Contrôle de préparation nombres premiers et grandeurs composées
Exercice n°1 ( 5 points ) :
a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres :
• 9 450
9 450 ÷ 2 = 4 725 4 725 ÷ 3 = 1 575 1 575 ÷ 3 = 525 525 ÷ 3 = 175 175 ÷ 5 = 35
35 ÷ 5 = 7 Comme 7 est un nombre premier, on arrête de diviser !
On en déduit que 9 450 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 = 2 × 33 × 52 × 7
• 13 860
13 860 ÷ 2 = 6 930 6 930 ÷ 2 = 3 465 3 465 ÷ 3 = 1 155 1 155 ÷ 3 = 385 385 ÷ 5 = 77
77 ÷ 7 = 11 Comme 11 est un nombre premier, on arrête de diviser !
On en déduit que 13 860 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 × 11 = 22 × 32 × 5 × 7 × 11
b) Montrer que :
• 23 est un nombre premier.
Pour savoir si un nombre est premier, il suffit de vérifier qu’il ne se trouve pas dans les tables des nombres premiers qui lui sont inférieurs :
23 n’est pas à l’évidence dans les table de 2, de 3, de 5 et de 7.
Il n’est pas non plus dans la table de 11 car 2 x 11 = 22 et 3 x 11 = 33.
Il n’est pas non plus dans les tables de 13, de 17 et de 19 car 2 x 13 = 26, 2 x 17 = 34 et 2 x 19 = 38.
Conclusion : 23 est bien un nombre premier.
• 24 567 n’est pas un nombre premier.
24 567 n’est pas premier car par exemple il se trouve dans la table de 3 : en effet, 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 24 : comme 24 est dans la table de 3, on en déduit d’après le critère de divisibilité par 3 que 24 567 l’est aussi.
24 567 n’est pas un nombre premier.
Exercice n°2 ( 5 points ) :
a) Donner la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
La liste est la suivante :
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 et 97.
b) Compléter le tableau suivant :
195 333 126 300 666 795 1000
Divisible par 2 X X X X
Divisible par 3 X X X X X X
Divisible par 4 X X
Divisible par 5 X X X X
Divisible par 6 X X X
Divisible par 9 X X X
Divisible par 10 X X
Exercice n°3 ( 5 points ) :
1) Décomposer 910 et 1155 en produits de facteurs premiers.
910 ÷ 2 = 455 455 ÷ 5 = 91
91 ÷ 7 = 13 Comme 13 est un nombre premier, on arrête de diviser !
On en déduit que 910 = 2 × 5 × 7 × 13
1 155 ÷ 3 = 385 385 ÷ 5 = 77
77 ÷ 7 = 11 Comme 11 est un nombre premier, on arrête de diviser !
On en déduit que 1 155 = 3 × 5 × 7 × 11
2) Simplifie la fraction ଽଵ
ଵଵହହ .
D’après la question précédente :
910 1155=
2 × 5 × 7 × 13 3 × 5 × 7 × 11 =
26 33
La fraction irréductible de ଽଵ
ଵଵହହ est ଶ
ଷଷ .
3) En utilisant les décompositions du 1), effectuer la somme ଵ
ଽଵ
+
ଵଵଵହହ
.
D’après la question 1, on sait que :
910 = 2 × 5 × 7 × 13 et 1 155 = 3 × 5 × 7 × 11
Donc :
1 910 +
1
1155 =
1
2
× 5×7×13+
1
3
×5×7× 11Seuls les nombres 5 et 7 apparaissent dans la décomposition des deux dénominateurs.
On va alors :
1) Multiplier la deuxième fraction (numérateur et dénominateur) par 2 x 13 ( qui sont les facteurs qui apparaissent au dénominateur de la
première fraction mais pas de la deuxième).
2) Multiplier la première fraction ( numérateur et dénominateur ) par 3 x 11 ( qui sont les facteurs qui apparaissent au dénominateur de la
deuxième fraction mais pas de la première).
On obtient :
1 910 +
1
1155 =
3
× 112
× 5×7×13 ×3
× 11+
2
× 133
×5×7× 11×2
× 131 910 +
1
1155 =
33 30 030 +
26
30 030
1 910 +
1
1155 =
59 30 030
Conclusion : ଵ
ଽଵ
+
ଵଵଵହହ
=
ହଽଷ ଷ
Exercice n°4 ( 5 points ) :
a) Convertir 25 965 s en h:min:s.
Dans 25 965 s, il y a ଶହ ଽହ
ଷ = 7,2125 heures soit 7 heures pleines.
Il reste alors 25 965 – 7 × 3 600 = 765 secondes que l’on va convertir en minutes.
Dans 765 s, il y a ହ
= 12,75 minutes soit 12 minutes pleines.
Il reste alors 765 – 12 × 60 = 45 secondes.
Ainsi, 25 965 s = 7 h 12 min 45 s
b) Convertir 180 km/h en m/s.
Première étape : on convertit en m la distance exprimée en km.
Sachant que 1 km = 1 000 m, on en déduit qu’une distance de 180 km correspond à une distance de 180 × 1 000 m = 180 000 m.
Deuxième étape : on convertit les h en s.
On sait que 1 h = 3 600 s.
Troisième étape : on effectue la conversion.
Parcourir 180 km en une heure revient à parcourir 180 000 m en 3 600 s.
C’est-à-dire revient à parcourir ଵ଼
ଷ m en une seconde soit 50 m par seconde.
Conclusion : une vitesse de 180 km/h correspond à une vitesse 50 m/s
c) Convertir 3,4 g / cm3 en kg / m3.
Première étape : on détermine la masse en g pour un volume de 1 m3.
Sachant que :
• 1 cm3 pèse 3,4 g
• 1 m3 = 1 000 000 cm3
On en déduit que 1 000 000 cm3 ont une masse de 1 000 000 × 3,4 g c’est- à-dire 3 400 000 g.
Deuxième étape : on convertit la masse obtenue en kg.
Comme 1 kg = 1 000 g, on en déduit que : 3 400 000 g = ଷ ସ
ଵ = 3 400 kg.
Troisième étape : on effectue la conversion.
Une masse volumique de 3,4 g/cm3 correspond à une masse volumique de 3 400 kg/m3
