Universit´e Paris–Sud L1 – Calculus Math101
Math´ematiques 1er semestre 17/18
Questions pour le test 3
Continuit´e, d´erivabilit´e
A pr´eparer pour la semaine du 13 novembre
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la r´eponse par une d´emonstration ou un contre-exemple.
1.— La fonction qui `a xassocief(x) =|x−π|sin(x) est d´erivable surR. 2.— Sif est d´erivable en x0, alors :
h→0lim
f(x0+ 3h)−f(x0+h)
h = 2f0(x0). 3.— On a, pourxvoisin de 0 :
esin(2x)= 1 + 3x+x(x) avec lim
x→0(x) = 0.
4.— Toute fonctionf d´erivable sur [−2,3] et telle quef0(1) = 0 admet un extremum local en 1.
5.— Toute fonction d´efinie au voisinage d’un pointaet continue enaest d´erivable ena.
6.— La fonctionf(x) = tan3xest d´erivable sur ]−π/2, π/2[ de d´eriv´eeg(x) = tan4x+ tan2x.
7.— La fonctionx7→ √x
1+x2 n’admet ni maximum ni minimum surR.
8.— La fonctionx7→x+ 2 sin(x) admet une infinit´e de minima et de maxima relatifs surR. 9.— La fonctionx→3x5−10x3−15x+ 15 admet deux extrema locaux en des r´eelsx0 et −x0
avecx06= 0
10.— Toute fonction f : [0,1]→Rborn´ee admet un maximum sur [0,1].
11.— Toute fonction f : [0,1]→Rcontinue admet un maximum sur [0,1].
12.— Toute fonction p´eriodique et continue surRadmet un maximum surR. 13.— Si xety sont des r´eels compris entre−1 et 1 alors
|x2013−y2013| ≤2013|x−y|.
14.— Pour tout entier naturelnstrictement positif, on a 1
2√
n+ 1 <√
n+ 1−√ n < 1
2√ n. 15.— L’in´egalit´e cos(x)−1≤xest vraie pour toutx∈R. 16.— Si 1< a < balors il existec∈]a, b[ tel que
lna lnb = exp
a−b cln(c)
.
17.— La fonctionf :R→R, x7→
x2sin(1x) si x6= 0
0 si x= 0 est de classeC1surR.
