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Proposition d'une solution du jour 7

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Academic year: 2022

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Proposition d'une solution du jour 7

Soit u la suite ainsi définie : u(0)=1, pour n≥1 u(n)=u(n-1)+2 u(0)=1, u(1)=3, u(2)=5, …

On démontre par récurrence que : u(n)=1+2n.

Soit w la suite ainsi définie : w(1)=u(0)

w(2)=u(1)+u(2)

…

w(n)=u((n-1)n/2)+ ...+u((n-1)n/2+n-1) Calcul de w(n).

w(n)=1+2(n-1)n/2+1+2((n-1)n/2+1)+...+1+2((n-1)n/2+n-1) Il reste à rassembler le tout.

On a beaucoup de 1. En fait, on en a n.

Lorsqu'on distribue les 2 on a beaucoup de (n-1)n/2.

Les 2du numérateur se simplifient avec les 2 du dénominateur.

On a donc des (n-1)n. On en a n.

Donc « arrive » l'expression : (n-1)n².

Il reste : 2(1+2+...(n-1))=2n(n-1)/2=n(n-1).

Au total :

w(n)=n+(n-1)n²+n(n-1)=n+nxn²-n²+n²-n=n3.

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