Prendre une fraction d’une quantité, c’est la multiplier par cette fraction

SUJET

1°) Mettre en évidence les difficultés des élèves de collège face à la notion de fraction et à son utilisation.

2°) Proposer des activités permettant d’aborder et surmonter ces obstacles.

PRESENTATION Introduction

L’écriture fractionnaire n’est apparue que dans des exemples très simples à l’école primaire. En 6^e, elle est utilisée dans des situations moins

élémentaires et est à relier à l’écriture décimale. Le travail sur l’écriture fractionnaire s’étend sur tout le collège.

1°) On relève deux types de difficultés : les difficultés liées au nombre et celles liées au calcul.

Difficultés liées au nombre

niveau Difficultés liées au calcul

niveau

 Une fraction est liée à la notion de partage. On

partage un tout en plusieurs parties.

6^e  Une fraction représente toujours une partie d’un tout. Prendre une fraction d’une quantité, c’est la multiplier par cette fraction.

6^e 5^e

 Une fraction est un nombre, c’est un quotient résultat d’une division.

6^e  Une écriture fractionnaire est le quotient de deux nombres entiers ou

décimaux. On peut rendre les décimaux entiers en multipliant par 10, 100, 1000,

6^e 5^e

 Une fraction n’est pas forcément un nombre décimal (ex ).

6^e  La multiplication de deux fractions consiste à prendre une fraction de fraction.

5^e

 Un même nombre peut être désigné par deux écritures fractionnaires différentes.

6^e 5^e

 Comparaison, addition, soustraction : les

dénominateurs doivent être identiques.

5^e

 Différencier la valeur exacte de la valeur approchée d’un quotient.

5^e

4^e  La division par une fraction est la multiplication par l’inverse de cette fraction.

4^e

 L’inverse d’un nombre est tel que le produit d’un nombre et de son inverse est égal à 1 ; en particulier

=a×.

4^e  Simplification : il faut diviser N et D par le même

nombre ; par exemple le PGCD pour la rendre irréductible.

4^e 3^e

2°) Activités permettant d’aborder et de surmonter ces obstacles.

 Notion de partage : (ex n°2 p88 du livre Dimathème 6^e)

a) Donner le nombre de cases que contient le rectangle ci-contre.

Préciser le nombre de cases coloriées en vert, en rouge et en

orange.

b) Répondre aux questions suivantes par des fractions. Quelle proportion de l’aire totale du rectangle représente :

- l’aire d’une case ?

- l’aire de la partie coloriée en orange ? - l’aire de la partie coloriée en rouge ?

c) Compléter la phrase suivante par une fraction :

L’aire de la partie coloriée en vert représente …… de l’aire de la partie coloriée en orange.

 Un même nombre peut être désigné par deux écritures fractionnaires différentes : (ex n°13 p89 Dimathème 6^e )

On donne les trois carrés ci-dessous :

1^er carré 2^ème carré 3^ème carré

a) Dans le premier carré, quelle proportion de la surface totale représente la zone coloriée en orange ?

b) Même question pour les deux autres carrés.

c) Comparer les aires des surfaces coloriées en orange dans chacun des carrés.

Traduire ce résultat en utilisant des fractions.

 Valeur exacte, valeur approchée (Triangle 4^e ex n°1 p23)

Lorsqu’on divise 11 par 7, la division ne se termine pas. La calculatrice affiche le résultat suivant : ; mais le résultat comporte d’autres

décimales. n’est pas un nombre décimal.

On peut déterminer les valeurs approchées de ce quotient, par exemple, en donnant des troncatures ou des arrondis.

Troncature de Arrondi de

A l’unité 1 2

Au dixième 1,5 1,6

Au centième 1,57 1,57

Au millième 1,571 1,571

Au cent millième 1,57142 1,57143

a) A partir de l’exemple ci-dessus, quelle semble être la méthode pour trouver une troncature ou un arrondi d’un nombre ?

b) Faire un tableau analogue pour .

 Passage Ecriture fractionnaire↔fractions (Dimathème 6^e n°34 p91) Ecrire chacune des expressions fractionnaires suivantes sous la forme

d’une fraction, c’est-à-dire avec un numérateur et un dénominateur entiers ;

; ; ;

 Fraction d’une quantité (Dimathème 6^e n°36 p 91)

Edmond doit calculer de 12€. Il dispose de trois méthodes : a) diviser 12 par 9 puis multiplier par 6 ;

b) multiplier 12 par 6 puis diviser par 9 ; c) diviser 6 par 9 puis multiplier par 12.

Laquelle va-t-il choisir ? Pourquoi ?

 Fraction de fraction (Transmath 5^e n°65 p43) Laurent mange le tiers de la moitié de ce gâteau.

1) a. Fais ce dessin et :

- hachure la moitié du gâteau

- colorie un tiers de cette moitié du gâteau.

b. Quelle fraction du gâteau représente la part coloriée ?

2) « Prendre de « , c’est calculer ×.

A l’aide de ce vocabulaire, retrouve le résultat précédent par le calcul.

Addition de fractions (document Mathadoc) 1) Colorier en bleu les du rectangle.

2) Colorier en jaune les .du rectangle sans repasser dans la partie bleue.

3) Quelle fraction du rectangle a t-elle été coloriée (en jaune ou en bleu) ?

4) Quelle égalité peut-on écrire ?

 Division de fractions (Document Mathadoc)

1. On se donne un carré de 1cm de coté, quelle est son aire?

2. Quelle doit être la longueur d’un rectangle dont la longueur est 4cm, pour que l’aire ne change pas?

3. Compléter le tableau suivant pour que les rectangles obtenus gardent la même aire :

Longueur (cm) Largeur (cm)

4 0,1 0,2

0,125 3

4. Quelle relation existe-t-il entre la longueur et la largeur de ces rectangles?

5. Mettre les nombres du tableau en écriture fractionnaire, que remarque-t-on?

6. Quelle doit être la largeur d’un rectangle de cm de longueur?

Quelle doit être la largeur d’un rectangle de 3

5 cm de longueur?

 Simplification de fractions

A B

Pour chaque grille, indique les différentes fractions correspondant à la partie hachurée, à la partie noire, au total des deux parties coloriées et enfin, à ce qui reste.

Tu présenteras les résultats sous forme d’un tableau comme ci-dessous, en donnant les fractions correspondant au nombre total de cases puis les fractions irréductibles correspondantes.

partie

noire partie

hachurée total (noire et hachurée

)

ce qui reste

grille A grille B

REMARQUES - QUESTIONS

 Les élèves n’aiment pas les fractions car ils ne savent pas ce que c’est (pas de définition en primaire). Pour eux c’est une division, un partage.

Il faut donc leur dire que c’est un nombre écrit d’une certaine façon.

Pour leur montrer, on peut leur demander :

 écrire sous la forme d’une division : 4  11

 écrire sous la forme d’une multiplication : 4×

 écrire sous la forme d’une suite d’additions avec des 1 et des 11 : +++

 Ecrire sous la forme d’une suite de soustractions : 1 –

 En 3^e construisons :

 Quelle est la différence entre une fraction, une fraction décimale et un nombre décimal ?

- Fraction : toute division de deux nombres décimaux peut s’écrire sous la forme d’une fraction.

- Fraction décimale : fraction qui a une écriture décimale, dont le dénominateur peut devenir une puissance de 10 :

ex : =0,5= == == = pas décimale (il faut un produit 2×5 au dénominateur)

- Ì (décimaux) est un sous-ensemble de Ì (rationnels).

Si un nombre est à virgule et possède un cycle comme partie décimale, c’est un rationnel. Si pas de cycle, c’est un irrationnel.

Pour transformer un nombre rationnel en quotient, voici l’astuce : ex : 0,34343434… on pose x = 0,343434…

on multiplie par 100 100x = 34,343434…

on soustrait les deux : 99x = 34 d’où x =

 Règles à expliquer :

- Pour additionner, il faut que ça soit de même nature : ex : 2 pains + 3 pains = 5 pains

2 millions + 3 millions = 5 millions 2 dixièmes + 3 dixièmes = 5 dixièmes

mais 2 septièmes + 3 neuvièmes ne s’additionnent pas car pas de même nature.

- Pour multiplier, les objets peuvent ne pas être de même nature.

- Pour expliquer : soit 1 gâteau coupé en 7  on en prend 4 parts soit 4 gâteaux coupés en 7  on prend 1 part de chaque.