z2+ − +}

(

^{1 4i z}

)

^{− −3 3i}

)

^=0.

L’équation ^{z2+ − +}

(

^{1 4i z}

)

^{− − =3 3i 0} a pour discriminant -3 + 4i dont une racine carrée est 1 + 2i ; ses solutions sont 1 – i et -3i.

Finalement 1

;1 ; 3 . 2

 

= − − 

 

S i i

Math Sup ICAM Toulouse CB04

C.B. N° 4

TRIGONOMETRIE – NOMBRES COMPLEXES

^Correction

1- Résoudre les équations suivantes :

i)

( ) ( )

^{2sin 2}

( )

^{2cos 2}

( )

^{1 sin 2 1}

2 2 4

sin 2 cos 2 2  

⇔ − = ⇔  − =

− = 

x x x x  x π

2 +2 avec

4 2

 

⇔ − = ∈ 

 x π π kπ k ℤ ^{; 3}

∈ 8

 

=  + 

 

ℤ

∪

k

S π kπ

ii) ^{sin 3}

( )

^{x +sin 5}

( )

^{x =2sin}

( )

^{4x ⇔2sin 4}

( ) ( )

^{x cos x =2sin 4}

( )

^{x ⇔sin 4}

( )

^x

(

^cos

( )

^{x −1}

)

⁼⁰

( ) ( )

(

^{sin 4} 0 ou co s 1

) (

4 ou 2 avec

)

⇔ x = x = ⇔ x=kπ x= kπ k∈ℤ

∈ 4

 

=  

 

ℤ

∪

k

S kπ

2- Compéter l’égalité suivante, et la justifier : in 2cos sin sin s 2

2

+ −

   

 ×  

− = 

  

a b b

b a

a

( )

^{2 2 2}

sin sin Im e e Im e e e Im cos sin 2 sin

2 2 2

2cos sin

2 2

+ − − −

     +   +   − 

− = − =   − =   +    

+ −

   

=    

   

a b a b a b

i i i

ia ib a b a b a b

a b i i

a b a b

3- Donner les racines cinquièmes du nombre complexe z = 3+i =2e^iπ6

1 1 13 1 5 1 37 1 49

5 30 5 30 5 6 5 30 5 30

2 e ; 2 e ; 2 e ; 2 e ; 2 e

 

= 

 

i i i i i

S

π π π π π

4- Résoudre dans ℂ l’équation suivante :

2+ + + =1 3 0

z i z i

Le discriminant vaut -5 – 12i dont une racine carrée est 2 – 3i. ^{S= − − +}

{

^{1 2 ; 1i i}

}

5- Résoudre dans ℂ l’équation :^3z3+

(

^{2−9i z}

)

^{2− +}

(

^{7 3i z}

)

^{+ + =2 2i 0}, en montrant que l’équation admet une solution réelle.

∈ℝ

x est solution si, et seulement si :

3 2

2

3 2 7 2 0

9 3 2 0

 + − + =



− − + =



x x z

x x

La deuxième équation admet pour solutions 2

−3et 1 3. 1

3est solution de la première équation.

L’équation initiale s’écrit :

(

^3z−1

) (

^{z2+ −}

(

^{1 3i z}

)

^{− −2 2i}

)

^=0.

L’équation ^{z2+ −}

(

^{1 3i z}

)

^{− − =2 2i 0} a pour discriminant 2i dont une racine carrée est 1 + i ; ses solutions sont 2i et -1 + i.

Finalement 1

; 2 ; 1 . 3

 

= − + 

 

S i i