Soit F une fonction définie sur un intervalle I
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Texte intégral
(2) Classe de Term S. 2). Intégrales. Interprétation géométrique. T. Si f est positive sur [a ; b]. a). Définition Si f est continue et positive sur [a ; b], l’intégrale. Zb. f (x) dx est l’aire exprimée en u.a. du domaine délimité par :. NE. a. • la courbe représentative de f ; • les droites d’équations x = a et x = b ;. a. Remarque. ON. • l’axe des abscisses.. b. Le domaine considéré peut être caractérisé par le système :. b). Si f est négative sur [a ; b]. Si f est continue et négative sur [a ; b], l’intégrale délimité par :. Zb. a6x6b . 0 6 y 6 f (x). UJ. Définition. ß. −f (x) dx = −. a. Zb. f (x) dx est l’aire exprimée en u.a. du domaine. a. • la courbe représentative de f ;. • les droites d’équations x = a et x = b ;. MA. • l’axe des abscisses.. a. b. P.. En effet la courbe représentative de −f dans une repère orthogonale est la symétrique de la courbe représentative de f de la même courbe par rapport à l’axe des abscisses.. Remarque. Le domaine considéré peut être caractérisé par le système :. ß. 2. a6x6b . f (x) 6 y 6 0.
(3) Classe de Term S Cas quelconque. Exemple La fonction f définie sur [−1 ; 2] par f (x) = x3 est représentée ci-dessous :. A2. A1. 0 −1. −1. NE. 8 7 6 5 4 3 2 1 1. 2. Calculer l’aire coloriée en bleu.. ON. • Résolution :. T. c). Intégrales. ß. ◦ f est positive sur [0 ; 2] donc l’aire du domaine défini par. A1 =. Z2 0. x4 x dx = 4 ï. 3. ò2. A2 = −. x dx = 3. −1. ß. est :. 24 04 − =4 4 4. −1 6 x 6 0 est : x3 6 y 6 0. ï 4 ò0 Å ã x 04 (−1)4 1 −x dx = − =− − − = 4 −1 4 4 4 3. UJ. −1. Z0. =. 0. ◦ f est négative sur [−1 ; 0] donc l’aire du domaine défini par Z0. 06x62 0 6 y 6 x3. ◦ L’aire du domaine bleu est : A1 + A2 = 4 +. 1 17 = u.a. 4 4. Remarque Z2 ï 4 ò2 24 x (−1)4 1 15 17 3 = x dx = − =4− = 6= . 4 −1 4 4 4 4 4 −1. MA. Exercice 1. P.. On considère la fonction définie sur R par f (x) = e2x − 4ex + 3 représentée ci-dessous :. Calculer l’aire (en u.a.) du domaine en vert.. 3.
(4) Classe de Term S. Propriétés. a). Règles élémentaires Propriété Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I. f (x) = −. b. Za. Zb a. f (x) dx = 0. a. Preuve • Soit F une primitive de f sur I. ◦. f (x) = F (a) − F (b) = −(F (b) − F (a)) = −. ◦. f (x) dx = F (a) − F (a) = 0. a. b). f (x) dx. a. b. Za. Zb. ON. Za. f (x) dx. NE. Za. T. 3). Intégrales. Linéarité de l’intégrale. Propriété. UJ. Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soient a et b deux éléments de I. Soit λ un réel. Zb. f (x) + g(x) dx =. Zb. a. f (x) dx +. a. Zb. λf (x) dx = λ. a. Preuve. Zb. Zb. g(x) dx. a. f (x) dx. a. MA. • Soient F et G des primitives respectivement de f et g sur I. F + G est une primitive de f + g sur I et λF est une primitive de λf sur I.. •. Zb. f (x) + g(x) dx = (F (b) + G(b)) − (F (a) + G(a)) = F (b) − F (a) + G(b) − G(a) =. a. •. Zb. λf (x) dx = λF (b) − λF (a) = λ(F (b) − F (a)) = λ. a. a. Zb. f (x) dx. a. Exercice 2. On pose I =. Z2 0. 1 dx et J = ex + 3. Z2 0. ex dx. ex + 3. 1. Démontrer que 3I + J = 2 sans calculer I et J.. P.. Zb. 2. Calculer J.. 3. En déduire I.. 4. f (x) dx +. Zb a. g(x) dx.
(5) Classe de Term S c). Intégrales. Relation de Chasles. T. Propriété. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a, b et c trois éléments de I. f (x) dx =. Zb. f (x) dx +. a. a. a. Zb ◦. f (x) dx +. Zc. a. d). c. b. ON. • Soit F une primitive de f sur I.. f (x) dx. b. Si f > 0 et si a < b < c :. Preuve. Zc. NE. Zc. f (x) dx = F (b) − F (a) + F (c) − F (b) = F (c) − F (a) =. Zc. f (x) dx. a. b. Positivité de l’intégrale. Propriété. UJ. • Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] avec a 6 b, alors : Zb. f (x) dx > 0. a. • Si f et g sont deux fonctions continues telles que f 6 g sur un intervalle [a ; b] avec a 6 b, alors : Zb. f (x) dx 6. MA. a. Zb. g(x) dx. a. Cg. Cf. a. b. Elément de preuve. • Si f est continue et positive sur [a ; b], l’aire. Zb. f (x) dx est positive.. a. P.. • Si f 6 g sur [a ; b], g − f > 0 sur cet intervalle et donc, selon la première partie de la propriété : Zb a. (g(x) − f (x)) dx > 0 ⇐⇒. Zb. Zb g(x) −. a. a. 5. f (x) d > 0 ⇐⇒. Zb a. f (x) dx 6. Zb a. g(x) dx.
(6) Classe de Term S. Intégrales. Exercice 3. π. sinn (x) dx.. T. Pour tout entier naturel n, on définit : In =. Z4 0. 1. (a) Calculer I0 et I1 . (b) Démontrer que pour tout entier naturel n : In > 0.. NE. (c) Démonter que pour tout entier naturel n : In > In+1 .. (d) Justifier que la suite (In ) converge. h πi par f (x) = x − sin x. 2. Soit f la fonction définie sur 0 ; 4 h πi (a) Déterminer le tableau de variations de f sur 0 ; . 4 h i π (b) En déduire que pour tout x de 0 ; : 0 6 sinn (x) 6 xn . 4 (c) En déduire un encadrement de In .. ON. 3. Déterminer alors la limite de la suite (In ).. Propriété. Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] telles que pour tout x de [a ; b] : f (x) 6 g(x). Zb (g(x) − f (x)) dx est l’aire (en u.a.) du domaine délimité par : a. • les courbes représentatives de f et de g ;. UJ. • les droites d’équations x = a et x = b. ß a6x6b c’est-à-dire du domaine caractérisé par : . f (x) 6 y 6 g(x). Zb. Cg. a. Cf. P.. MA. a. 6. b. (g(x) − f (x)) dx.
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