Chapitre2-les matrices(SMPC)

(1)

UNIVERSIT ´E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULT ´E DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’alg `ebre 2

MOUANIS Hakima et MOUNIRH Karim

(2)

Chapitre 2

M

ATRICES ET

D ´

ETERMINANTS

(3)

Matrices D ´efinitions et exemples

D ´efinitions

D ´efinition

Soient m et n deux entiers naturels non nuls, on appelle matrice de type (n, m) et `a termes dans K, tout tableau

A = (aij)1≤i≤n 1≤j≤m =         a11 . . . a1j . . . a1m .. . ... ... ... ... ai1 . . . aij . . . aim .. . ... ... ... ... an1 . . . anj . . . anm         .

(4)

D ´efinitions

1 _{Lorsque n = m, on dit que la matrice est carr ´ee d’ordre n.}

2 _{Une matrice de type (n, m) est dite uniligne ( resp. unicolonne ) lorsque}

n = 1 (resp m = 1 ).

3 _{L’ensemble des matrices `a termes dans Ket de type (n, m) est not ´e :}

Mn,m(K).

4 _{L’ensemble des matrices carr ées d’ordre n et à termes dans K est not é}

simplement :Mn(K). 5 _{La matrice uniligne (a}

i1. . .aij. . .aim)est la i-i `eme ligne de la matrice A.

6 _{La matrice unicolonne C} ₌     a1j .. . a    

(5)

Egalit ´e de deux matrices

D ´efinition

Deux matrices A = (aij) ∈ Mn,met B = (bij) ∈ Mp,q(K) sont dites ´egales si,

et seulement si

1 elles sont de m ˆeme type, c’est `a dire n = p et m = q, 2 _{pour tout 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m, on a a}

(6)

Quelques types de matrices carr ´ees d’ordre n

Exemples In=         1 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 1         | {z }

Matrice identit ´e

0n,m=         0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 0         | {z } Matrice nulle 0n=         0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0                 a 0 . . . 0 0 a 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0        

(7)

Quelques types de matrices carr ´ees d’ordre n

Exemple         a1 0 . . . 0 0 a2 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 an         | {z } Matrice diagonale         a11 a12 . . . a1n 0 a22 a23 . . . a2n .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... a(n−1)n 0 . . . 0 ann         | {z }

Matrice triangulaire sup ´erieure         a11 0 . . . 0 a21 a22 0 . . . 0 .. . . .. ... . .. ... .. . . .. . .. 0        

(8)

Matrices Op ´erations sur les matrices

Addition et multiplication par un scalaire

D ´efinition

Soient A = (aij) ∈ Mn,m(K) et B = (bij) ∈ Mn,m(K) deux matrices de m ˆeme

type (n, m). On appelle matrice somme de A et B la matrice A + B = (cij)de

type (n, m) avec cij=aij+bij.

On ne peut pas faire la somme de deux matrices de type diff ´erents.

Exemple −1 2 12 3 1 1 0 −5 + 1 0 −2 8 −3 6 0 −4 = −1 + 1 2 + 0 12 + (−2) 3 + (−4) 1 + (−3) 1 + 6 0 + 0 −5 + (−4) = 0 2 10 −1 −2 5 0 −9

(9)

Addition et multiplication par un scalaire

D ´efinition

Soit A = (aij) ∈ Mn,m(K) et α ∈ K , on note par α.A, ou bien tout simplement

αA, la matrice d ´efini par :

α.A := (αaij) ∈ Mn,m(K)

. En particulier, on note par −A la matrice (−1)A = (−aij) Exemple 3   1 −3 4 2 0 −5 −6 1 −2  =   3 −9 12 6 0 −15 −18 3 −6  

(10)

Addition et multiplication par un scalaire

Proposition Soient A, B ∈ Mn,m(K). 1 _{A + B = B + A} 2 _{(A + B) + C = A + (B + C)} 3 _{A + 0} n,m =A 4 _{A + (−A) = 0} n,m

5 _{(α + β)A = αA + βA} 6 _{α(A + B) = αA + αB} 7 _{(αβ)A = α(βA)} 8 _{1A = A}

(11)

Multiplication de deux matrices

Produit d’une matrice uniligne par une matrice unicolonne

Le produit d’une matrice uniligne (a11. . .a1j. . .a1m)de type (1, m)par une

matrice unicolonne         b11 .. . bi1 .. . bm1        

de type (m, 1) est d ´efini par :

(a11. . .a1j. . .a1m)        b11 .. . bi1 .. .        = (a11b11+ · · · +a1ibi1+ · · · +a1mbm1).

(12)

Multiplication de deux matrices

Exemples Soient A = (2, 0, 1, −3) de type (1, 4) et B =     2 −1 0 4     de type (1, 4) Par d ´efinition AB = (−8)

(13)

Multiplication de deux matrices

Produit de deux matrices

Soient A ∈ Mn,m(K) et B ∈ Mm,p(K) (A a autant de colonnes que B a de

lignes). Le produit AB est une matrice de type (n, p), dont le coefficient Cij est

(14)

Multiplication de deux matrices

Produit de deux matrices

AB=         a11 . . . a1m .. . ... ai1 . . . aim .. . . . ... an1 . . . anm              b11 . . . b1j . . . b1p b21 . . . b2j . . . b2p .. . ... ... bm1 . . . bmj . . . bmp      =          c11 . . . c1j . . . c1p .. . ... ... ci1 . . . cij . . . cip .. . . . . ... . . . ... c . . . ... . . . c         

(15)

Multiplication de deux matrices

Remarque

Le produit AB des matrices A et B n’est possible que si le nombre des colonnes de la matrice de gauche A est ´egal au nombre des lignes de la matrice de droite B.

(16)

Multiplication de deux matrices

Exemple 2 0 1 3 −1 2   2 0 1 1 −1 1 3 1 0 1 0 2  = 4 1 2 4 7 3 0 6

(17)

Multiplication de deux matrices

Propri ´et ´es

1 _{Soient A ∈ M}

n,m(K).

AIm=A et InA = A

2 _{Soient A ∈ M}

n,m(K), B ∈ Mm,p(K) et C ∈ Mp,q(K) trois matrices.

Alors, (AB)C = A(BC) qu’on note par ABC, c’est `a dire ABC = (AB)C = A(BC).

3 _{Soient A ∈ M}

n,m(K), B ∈ Mn,m(K) et C ∈ Mm,p(K) trois matrices. Alors,

(A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC

4 _{Soient A ∈ M}

n,m(K), B ∈ Mm,p(K) et λ ∈ K.

(18)

Multiplication de deux matrices

Remarque

La multiplication des matrices n’est pas commutative, c’est `a dire, il existe des matrices A et B tel que AB et BA existent mais AB 6= BA.

Soient A = 0 2 1 1 et B = 1 0 1 1 On a AB = 2 2 2 1 mais BA = 0 2 1 3 .

(19)

Multiplication de deux matrices

Remarque

Le produit de deux matrices peut ˆetre nul alors qu’aucune des matrices n’est nulle. Soient A = 0 1 0 0 et B = 1 2 3 0 0 0 On a AB = 02,3mais A 6= 02et B 6= 02,3.

Rappelons que 02est la matrice nulle d’ordre 2 et 02,3 est la matrice nulle de

(20)

Multiplication de deux matrices

Remarque AB = AC ; B = C Soient A = 0 −1 0 3 , B = 4 −1 5 4 et C = 2 5 5 4 . On a AB = AC = −5 −4 15 12 mais B 6= C.

(21)

Matrices Transpos ´ee d’une matrice

Transpos ´ee d’une matrice

D ´efinition

Soient m, n deux entiers naturels non nuls et A = (aij)1≤i≤n 1≤j≤m

une matrice de type (n, m). On appelle matrice transpos ´ee de A, la matricet_{A, de type (m, n),}

d ´efinie par : t_{A = (a}0 ij)1≤i≤m 1≤j≤n , a0_ij =aji. Exemple Soit A =   3 1 2 0 −5 0  . On a t_{A =} 3 2 −5 1 0 0

(22)

Matrices Transpos ´ee d’une matrice

Transpos ´ee d’une matrice

Proposition

Soient n, m, p des entiers naturels non nuls.

1 t₀ n,m=0n,m 2 tI n=In 3 ∀A ∈ M n,m(K) :t(tA) = A. 4 ∀λ ∈ K, ∀A ∈ M n,m(K) :t(λA) = λtA. 5 ∀A, B ∈ M n,m(K) :t(A + B) =t A +tB. 6 _{∀A ∈ M} n,m(K) et ∀B ∈ Mm,p(K) :t(AB) =t BtA.

(23)

Matrices Inverse d’une matrice

Inverse d’une matrice

D ´efinition

Soit A = (aij)une matrice carr ´ee d’ordre n, non nulle. A est dite inversible s’il

existe une matrice carr ´ee B v ´erifiant : AB = AB = In.

Dans ce cas, B est unique appel ´e l’inverse de A et on note B = A−1.

Exemple Soient A = 1 2 1 1 et B = −1 2 1 −1

(24)

Matrices Inverse d’une matrice Exemple La matrice A = −1 −2 2 4

n’est pas inversible. En effet, Soit B =

a b c d

tel que AB = I2. Ceci est ´equivaut `a :

       −a − 2c = 1 −b − 2d = 0 2a + 4c = 0 2b + 4d = 1

(25)

Inverse d’une matrice

Exercice

Soit n un entier naturel non nul et A une matrice carr ée d’ordre n v érifiant l’ équation A3₊_{3A − 2I}

n=0n.

(26)

Inverse d’une matrice

Notation

Pour tout entier naturel non nul n, l’ensemble des matrices inversibles d’ordre n est not ´e GLn(K).

(27)

Inverse d’une matrice

Propri ´et ´es

Soient n, m deux entiers naturels non nuls.

1 ₀ n∈ GL/ n(K). 2 I n∈ GLn(K) et In−1=In. 3 ∀A, B ∈ GL n(K) : AB ∈ GLn(K) et (AB)−1=B−1A−1. 4 ∀A ∈ GL n(K) : A−1∈ GLn(K) et (A−1)−1=A. 5 ∀A ∈ GL n(K) et ∀B, C ∈ Mn,m(K) : AB = AC ⇒ B = C

(28)

Matrices Rang d’une matrice

Rang d’une matrice

D ´efinition

Soient n, m deux entiers naturels non nuls et A = (aij) ∈ Mn,m(K).

Pour tout i = 1, . . . , n, notons Li = (aii, ..,aim)et pour tout j = 1, . . . , m, notons

Cj = a1j, ..,anj.

L1, . . . ,Lnsont appel ´es les lignes de A

C1, . . . ,Cmsont appel ´es les colonnes de A.

rg(C1, . . . ,Cm)est appel é rang de A et not é rgA. Th éor ème

En adaptant les hypoth èses de la d éfinition pr éc édente, on a rg(C1, . . . ,Cm) =rg(L1, . . . ,Ln)

(29)

Rang d’une matrice

Exercice Soit A =       1 1 1 1 1 2 0 0 3 4 2 2 1 2 1 −1 2 4 1 −1       rg(A) = rg(L1,L2,L3,L4,L5)

On a L5=L4+L2et L3− L2=2L1. On montre que {L1,L2,L4} est libre.

(30)

Rang d’une matrice

Proposition

Si A est une matrice de type (n, m) alorsrg(A) ≤ Inf (n, m)(rg(A) ≤ n et rg(A) ≤ m). Exemple Soit A =   1 3 2 −5 1 4 1 2 0 1 −1 7 

(31)

Rang d’une matrice

Th ´eor `eme

Une matrice carr ée est inversible si et seulement sison rang égale à son ordre. Exemple Soit A =   1 2 0 3 4 1 2 2 1  

L3=L2− L1et {L1,L2} est libre. Donc rg(A) = 2 6= 3. Alors A n’est pas

(32)

Transformations de Gauss Forme ´echelonn ´ee d’une matrice

Matrice ´echelonn ´ee

D ´efinition

Soient n, m deux entiers naturels non nuls.

Une matrice A ∈ Mn,m(K) est dite à lignes échelonn ées et on note m.l.e si

1 _{Toute ligne nulle n’est suivie que de lignes nulles.}

2 _{le nombre de z ´eros commenc¸ant une ligne croˆıt strictement ligne par}

ligne. Exemple A =     1 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 0 0 0 4 −3 0 0 0 0 2     .

(33)

Matrice ´echelonn ´ee

Remarque

1 _{Une matrice carr ´ee qu’est m.l.e et qui n’a pas de lignes nulles, est une}

matrice triangulaire sup ´erieure.

2 _{Si une matrice m.l.e a strictement plus de lignes que de colonnes, alors}

(34)

Matrice échelonn ée r éduite canonique

D ´efinition

Une matrice A ∈ Mn,m(K) est dite à lignes échelonn ées r éduite et on note

m.l.e.r si

1 A est m.l.e.

2 _{Le premier él ément non nul de toute ligne (le pivot) est égal à 1.}

D ´efinition

Une matrice A ∈ Mn,m(K) est dite à lignes échelonn ées r éduite canonique et

on note m.l.e.r.c si

1 _{A est m.l.e.r}

(35)

Matrice échelonn ée r éduite canonique

Exemple A =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  

Matrice échelonn ée r éduite canonique B =     0 1 −3 0 0 2 0 0 1 0 0 0    

(36)

Matrice échelonn ée r éduite canonique

Exemple C =     1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0    

Matrice échelonn ée r éduite non canonique D =   1 0 6 0 1 3 0 0 0  

(37)

Matrice échelonn ée r éduite canonique

Remarque

Si une matrice carr ée est échelonn ée r éduite canonique et n’a pas de lignes nulles, alors c’est la matrice identit é.

(38)

Transformations de Gauss Op érations él émentaires

Dans la suite on vas utiliser ce qu’on appelle les op érations (ou bien les transformations ) él émentaires de Gauss dans le but de v érifier si une matrice est inversible ou non et par suite de calculer son inverse (lorsque c’est

(39)

Op érations él émentaires

1 Permutation L i ↔ Lj 2 _{l’op ´eration : L} i → αLi, avec α 6= 0. 3 _{l’op ´eration : L} i → Li+ αj· Lj.

Ces op érations sont appel éesop érations él émentaires sur A (ou bien transformations él émentaires de Gauss)

(40)

Op érations él émentaires

Exemple B =     1 2 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1     ∼     1 2 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1     L3− L1 L4− L1 ∼     1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 −1 0 1     L2+L4 L3+2L4 ∼     1 2 1 0 0 −1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0     L4 L2 L3

(41)

Op érations él émentaires

∼     1 2 1 0 0 1 0 −1 0 0 1 1 0 0 0 0    

échelonn ée r éduite

∼     1 0 0 3 0 1 0 −1 0 0 1 1 0 0 0 0     L1− 2L2− L3

(42)

Transformations de Gauss Application des transformations ´el ´ementaires

Application 1 : Calcul du rang

Proposition

Soient A et B deux matrices de m ême type. Si B est obtenue à partir de A par des op érations él émentaires, alorsA et B ont le m ême rang.

Exemple Le rang de la matrice A =

  0 3 −1 0 3 2 1 4 1 1 2 4   ´egale le rang de la matrice B =   1 1 2 4 3 2 1 4 0 3 −1 0  .

(43)

Application 1 : Calcul du rang

Proposition

Le rang d’une matrice échelonn ée est égal au nombre de ses lignes non nuls.

Exemple Le rang de       1 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 0 0 0 4 −3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0       ´egale `a 4

(44)

Application 1 : Calcul du rang

Soit la matrice A =     2 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 1 0 0 4 −3 2 −1 1 2 2     A =     2 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 1 0 0 4 −3 2 −1 1 2 2     ∼     2 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 0 −3 1 8 −6 0 −4 2 2 2     2L2− L1 L4− L1 ∼     2 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 0 −3 1 8 −6 0 −2 1 1 1     1 2L2 ∼     2 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 0 0 5 2 14 9 2 0 0 2 5 2     L3+3₂L2 L4+L2 ∼    2 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 5 9    L4−4L3

(45)

Application 2 : Calcul de l’inverse d’une matrice

Th ´eor `eme

Une matrice carr ée d’ordre n est inversible si, et seulement si, sa forme échelonn ée r éduite canonique est la matrice identit é In.

Soit n ∈ N et P ∈ Mn(K).

Posons M = (P|In). On cherche une m.l.e M

0

´equivalente `a M. M0 est de la forme (A|B).

Si rgA 6= n alors P n’est pas inversible.

Si rgA = n alors P est inversible. Dans ce cas on cherche la m.l.e.r.c M00 associ ´ee `a M0.

(46)

Transformations de Gauss Application des transformations ´el ´ementaires Exercice Soit la matrice B =   2 3 −1 0 2 1 1 0 0  .

(47)

Application 2 : Calcule de l’inverse d’une matrice

Consid ´erons la matrice   2 3 −1 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1   ∼   1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 2 3 −1 1 0 0   ∼   1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 0 3 −1 1 0 −2   L3− 2L1 ∼   1 0 0 0 0 1 0 5 0 1 1 −2 0 3 −1 1 0 −2   L2+L3 ∼   1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 5 1 5 −2 5 0 3 −1 1 0 −2  1₅L2

(48)

Application 2 : calcule de l’inverse d’une matrice

∼   1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 5 1 5 −2 5 0 0 −1 2 5 −3 5 −4 5   L3− 3L2 ∼   1 0 0 0 0 1 0 1 0 1₅ 1₅ −2₅ 0 0 1 −2₅ 3₅ 4₅   − L3 Donc B−1=   0 0 1 1 5 1 5 −2 5 −2 5 3 5 4 5  

(49)

Application 3 :R ésolution des syst èmes lin éaires

D ´efinition

On appelle syst ème d’ équations lin éaires à coefficients dans K un syst ème d’ équations de type          a11x1 + a12x2 + . . . a1mxm = b1 a21x1 + a22x2 + . . . a2mxm = b2 .. . ... ... ... an1x1 + an2x2 + . . . anmxm = bn

o `u x1, . . . ,xmsont les inconnus et les nombres aij sont les coefficients du

syst `eme.

Exemple



(50)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

La forme matricielle

Un syst ème d’ équations lin éaires peut aussi s’ écrire sousla forme matricielle:

AX = b avec A =      a11 . . . a1m a21 . . . a2m .. . ... ... an1 . . . anm      , X =      x1 x2 .. . xm      et b =      b1 b2 .. . bn     

(51)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

Propori ´et ´e

Posons (A|b) =      a11 . . . a1m b1 a21 . . . a2m b2 .. . ... ... an1 . . . anm bn     

qu’on appelle la matrice ´elargie de

A en ajoutant la colonne b.

1 _Si_{rang A = rang (A|b) = le nombre des inconnus = m}_{alors le syst `eme}

admetune solution unique.

2 _Si_{rang A = rang (A|b) < le nombre des inconnus = m}_{alors le syst `eme}

admetune infinit ´e de solutions.

(52)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

D ´efinition et notation

Soient Σ et Σ0 deux syst èmes d’ équations lin éaires. Si Σ et Σ0 ont les m êmes solutions on dit que Σ est équivalent à Σ0 et on note Σ ⇔ Σ0.

Th ´eor `eme

Soient n, m ∈ N∗_{, A, A}0 _{∈ M}

n,m(K), b, b

0

∈ Kn_{, Σ le syst `eme d’ ´equation}

lin éaires de matrice élargie (A|b) et Σ0 le syst ème d’ équation lin éaires de matrice élargie (A0|b0).

(53)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

Propori ´et ´e

1 _{Le principe g én éral du pivot de Gauss est de transformer le syst ème}

qu’on veut r ésoudre en un syst ème triangulaire qui a les m êmes SOLUTIONS.

2 _{L’ensemble des solutions d’un syst `eme lin ´eaire ne change pas si on}

(54)

Dans un syst ème lin éaire échelonn é (c’est à dire dont la matrice associer est échelonn é), les inconnus associ és aux pivots sont appel és les inconnus principaux et les autres sont appel és arbitraires.

Pour obtenir l’ensemble des solutions d’un syst `eme, on calcule les inconnus principaux en fonction des inconnus arbitraires. Alors trois cas sont

possibles :

1 _{Si dans le syst ème échelonn é existe une équation de la forme 0 = a avec}

a 6= 0, alors il n’y a pas de solution.

2 _{Sinon, soit tous les inconnus sont principaux, donc il y a une solution}

unique.

o Ou bien il existe des inconnus arbitraires. Alors, on calcule les inconnus principaux en fonction des arbitraires et on trouve une infinit ´e de

(55)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

Exemples    x − y + z = 2 2x + y + z = 1 4x + 3y + z = 3 ↔   1 −1 1 2 2 1 1 1 4 3 1 3  

(56)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

•La premi ère étape du pivot de Gauss consiste à utiliser la premi ère équation pour faire disparaitre les x dans les autres équations.

•Au niveau de la matrice, cela revient à utiliser la premi ère ligne pour faire apparaˆıtre des 0 sous le premier coefficient de la premi ère ligne. C’est ce premier coefficient qu’on appelle le pivot.

(57)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

  1 −1 1 2 0 3 −3 −3 4 3 1 3   (L2← L2− 2L1)   1 −1 1 2 0 3 −1 −3 0 7 −3 −5   (L3← L3− 4L1)

(58)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

•Pour l’ étape suivante, on oublie la premi ère ligne et la premi ère colonne, qui resteront inchang ées jusqu’ à la fin du proc éd é.

  1 −1 1 2 0 3 −1 −3 0 7 −3 −5  

•On recommence alors la premi ère étape, sur la matrice obtenu comme on a dit auparavant par élimination de la premi ère ligne et la premi ère colonne. Alors, notre nouveau pivot est le 3, que l’on utilise pour faire apparaˆıtre des 0 en dessous.   1 −1 1 2 0 3 −1 −3   (L3← L3− 2L2)

(59)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

•On continue cette seconde ´etape jusqu’ `a ce qu’il n’y ait plus que des 0 en dessous du second et l’on recommence sur la matrice plus petite.

•Le processus s’arr ˆete lorsqu’on a une matrice triangulaire (i.e. une matrice ne contenant que des 0 sous la diagonale), et donc un syst `eme triangulaire. (A|b) ∼   1 −1 1 2 0 1 −1 1 0 3 −1 −3   (L3← L2) ∼   1 −1 1 2 0 1 −1 1 0 0 2 −6   (L3← L3− 3L2)

(60)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

•

On revient alors à la notation syst ème, et l’on peut faire ”remonter” les équations par substitution des variables.

  1 −1 1 2 0 1 −1 1 0 0 2 −6  

•rg(A) = 3, donc le syst `eme admet une solution unique.

•Dans notre exemple, la derni `ere ligne de notre matrice nous donne l’ ´equation 2z = −6 ; soit z = −3.

•La seconde ligne entraˆıne que y = −2.

(61)

Application 3 :R ésolution des syst ème lin éaires

Exercice

R ´esoudre le syst `eme suivant :    mx + y + mz = 2m x + my + z = 2 mx + y − mz = 0 (A|b) =   m 1 m 2m 1 m 1 2 m 1 −m 0  ∼   1 m 1 2 0 1 − m2 0 0 0 0 −2m −2m  

(62)

D éterminants D éterminants des matrices carr ées

D ´eterminants des matrices carr ´ees d’ordre 1

D ´efinition

Soit A = (a) une matrice carr ée d’ordre 1. On appelle d éterminant de A l’ él ément de K not é detA d éfini par detA = a.

(63)

D ´eterminants des matrices carr ´ees d’ordre 2

D ´efinition Soit A = a b c d

une matrice carr ée d’ordre 2. On appelle d éterminant de A l’ él ément de K not é detA ou

a b c d d ´efini par det(A) = a b c d =ad − bc.

(64)

D ´eterminants des matrices carr ´ees d’ordre 2

Exercice Soit A = a b c d

. Montrer que A et sa transpos ée :tA ont m ême d éterminant.

(65)

D ´eterminants des matrices carr ´ees d’ordre 3

D ´efinition Soit A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 

une matrice carr ´ee d’ordre 3.

On appelle d éterminant de A, l’ él ément de K not é det(A), d éfini par : det(A) = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =a11 a22 a23 a32 a33 −a21 a12 a13 a32 a33 +a31 a12 a13 a22 a23

(66)

D ´eterminants des matrices carr ´ees d’ordre 3

M ´ethode de Sarrus

on remplace le tableau pr éc édant par deux autres tableaux o ù on ajoute les deux premi ères colonnes de A.

&a &a0 &a00 a a0 b &b0 &b00 &b b0 c c0 &c00 &c &c0

a a0 a00. a. a0. b b0. b00. b. b0 c. c0. c00. c c0

(67)

D ´eterminants des matrices carr ´ees d’ordre n

D ´efinition

Soit A = (aij)une matrice carr ´ee d’ordre n ≥ 2. Pour tout terme aijde la

matrice A, on note Aij la matrice obtenue de A en enlevant `a celle-ci la ligne Li

et la colonne Cj.

On appellecofacteurde aijle nombrecof (aij) = (−1)i+jdet(Aij).

(68)

D ´eterminants des matrices carr ´ees d’ordre n

D ´efinition

Soient A = (aij)une matrice carr ´ee d’ordre n et 1 ≤ t ≤ n. On a,

det(A) =

n

X

s=1

astcof (ast). (D´eveloppement suivant la colonne Ct)

Proposition Soit 1 ≤ s ≤ n. On a : det(A) = n X t=1

(69)

D éterminants Propri ét és des d éterminants

D ´eterminants de matrices particuli `eres

1 det(0

n) =0

2 _{Le d ´eterminent d’une matrice triangulaire est ´egal au produit des termes}

diagonaux. det   2 −4 6 0 −1 3 0 0 7  =2 × (−1) × 7 = −14 3 _det(I n) =1

(70)

Propri ét és des d éterminants

Proposition

1 _det(t_{A) = det(A).}

2 Si A et B sont deux matrices carr ´ees de m ˆeme ordre, alors

det(AB) = det(A)det(B)

3 _{Si A une matrice carr ´ee inversible, alors}

det(A−1) = 1 det(A)

(71)

D éterminent et Op érations él émentaires

Le d éterminant d’une matrice d’ordre n est transform é en son oppos é lorsqu’on échange deux colonnes (deux lignes).

Exemple det   2 −4 6 5 −1 3 −8 12 7  = −det   2 −4 6 −8 12 7 5 −1 3  

(72)

D éterminent et Op érations él émentaires

Le d ´eterminant d’ordre n est multipli ´e par λ si on multiplie les termes d’une de ses colonnes (lignes) par λ.

Exemple det   2 −4 6 5 −1 3 −8 12 7  =2 × det   1 −2 3 5 −1 3 −8 12 7  

(73)

D éterminent et Op érations él émentaires

Le d ´eterminant d’une matrice carr ´ee ayant une colonne (une ligne) nulle est 0.

Exemple det   2 −1 7 4 −5 3 0 0 0  =0

(74)

D éterminent et Op érations él émentaires

Le d ´eterminant d’une matrice d’ordre n est multipli ´e par λn_{si on multiplie tous}

ses termes par λ.

Exemple det   2 −4 6 4 −2 16 −8 12 10  =23× det   1 −2 3 2 −1 8 −4 6 5  

(75)

D éterminent et Op érations él émentaires

Le d éterminant d’une matrice d’ordre n est invariant si on ajoute à une de ses colonnes (lignes) une combinaison lin éaire de ses autres colonnes (lignes).

Exemple det     2 4 −6 −2 5 −1 3 0 −2 −10 12 2 0 1 −1 0     =det     2 4 −6 −2 5 −1 3 0 0 −6 6 0 0 1 −1 0     =6 × det     2 4 −6 −2 5 −1 3 0 0 −1 1 0 0 1 −1 0     = −6det     2 4 −6 −2 5 −1 3 0 0 −1 1 0 0 −1 1 0     = 6 × (−2) × 5det −1 1 =6 × (−2) × 5 × 0 = 0

(76)

D éterminent et Op érations él émentaires

Le d ´eterminant d’une matrice carr ´ee ayant deux lignes identiques est nul.

Exemple det     1 −4 6 1 8 −1 7 0 −2 −9 2 2 1 −4 6 1     =0

(77)

D éterminent et Op érations él émentaires

Un d éterminant d’ordre n est nul d ès que l’une de ses colonnes (lignes) est combinaison lin éaire de ses autres colonnes (lignes).

Exemple det     2 −4 6 1 5 −1 3 0 −2 −9 12 2 1 0 −3 0     =0 Car L3=L2+L4− 2L1.

(78)

D éterminants D éterminent et Op érations él émentaires

D éterminent et Op érations él émentaires

Exemple

Calculons le d ´eterminant de la matrice suivante : det     2 1 4 3 3 2 1 −2 4 7 −2 3 5 6 −3 4     =det     2 1 4 3 3 2 1 −2 0 5 −10 −3 0 3 −8 3     L3− 2L1 L4− L2− L1 =det     2 1 4 3 3 2 1 −2 0 2 −2 −6 0 3 −8 3     L3− L4 =2det     2 1 4 3 3 2 1 −2 0 1 −1 −3     1 2L3

(79)

D éterminent et Op érations él émentaires

det(A) = 2det     2 1 4 3 1 1 −3 −5 0 1 −1 −3 0 3 −8 3     L2− L1 =2det     0 −1 10 13 1 1 −3 −5 0 1 −1 −3 0 3 −8 3     L1− 2L2 = −2det     1 1 −3 −5 0 −1 10 13 0 1 −1 −3 0 3 −8 3     L2↔ L1

(80)

D éterminent et Op érations él émentaires

= −2det     1 1 −3 −5 0 −1 10 13 0 0 9 10 0 0 −5 12     L3+L2 L4− 3L3 = −2det     1 1 −3 −5 0 −1 10 13 0 0 9 10 0 0 0 158₉     L4+5₉L3 =316

(81)

D ´eterminants Application des d ´eterminants

Applications des d ´eterminants :Calcul de l’inverse

Proposition

Une matrice car ´ee A est inversible si et seulement si son d ´eterminant det(A) est non nul. Dans ce cas :

A−1= 1 det(A) t (com(A)) O `u com(A) =        

cof (a11) . . . cof (a1j) . . . cof (a1m)

..

. ... ... ... ... cof (ai1) . . . cof (aij) . . . cof (aim)

..

. ... ... ... ... cof (an1) . . . cof (anj) . . . cof (anm)

       

(82)

Applications des d ´eterminants :Calcul de l’inverse

Exercice

Calculer l’inverse de la matrice carr ´ee d’ordre 2 : A =

3 2 1 4

Montrer que la matrice B =   1 1 1 0 1 1 0 0 1 

est inversible et calculer son inverse

(83)

Applications des d ´eterminants : Syst `eme de Cramer

D ´efinition

Soit Σ un syst ème à n équations lin éaires et à n inconnues.

Si Σ admetune solution et une seuleon dit que c’estun syst `eme de Cramer.

Th ´eor `eme

Soit Σ un syst ème de n équations et n inconnues et de matrice élargie (A|B)

o `u B =      b1 b2 .. . bn      .

Σest un syst `eme de Cramer si et seulement si A est inversible et dans ce cas si (x1, ...,xn)est la solution de Σ alors



(84)

Applications des d ´eterminants : Syst `eme de Cramer

Proposition

Soit Σ un syst ème de n équations et n inconnues et de matrice élargie (A|B)

o `u B =      b1 b2 .. . bn      .

Pour tout 1 ≤ j ≤ n, on note par

XAi la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la ji ème colonne par B

X∆xj =det(Aj)et ∆ = detA.

Σest un syst `eme de Cramer si et seulement si ∆ 6= 0

et dans ce cas si (x1, ...,xn)est la solution de Σ alors pour tout 1 ≤ j ≤ n

(85)

Applications des d ´eterminants : Syst `eme de Cramer

Exercice    x + 2y + 3z = 2 x + y + z = 1 x + 3y + 2z = 0   1 2 3 1 1 1 1 3 2     x y z  =   2 1 0   det(A) = det   1 2 3 1 1 1 1 3 2  =det   1 2 3 0 −1 −2 0 1 −1  =3 6= 0 A1=   2 2 3 1 1 1 0 3 2   A2=   1 2 3 1 1 1 1 0 2   A3=   1 2 2 1 1 1 1 3 0  

(86)

Applications des d ´eterminants : Syst `eme de Cramer

det(A1) =det   0 0 1 1 1 1 0 3 2  L1− 2L2=3 det(A2) =det   1 2 3 0 −1 −2 0 −2 −1   L2− L1 L3− L1 = −3 det(A3) =det   1 2 2 0 −1 −2 0 −2 −1   L2− L1 L3− L1 =3 Donc S = {(x =det(A1) det(A) =1, y = det(A2) det(A) = −1, z = det(A3) det(A) =1)}