2.1 Syst` eme dynamique

Organisation du cours

– Pr´esence indispensable au cours et au TD (pr´evenir en avance par courrier ´electronique en cas d’absence).

– Distribution des exercices de TD au moins une semaine `a l’avance. Ils devront ˆetre cherch´es.

– Devoir de mi-semestre.

– ´Eventuellement s´eance de TD num´erique.

– Examen avec documents.

Plan du cours

Plan

1. Introduction-D´efinitions

2. Notions g´en´erales sur la stabilit´e

3. Syst`eme dynamique unidimensionnel (droite et cercle) 4. Syst`eme dynamique bidimensionnel

5. Syst`eme `a plus de deux dimensions – Chaos

Table des mati` eres 1 Introduction

Dynamique

La dynamique traite de l’´evolution temporelle des syst`emes, qu’ils soient physiques, biologiques,

´

econom. ou un pur objet/jouet math.

Newton (1966) Fondements de la dynamique et loi de la gravitation permettent de trouver les lois de Kepler.

18^eet 19^esi`ecles D´eveloppement de l’analyse et de la m´ecanique classique. ´Etude du mouvement des plan`etes.

autour de 1890 Poincar´e explore le probl`eme `a trois corps et la stabilit´e du syst`eme solaire.

Possibilit´e de chaos car sensibilit´e aux conditions initiales.

1920-1950 Etude des oscillations nonlin´´ eaires (radio, radar, laser)

1920–1960 Birkhoff, K.A.M., montre que la m´ecanique hamiltonienne peut ˆetre tr`es complexe 1963 Lorenz et les attracteurs ´etranges

ann´ees 1970 Ruelle-Talkens, Feigenbaum, Mandelbrot Importance de la nonlin´earit´e

– Nous allons ´etudier des syst`emes dynamiques. Ces derniers peuvent s’´ecrire : dx

dt =F(x, t).

– Si la fonction Fne d´epend pas du temps (syst`eme autonome) et est lin´eaire enx, on verra que l’on peut parfaitement calculer l’´evolution du syst`eme.

– Quand Fest quelconque, et particuli`erement une fonction nonlin´eaire dex, les choses sont singuli`erement plus complexes . . . mais bien plus int´eressantes !

2 D´ efinitions

2.1 Syst` eme dynamique

– Notre syst`eme est d´efini par un certain ensemble devariables d’´etats x= (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, . . . , x<sub>d</sub>) `a valeurs dans dans l’espace des ´etatsdedimension d.

– Variables d’´etats et espace des ´etats sont aussi appel´esdegr´es de libert´eetespace des phases.

– L´´evolution temporelle du syst`eme est suppos´ee strictement d´eterministe : pour un ´etat initial donn´e, il correspond un seul ´etat final.

– Si le temps estdiscret, on a affaire `a uneit´eration : x_k+1=G(x_k;k).

– Si le temps estcontinu, on a affaire `a unsyst`eme d’´equations diff´erentielles(ouflot) : dx

dt =F(x;t), o`uFd´efinit unchamp de vecteurs sur l’espace des ´etats.

2.2 Trajectoire

Trajectoire

D´efinition Latrajectoire est l’ensemble des valeurs prises par les variables ´etats entre l’instant initial et l’instant final. On parle aussi d’orbite.

Remarque Le caract`ere d´eterministe implique existence etunicit´e de la solution (siFest C¹ce que l’on supposera toujours v´erifi´e).

Remarque L’instant final n’est pas forc´ement infini. Le syst`eme peut diverger en temps fini : dx

dt =−x⁻², x(t) =− 1

t−t0+x(0)⁻¹.

2.3 R´ eduction au premier ordre

Supposons que l’´equation de la dynamique du probl`eme fasse intervenir des d´eriv´ees d’ordre sup´erieur `a un.

Par exemple, la seconde loi de Newton d´ecrit l’´evolution d’un syst`eme m´ecanique : md²r

dt² =X

i

fi

fait intervenir de la d´eriv´ee seconde de la position.

Et il existe bien d’autres exemples (circuit ´electronique, etc).

Si, plus g´en´eralement, notre syst`eme ob´eit `a l’´equation diff´erentielle de degr´en: dⁿy

dtⁿ =f

y,dy

dt, . . . ,dⁿ⁻¹y dtⁿ⁻¹

,

il suffit de poser : x₁ = y, x₂ = ^dy_dt, . . . , x_n = ^d_dtⁿ⁻¹n−1^y, pour que le syst`eme se mette sous la forme :

d dt











 x₁ x₂ . . . x_n−1

xn













=













x₂ x₃ . . . xn

f(x1, x2, . . . , x_n−1)













Exemple du formalisme de m´ecanique analytique Soit un syst`eme m´ecanique conservatif d´ecrit par :

md²x

dt² =−∂V

∂x. Posons :

q=x, p=mdx

dt =mdq dt.

La dynamique peut ˆetre sous forme d’un syst`eme du 1^erordre de dimension 2 : d

dt p

q

=

−^∂V_∂q,

p m

2.4 Syst` eme autonome

Syst`eme autonome

D´efinition Un syst`eme dynamiqueautonome est un syst`eme qui ne d´epend pas explicitement du temps.

dx

dt =F(x).

Propri´et´e Un syst`eme non autonome de dimensionn: dx

dt =F(x;t),

peut toujours ˆetre ramen´e `a un syst`eme autonome de dimensionn+ 1 en posantt=xn+1: d

dt x

x_n+1

=

F(x, x_n+1) 1

.

Conclusion

Il est toujours possible de se ramener l’´evolution du syst`eme `a un syst`eme dynamique autonome sous forme d’´equation diff´erentiel d’ordre 1 en augmentant suffisamment la dimension du syst`eme initial.

3 Syst` emes conservatifs vs syst` emes dissipatifs

3.1 Volume dans l’espace des phases

Evolution temporelle du volume dans l’espace des phases´ D´efinition L’´el´ement de volume estδV=dx₁dx₂. . . dx_n

A l’instant` t:δV(t) =dx₁(t)dx₂(t).

A l’instant` t+dt:

dx1(t+dt) =x⁰₁(t+dt)−x1(t+dt)

'x⁰₁(t) +F1(x⁰₁, x2)dt−x1(t)−F1(x1, x2)dt 'x⁰₁(t) +F1(x1+dx1, x2)dt−x1(t)−F1(x1, x2)dt

'dx1+ (∂x₁F1)dx1dt=dx1(1 +∂x₁F1dt) δV(t+dt) =dx1(t+dt)dx2(t+dt)'dx1dx2(1 +∂x₁F1dt+∂x₂F2dt)

=δV(t)(1 +∇·Fdt).

Divergence

– La divergence :

divF=∇·F=

n

X

i=1

∂x₁Fi

– La divergence du champ de vecteur Fest la variation relative du volume dans l’espace des phases pendant un temps dt.

– Si le flot est divergent ∇·F>0 , le volume se dilate.

– Si le flot est convergent,∇·F<0 , le volume se contracte.

3.2 Syst` emes conservatifs

Conservation du volume : th´eor`eme de Liouville

– Les syst`emes conservatifs sont ceux pour lequel le volume dans l’espace des phases est conserv´e.

– Exemple de la m´ecanique hamiltonienne : d

dt p

q

=

−^∂V_∂q,

p m

= −^∂H_∂q,

∂H

∂p

!

, o`uH = p²

2m+V(q).

– La divergence vaut :

∂p˙

∂p +∂q˙

∂q =−∂²H

∂q∂p− ∂²H

∂p∂q = 0

– Th. de Liouville : Pour un syst`eme hamiltonien, la dynamique conserve le volume dans l’espace des phases.

– Les syst`emes hamiltoniens conservent leur ´energieHet le champ de vecteurs est donc tangent aux lignes de iso-´energies.

3.3 Syst` emes dissipatifs

Syst`emes dissipatifs

– Un syst`eme est dit dissipatif, s’il y a contraction du volume dans l’espace des phases.

– Exemples : oscillations amorties.

4 Syst` eme gradient ou non

4.1 Exemple ` a une dimension

– Soit le syst`eme autonome `a une dimension : dx

dt =F(x).

– Il est toujours possible de d´efinir Gpar : G(x) =−

Z

dx⁰F(x⁰).

– La dynamique du syst`eme est donn´ee alors par : dx

dt =−∂G

∂x. – On en d´eduit queGd´ecroˆıt au cours du temps :

dG(x) dt = ∂G

∂x dx

dt = ∂G

∂x

−∂G

∂x

=− ∂G

∂x ²

<0.

Syst`eme “sur-dissip´e”

– Imaginons un syst`eme m´ecanique dissipatif soumis `a un frottement : md²x

dt² =−kdx dt −∂V

∂x

– Si l’on suppose que le temps d’amortissementτ= ^m_k est plus petit que le temps d’´evolution du syst`eme alors on peut r´eduire la dimension du syst`eme :

0 =−kdx dt −∂V

∂x, dx dt =−1

k

∂V

∂x – On obtient un syst`eme potentiel.

– Mais attention, r´eduire la dimension d’un syst`eme est tr`es pratique mais peut ˆetre dangereux !

4.2 Syst` eme d’ordre sup´ erieur ` a 1

– Soit le syst`eme autonome `andimension : dx

dt =F(x).

– Il n’est pas toujours possiblede d´efinir le potentiel Gpar : gradG=−F(x).

– Si c’est possiblealors :

dx

dt =−∂G

∂x. et Gd´ecroˆıt au cours du temps :

dG(x)

dt = (gradG)dx

dt =−(gradG)²<0.

et le syst`eme tend `a minimiser localementG(x).

– Le champ de vecteur est perpendiculaire aux isopotentielles Condition d’existence d’un potentiel

– Si Fest telle qu’il existe

gradG=−F(x), alors l’identit´e de Schwarz doit ˆetre v´erifi´ee :

∂²G

∂x_i∂x_j = ∂²G

∂x_j∂x_i – R´eciproquement, si Fest telle que :

∂F_i

∂xj

=∂F_j

∂xi

, alorsFd´erive d’un potentiel.

– Remarque : Les syst`emes hamiltoniens ne sont pas des syst`emes potentiels.

5 Param` etre(s) de contrˆ ole

– Ce qui nous int´eressera particuli`erement, c’est la sensibilit´e de notre syst`eme aux variations de certains param`etres du syst`eme dynamique.

– Pour expliciter le rˆole de ces param`etres (g´en´eralement il n’y ne aura qu’un seul), on ´ecrira : dx

dt =F(x, t;r), o`urrepr´esenteles param`etres de contrˆole du syst`eme.

Quelques exemples de param`etres de contrˆole :

– Le nombre de Reynolds : Re= ^{U L}_ν contrˆole la turbulence.

– Le nombre de Rayleigh : Ra=^{gα∆T ,H}_νκ ³ contrˆole la turbulence – et plein d’autres ...