corrigé

Rappel des résultats à connaître sur les fonctions polynômes de degré 2 .

Rappel des résultats à connaître sur les fonctions homographiques .

On appelle fonction homographique toute fonction h non affine qui peut s'écrire comme quotient de deux fonctions affines. Soit a, b, c et d quatre réels tels que ad −bc ≠0 et c≠0 .

Pour tout x ≠−d

c , f (x )= ax +b cx +d

Toute fonction homographique a une écriture (canonique !) de la forme f (x )=β+ A x −α . Elle est représentée par une hyperbole centrée autour du point Ω(α ;β) .

Exercice 1 : Déterminer les fonctions polynômes du second degré f et g qui vérifient : 1. cf passe par A(0 ; 2) et a pour sommet S (−1;−4) .

f a une expression de la forme f (x )=a (x +1)2

−4 (forme canonique) A ∈ cf donc f (0)=2

a (0+1)2−4=2 a=6

Finalement, pour tout x ∈ ℝ, f (x )=6( x+ 1)2₋₄

f (x )=6 x2

+12 x +2 2. cg passe par B(2 ;0) , C (−4 ;0) et D(0 ;−16) .

Les points B et C sont les points d'intersection de la parabole cf avec l'axe des abscisses : les racines du polynômes sont donc 2 et −4 .

Donc, g a une expression de la forme g ( x)=a( x−2)(x +4) (forme factorisée) D ∈ cg donc f (0)=−16

a (0−2)(0+4)=−16 a=2

Finalement, pour tout x ∈ ℝ, g ( x)=2(x −2)(x +4)

g ( x)=2 x2_{+4 x−16}

Exercice 2 : Sur la figure ci-contre, CUAD est un carré de côté 10 cm. M est un point de [CD]. On désigne par x la distance DM exprimée en centimètres. f (x)

désigne l'aire de la surface colorée, c'est à dire l'aire de la figure formée par le carré MOND et le triangle COU.

1. Déterminer l'expression de f (x) en fonction de x et préciser l'ensemble de définition de f.

M étant un point mobile sur le segment [DC], DD⩽DM⩽DC . 0⩽x⩽10 df = [0 ;10 ]

Pour tout x ∈ [0 ;10 ] , f (x )=DM2+UC×CM 2

f (x )=x2+5(10−x )

f (x )=x2−5 x+50

2. Déterminer par le calcul les valeurs de x pour lesquelles f (x )=50 . f (x )=50 ⇔

{

{

{

3. Déterminer le tableau de variations de f. Justifier avec soin.

f est un polynôme de degré 2. Le coefficient de x2 _{est 1, donc positif. La représentation graphique de f est}

donc une parabole orientée vers le haut. L'abscisse de son sommet S est xS=−

−5 2×1= 5 2 . yS=f ( xS)=

(

)

(

)

x 0 5₂ 10

f (x ) 50 175

4

100

4. a) Déterminer la ou les valeur(s) de x pour lesquelles l'aire de la surface colorée est maximale.

L'aire de la surface colorée est évidemment maximum lorsque M est en C, car cette surface recouvre alors entièrement le carré CUAD, résultat qui est cohérent avec le tableau de variations de la fonction f (fort heureusement...).

5. Déterminer la ou les valeur(s) de x pour lesquelles l'aire grisée est minimale.

D'après le tableau de variations de la fonction f, le minimum de cette fonction est atteint en 5

2 . L'aire de la surface colorée est donc minimum lorsque x=2,5 cm et cette aire vaut alors 43,75 cm².

Exercice 3 : On considère la fonction f définie par f (x )= 6 x

4 – 3 x . On appelle cf sa représentation graphique dans le repère orthonormé O ;i , j fourni en annexe I.

Partie A 1. df =

]

[

]

[

3. f est une fonction homographique donc cf est une hyperbole.

Le centre de symétrie de cf est le point d'intersection des deux droites n'ayant aucun point commun avec l'hyperbole : il s'agit des droites d'équations respectives x=4₃ et y=−2 , d'après les deux questions précédentes ( 4

3 n'ayant pas d'image par f et −2 n'ayant pas d'antécédent par f ). Le centre de symétrie de cf est donc le point Ω

(

)

4. D'après la question 2., pour tout x ∈ df , f (x )=−2+ 8 4−3 x . Soit a et b deux réels de l'intervalle

]

3;+∞

[

3<a<b

0>4−3 a>4−3 b (car la fonction affine [x  −3 x+4 ] est strictement décroissante sur ℝ) 1

4−3 a< 1

4−3 b (car la fonction inverse est strictement décroissante sur ℝ

−2+ 8

4−3 a<−2+ 8

4−3 b (car la fonction affine [x  8 x−2 ] est strictement croissante sur ℝ) f (a)< f (b)

On a montré que : 4₃<a<b ⇒ f (a)< f (b)

Ce qui signifie que la fonction f est croissante sur

]

[

5. En utilisant les résultats des questions précédentes et la symétrie autour de , on peut dresser le tableau de variations de f suivant : x –∞ 4 3 +∞ f (x ) –2 +∞ –∞ –2 Partie B

Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x)=−x2

+5 x−4.

1. g est un polynôme du second degré donc cg est une parabole.

Le coefficient de x est négatif, donc la parabole est tournée vers le bas. Son sommet S a pour abscisse xS=−

5 2×(−1)= 5 2 . yS=g (xS) yS=−

(

)

(

)

g (0)=−4 donc le point d'intersection de cg avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ;−4) . 2. Connaissant les coordonnées du sommet de la parabole représentative de g, on déduit aisément la forme

canonique du polynôme : Pour tout x ∈ ℝ, g ( x)=−

(

)

[

(

)

]

[

(

)

(

)

]

[

(

)

][

(

)

]

3. D'après la forme factorisée de g, cette fonction s'annule en 1 et 4 : la parabole coupe l'axe des abscisses en (1; 0) et (4 ; 0) .

On sait de plus qu'elle est tournée vers le bas.

On peut déduire de ces deux informations que la parabole est en dessous de l'axe (O x) sur ]−∞;1 [ et sur ]4 ;+∞[ et au-dessus de l'axe (O x) sur ]1; 4[ .

D'où le tableau de signes de g :

x –∞ 1 4 +∞

Partie C 1. A (1; yA) ∈ cf donc yA=f (1)=6 A (1; 6) 2. f (x )=−3 ⇔ −2+ 8 4−3 x=−3 ⇔ _{4−3 x}8 =−1 ⇔

{

{

−3 admet 4 pour unique antécédent par f. B(4 ;−3)

3. yB−yA xB−xA

=−3−6 4−1 =−3

Donc la droite (AB) a une équation réduite de la forme y=−3 x+ p A (1; 6) ∈ (AB) donc 6=−3×1+ p , ce qui donne p=9 .

Finalement, (AB) a pour équation réduite y=−3 x+9 .

4. Résoudre graphiquement l'inéquation f (x )≤ −3 x+9 revient à chercher les abscisses des points de cf qui sont en dessous ou sur la droite (AB), s'il en existe.

D'après le graphique, l'ensemble des solutions de (I) est ]−∞;1 ]∪

]

]

b. x –∞ 1 4 3 4 +∞ 9 + ⋮ + + ⋮ + g ( x) – 0 + + 0 – 4−3 x + ⋮ + – ⋮ – 9 g (x ) 4−3 x – 0 + – 0 +